干涉测量基本原理

1.1 干涉测量基本原理

干涉测量是基于光波叠加原理，在干涉场中产生亮暗交替的干涉条纹，通过分析处理干涉条纹来获取被测量的有关信息。

当两束光满足频率相同、振动方向相同以及初相位差恒定的条件时，两支光会发生干涉现象。在干涉场中任一点的合成光强为[12]：

II1I22I1I2cos2

式中，为两束光到达某点的光程差；I1、I2分别为两束光的光强；为光波长。

干涉条纹是光程差相同点的轨迹，以下两式分别为亮纹和暗纹方程

m

m1 2式中，m为干涉条纹的干涉级 干涉仪中两支光路的光程差可表示为

nlnliiijjj

式中，ni、nj分别为干涉仪两支光路的介质折射率；li、lj分别为干涉仪两支光路的几何路程。

当把被测量引入干涉仪的一支光路中，干涉仪的光程差则发生变化，干涉条纹也随之变化。通过测量干涉条纹的变化量，可以获得与介质折射率n和几何路程l有关的各种物理量和几何量。

1.2 多光束干涉中反射率之间的关系

为测量被测表面的微观高度信息，在被测物上方置一石英玻璃片，以其下表面作为参考平面，如图2-1所示，石英玻璃片的下表面GS和被测物的上表面OS之间的空气会形成很薄的一层膜。现假设石英玻璃片的下表面为理想平面，且与被测表面接**行，当间距为纳米量级，则可以通过测量空气薄膜各点处的厚度来间接获取被测表面的微观高度信息[13]。

当一束光从石英玻璃片上方入射到其内部后，在玻璃碟的下表面和被测物的上

表面间会发生多次反射和透射。设石英玻璃片和两面间空气的折射率分别为ng和na；GS面和OS面的反射率分别为rg和rs；石英和空气的透射率分别为tg 和t´g，记入射光振幅为A0，反射和折射光分别为A1、A2、A3…。

A0 石英玻璃片 GS 空气薄膜 OS 被测物 A1 rg t´g A2 tg A3 tg A4 tg … ng

r´g rs r´g …间距H na

i rs rs …

图2-1 多光束在薄膜内的传播

从图2-1不难看出，在GS的反射光束族中，后一光束均比前一光束多经历了光程2naHcosi，考虑到正入射以及反射面所引起的附加相位移Φs[14－17]，其相应于光程差的相位总延迟量为：

4naH其中：

s

(2-1)

ngna2*na*ksna(nsiks)stanrrn2n2k2gnnsn(nik)saasssas1

(2-2)

设入射光在初始入射点处的初相为零，即入射光复振幅为

~E0Aei•0A 则各反射光束的复振幅分别为：

~E1~E2~E3~E4ArgiAtgrstgei2Atgrsrgtge3i32Atgrsrgtge2

......故反射光的合成复振幅为：

~~22i2iiErEiA[rgt)]grstge(1rsrgersrgei1iA(rgtgrstgergrs(t1gtgrgrg)e)A1rsrgei1rsrgeii

在玻璃片下表面处，根据斯托克斯倒逆关系有：

rgrgtgtgrg12

因此合成复振幅可化为：

rgrsei~ ErAi1rsrge进而,反射光的强度为:

r2rs22rsrgcos~2gIrEr*ErA 221rsrg2rsrgcos入射光强与反射光强的比值，即空气膜的光强反射率R为:

22Irrgrs2rsrgcos R22I01rsrg2rsrgcos(2-3)

所以:

rg2rs2rs2rg2RR , cos2rsR11(2-4)

又根据(2-1)式可得:

Hi2ks i,k=0,1,2,3,4,5,6…

4na(2-5)

式中，H为空气膜的厚度,k为干涉条纹级次，为测量光的波长,na、ns+iks、ng分别为空气,被测物和玻璃碟的折射率。rs和rg分别为被测物和玻璃碟的反射率。

s为表面反射时所产生的附加相位移。

因此,当na、ns+iks、ng、rs、rg、s、空气膜的光强反射率R已知时，就可根据2-5式求出空气膜的厚度。在实际应用当中，由于参考面和被测表面的微观形貌的影响，空气膜并不是均匀的，所以需要逐点测量。

1.3 光学干涉扩展深度测量范围的方法

由前述内容可知，在通常情况下干涉法是通过测量被测表面引起的相位差来测

量表面深度信息的。由于光波振动的周期性，干涉光强中被位相调制的干涉项是被测位相的周期性函数，因此在一般情况下只能得到被测位相关于的模。由于这个限制，被测位相的测量范围被限制在范围内，与此对应的，表面形貌测量范围被限制在/2(n1)(透射式测量)或/4(反射式测量)范围内。相移干涉法可将位相测量范围扩大一倍，相应地深度测量范围也扩大了一倍，但仍然是相当狭窄的。为了扩大深度测量范围，一系列方法被开发出来，如多波长法、白光干涉法。如果已知待测表面是连续光滑的或通过其它途径已经知道了待测表面形貌的大概范围，也可以通过间接的方法扩大深度测量范围[18]。

1.3.1 白光干涉

在白光干涉中，光谱中各色光都有可能参加干涉，并将干涉光强叠加到最后形成的干涉图样上，因此在表面形貌测量中白光干涉形成的干涉条纹是由各色光干涉图样叠加形成的。被测表面的深度不同，两束光的干涉光强不同，干涉条纹的对比度不同，组成干涉条纹的光谱成分也不同。可见，在白光干涉表面形貌测量中，被测表面的深度信息被调制到干涉图样的强度、对比度及光谱成分等信息中，因此可利用干涉图样的强度、对比度以及光谱成分信息扩展深度测量范围。 1.3.1.1 干涉条纹扫描法

干涉条纹扫描法扩展深度测量范围的理论根据是被测表面上各点深度不同所形成的干涉光强不同。在双光束干涉显微镜中，如果从分束器到被测表面上某一点的距离等于从分束器到参考面的距离，那么对应的两束干涉光的光程差为0，所形成的干涉光强最小(或最大)。如果用压电陶瓷(PZT)等微位移驱动器沿光轴方向移动样品台或参考镜进行扫描，那么干涉图样上每一点的强度将随着变化。在扫描时，如果记录下或计算出被测面上每一点对应的干涉光强达到最小(或最大)时微位移驱动器的位置，那么在完成扫描后各点间的深度就能计算出来。对于一个具体的干涉显微系统，用干涉条纹扫描法测量形貌，其深度测量范围与干涉光频谱成分有关，大小与干涉长度的一半相当；深度测量分辨率与干涉图样测量系统的分辨率有关，取决于A／D转换器的位数，可达纳米量级；而测量精度则取决于微位移驱动器。恰当的数据处理方法也可以提高分辨率以及测量精度。 1.3.1.2 干涉条纹对比度法

在白光干涉中，两束相干光形成的干涉光强可表达成一般的形式：

IRS2R*S*m()cos (2-6)

式中，R和S是两束相干光的光强，是与被测表面深度有关的位相，m可看作是对比度，它与位相干涉光频谱成分有关。如果干涉图样没有剪切并且干涉光频谱曲线是平滑的，那么m与位相之间或与被测表面深度之间存在着一一对应的关系。当分束器到被测表面上某一点的距离等于分束器到参考面的距离时，值最大且近似等于1；当距离之差超过干涉光相干长度时，m值最小，等于0。

由于在一定条件下条纹对比度m与被测表面深度之间存在着一一对应的关系，因此如果通过某种方法测出m，便可测出被测表面的高度信息。90相移法便是其中一种典型的测量方法。其原理是，首先测出一幅干涉图样，然后相移90，测出另一幅干涉图样，从干涉图样中去掉直流成分分量，算出m()cos()和

m(2)sin()，再根据m()cos()和m(2)sin()与相位的关系求出被测表

面的高度信息。

对于宽带干涉光，90相移法的深度测量范围由对比度曲线的陡度和数据采集与处理系统的能力决定的。如果对比度曲线近似线性，那么深度测量范围粗略地等于2/。由于90相移法不能分辨位相的正负，因此这个范围只有一半是有用的。

1.3.1.3 干涉条纹频谱展开法

在白光干涉中，干涉图样是由各色光形成的单色干涉图样形成的。被测表面上各点的深度不同，所对应的干涉光强中各频谱成分的强度不同，各色光的干涉级次不同。与条纹扫描法和对比度法一样，干涉条纹频谱分析法的深度测量范围也取决于干涉光频谱成分。大小与干涉光相干长度的一半相当，其测量分辨率和测量精度与CCD图像测量系统的分辨率、精度以及图像识别与处理能力有关。

1.3.2 多波长干涉

根据干涉理论，对于任意结构的表面，如果用波长为的光波进行测量，被测表面上任一点的深度h与测出的位相之间的关系为(对反射式测量)：

2hm 2(2-7)

式中，m是干涉条纹级次，是测得的位相且,。

如果h较小，干涉级次m<1，那么可以直接用单波长测得的位相求出被测表面深度h；但是如果深度较大，干涉级次m等于或超过1，那么就无法仅用单波

长的测量结果确定真实的深度h。双波长或多波长测量方法的实质就是利用双波长或多波长测量结果的差异求出干涉级次m，从而得到被测点的真实深度，达到扩展深度测量范围的目的。

1.3.2.1 双波长干涉测量

双波长测量法是由J.C.Wyant首先提出的，并被用于测量变形非球面。当采用干涉法测量非球面时，如果非球面曲率半径很大，干涉条纹将很密。当条纹密集到一定程度时，干涉条纹的测量变得非常困难甚至不可能。为减少干涉条纹，在非球面测量中，常采用Null镜头，由于Null镜昂贵且本身也需要测量，因此配备Null镜头测量非球面既麻烦又缺乏灵活性。

减少干涉条纹的另一个办法是使用波长较长的光源。波长增大，干涉条纹间距变大。但是使用长波测量时，测量光路调整困难，缺乏图像采集系统，更为遗憾的是长波不能用于透射测量，这大大限制了它的使用范围。

双波长测量法克服了长波测量的缺陷，它采用两个较短波长的测量结果间接有效地达到长波测量的效果。其基本思想是：首先采用波长为1的光束(这通过更换照明系统中的滤光片来实现)进行测量，然后换用波长为2的光束再测量一次，利用两次测量得到的1和2便可计算出被测表面的高度信息，其计算公式为：

eq21eq2π , -π21222eq21h21,

22eq21eq21,2222式中eq被称为等效波长，且eq1212。

(2-8)

如果在双波长测量中采用的双波长为10.6m，20.5m，那么深度测量范围可以从单波长测量的0.3m或0.25m扩大到1.5m。

双波长测量方法虽扩大了深度测量范围，但不能提高测量精度。这是由于双波长测量在扩大测量范围的同时也放大了测量误差。但是，这种放大了的测量误差可通过用双波长测量结果校正单波长测量结果来减小。其思想是，将双波长测量结果h和单波长测量得到的位相代入2-7式算出干涉级数m，然后将m和再代入2-7式算出新的高度。由于计算新高度时使用的是单波长计算公式，测量误差没有放大，因此这个结果要较双波长测量结果精确。可见，用双波长测量结果校正单波长测量结果，既扩大了深度测量范围，又保持了单波长测量的精度，从效果上看，提高了双波长测量方法的测量精度。

1.3.2.2 多波长干涉测量

双波长测量方法扩大了深度测量范围，但是随着被测表面越来越深，等效波长要求越来越长。当等效波长很大时，由于误差放大效应，用双波长测量结果校正单波长测量结果将变得越来越困难。为了解决这个问题，可采用三波长或多波长测量方法。其基本思想是，用单波长如a、b、c的位相测量数据计算出相应于最长和最短等效波长eql、eqs的位相数据，然后用这些数据相互校正各等效波长或单波长的测量结果。对于三波长测量方法，a、b和c(设abc)较好的组合是使eqleqs和eqseqb等于3或4。数据校正分两步运行：首先用eql的测量结果校正eqs的数据，再用eqs的数据校正a、b或c的测量结果。对于更多波长的测量，可采用更多的校正步骤。

1.4 光强反射率的校正与测量结果的计算

在进行多波长干涉测量时，首先需要知道薄膜实际光强反射率的最大最小值。为了获取最大最小值，使被测表面相对于参考面作一次垂向移动，移动的幅度不小于最长波长的四分之一，即max4，这样，反射光强至少经历一次极大值与极小值。测量系统将其记录下来，再除以入射光光强，得到空气膜的实际反射率的极大、极小值Rmax、Rmin。然后按下式对测量结果进行规范化处理[13]。

Rst.RTHRYmaxRTHRYmin(RmeasRmin)RTHRYmin

RmaxRmin其中：RTHRYmax RTHRYminrg2rs22rsrg1rr2rsrg22sg

rg2rs22rsrg1rr2rsrg22sg式中：Rst.规范化后的反射率；RTHRYmax反射率理论极大值；RTHRYmin反射率理论极小值；Rmeas为空气薄膜的实际光强反射率；Rmax反射率实际极大值；Rmin反射率实际极小值。

如图2-2所示，C1、C2、C3分别为三种波长的单色光的光强反射率随空气薄膜厚度变化而变化的曲线，L1、L2、L3分别为某确定厚度空气薄膜的关于三种波长的反射率。L1与C1的交点为H1(0)、H1(1)、H1(2)、H1(3)；L2与C2的交点为H2(0)、H2(1)、H2(2)、H2(3)；L3与C3的交点为H3(0)、H3(1)、H3(2)、H3(3)。图中，

H1(0)=H2(0)=H3(0)，即为所求空气薄膜的厚度。

由于测量系统的非理想性和噪声的影响，在空气薄膜厚度不变时，三种波长光测量计算的结果通常并不是完全相同的。表2-1为某次的测量计算结果，需要进行搜索，以确定一个或多个相接近的飞行高度。

图2-2 空气薄膜厚度与光强反射率的关系

在这些数据中，有一组较接近的数据为(477,464,467)，这组数据的平均值是470，标准差为5.9。另外一组较接近的数据为(159,191,177)，其平均值为175，标准差是13.5。此时，测量值470比测量值177的标准差要小得多，所以可以确定正确的飞行高度是470。

表2-1 不同波长在不同级次下的间距测量计算结果[17]

级次

i 0 1 2 3 4 5 6 7

波长1 H1 41 159 259 377 477 595 695 813

波长2 H2 60 191 333 464 605 737 879 1010

波长3 H3 89 177 379 467 669 757 959 1047

设相应于三种波长的空气薄膜光强反射率测量结果分别为R1、R2，R3，代入2-4式可求得相应的相位偏移量1、2、3，又根据2-5式，可得到H1(i)、H2(i)、H3(i)，其中i=0,1,2,3,4，表示条纹级次。建立如下数学模型：

Min (H1(i)H)2(H2(j)H)2(H3(k)H)2

2S.T. H12k1s(1)1

4na H22k2s(2)2

4na H32k3s(3)3

4na式中： HH1(i)H2(j)H3(k)

3i,j,k=0，1，2，3，4…

在这里为方便起见，假设测量范围不大于四级干涉条纹，方程的解可表示为：

H1(0)H1(1)H(H1,H2,H3)H1(2)H1(3)H(4)1H2(0)H2(1)H2(2)H2(3)H2(4)H3(0)H3(1)H3(2)H3(3)H3(4)设当i=I,j=J,k=K 时，标准偏差取得最小值，则[H1(I),H2(J),H3(K)]即为所求最优解。最后，对由三色光所确定的空气薄膜厚度进行加权平均，从而最终确定两面的间距H。