和差代换在解竞赛题中的应用

２中等数学●数学活动课程讲座●和差代换在解竞赛题中的应用陆月平（江苏省泰州中学附属初中，２２５３００）中图分类号：０１２２文献标识码：Ａ（本讲适合初中）对于任意实数ｘ，ｙ，恒有菇５彳＋彳，ｙ菇＋ｙ戈一ｙ２彳一７‘髫＋，，菇一ｙ令半＝。，孚＝ｂ．则髫＝ｎ＋ｂ．Ｙ２口一ｂ．此种代换称做和差代换．和差代换是一种非常重要的解题技巧。其应用很广泛．１求代数式的值例１已知口２＋ｂ２＝６ａｂ，且口＞ｂ＞０．则业一口一ｂ一————。（２００１，北京市中学生数学竞赛（初二））解设ｏ＝戈＋Ｙ，ｂ＝石一弘代人已知等式并化简整理得４ｘ２＝８ｙ２．因为口＞ｂ＞０，所以，茗＞，，＞０．故冬＝２号羔＝厄．，ｊ）注意到口＋ｂ＝２ｘ，口一ｂ＝２ｙ．因此，型：关：羔：厄．口一口Ｚｙ，，例２计算．√１４＋６√亨一，Ａ４—６万的值是（）．（Ａ）ｌ（Ｂ）√５（ｃ）２，／５（Ｄ）５（２０００，全国初中数学联赛）解设√１４＋６后＝口＋ｂ，①收稿日期：２００９—０５一ｌｌ修回日期：２００９—１１—０２万　方数据文章编号：１００５—６４１６（２０１０）０３－０００２－０３√１４—６√亨＝口一ｂ．②①×②、①２＋②２分别得口２一ｂ２＝４．③ａ２＋ｂ２＝１４．④④一③得ｂ２＝５．因为ｂ＞０，所以，ｂ＝帕．故待求式＝（ａ＋６）一（ａ—ｂ）＝２√Ｓ．拶＋，＝一１６．贝０菇＋），＋ｚ＝。例３已知实数茗、几彳满足菇一ｙ＝８，解设茗＝口＋ｂ，Ｙ＝口一ｂ．则菇一Ｙ＝２ｂｊｂ＝４．因为形＋＝２＝一１６，所以，（ａ＋６）（口一６）＋２。＋１６＝Ｏ．又一ｂ２＝一１６，贝０口２＋≯＝０．由非负数性质知口＝０，：＝０．因此，名＝４，），＝－４．故石＋ｙ＋ｚ＝４－４＋０＝０．２求最大值和最小值例４已知实数ｘ，ｙ满足４ｘ２—５ｘｙ＋４ｙ２＝５，设ｓ＝茗２＋广．则圭＋去＝（ｍａｘ表示最大值，ｍｉｎ表示最小值）．解设茗＝口＋６，Ｙ＝口一ｂ．代人已知等式并化简整理得３ａ２＋１３ｂ２＝５．所以，６２＝吾一酽３２（ｏ≤。２≤詈）．故Ｓ＝茹２＋ｙ２＝（口＋６）２＋（口一６）２＝２口２＋２ｂ２＝２＿口０２＋西１０．２０１０年第３期因此，当口２＝ｏ时，ｓ皿ｉ。＝等；当口２＝了５时，ｓ一＝罟×詈＋等＝竽．故圭＋ｅ１＝而３＋而１３＝了８．例５已知实数ａ，ｂ满足ｃｔ２＋ａｂ＋ｂ２＝１．且ｔ＝ａｂ一口２一ｂ２．则ｔ的取值范围是——，ＩⅢ２——，￡面ｎ＝——．（２００１，１＇１杯全国初中数学竞赛）解设ｏ＝髫＋，，，ｂ＝省一弘代入已知等式得（戈＋，，）２＋（菇＋ｙ）ｘ—Ｙ）＋（戈一ｙ）２＝１．化简得ｙ２＝１—３ｘ２．因为ｙ２Ｉ＞０，所以，ｏ≤戈２≤÷．故ｔ＝ａｂ一口２一ｂ２＝（茗＋，，）（髫－ｙ）一（髫＋，，）２一（名一Ｙ）２＝一（戈２＋３ｙ２）＝一名２３（１—３ｘ２）＝８石２～３．易知０≤８石２≤＿８＝争一３≤８名２—３≤一．＝１－号一３≤ｒ≤一÷等ｒ一＝一÷，ｔⅢｉ。＝一３．例６解方程等（茗＋等）＝４２．Ｚ＋ｌ、戈＋ｌ，（１９９８，吉林省长春市数学竞赛（初三））堕车ｆ苎等１：４２．百ｌ了玎Ｊ“２・解将原方程变形为①警：口＿６．设等＝口＋６’————ｉ一＝口一Ｄ．菇＋ｌ②（２）９①×②、①＋②分别得口２一ｂ２：４２，④万　方数据２口：掣：１３．３筇＋Ｉ④一联立式③、④解得口：孚，ｂ：±下１代入式②得譬÷竽；７或６．戈＋ｌ解得菇】＿ｌ，ｘ２＝６，髫３＝３＋在，％＝３一在．经检验，戈ｌ、戈２、省３、菇４都是原方程的根．例７方程组ｆ菇０并：二１７Ｉｘ的实数＋名ｙ－Ｙ＋一；（１９９６，东方航空杯上海市初中数学竞赛）解设ｚ＝口＋ｂ，ｙ＝口一ｂ．贝Ⅱ髫＋ｙ＝２ａ，ｘｙ２ａ２一ｂ２．于是，原方程组变为阶１：＋ｚ＋（口：一Ⅵ口：一》２ｂｂ２１７ｅ≥．１，、厨因此，原方程组的解为２—亍一，、ｆ戈－２卞，ｆ石ｚ３＋／１７３一／１７‘Ｉ一３一历【３＋历扎。—＿产；Ｙ２＝——＃．例８已知茗＋，，＝口＋６，菇２＋ｙ２＝口２＋６２．求证：菇２∞１＋ｙ２∞１＝口２∞１＋６２００１．（２００１，江苏省泰州市数学竞赛（初二））证明设菇＝ｍ＋ｎ，ｙ＝ｍ一凡．贝０ｍ２彳２戈＋’，ｏ＋ｂＴ‘①又名２＋ｙ２＝（，ｎ＋ｎ）２＋（，ｎ—ｎ）２－－２（ｍ２＋，１２），凡２＝掣．所以，ｎ＝字或ｎ＝字．解ｘ，Ｙ）＝一４证明等式或不等式３解方程和方程组将式①代人上式，并结合菇２＋ｙ２＝口２＋６２，化简得４当ｍ：半，凡：掣时，有茗：。，，，：６；当ｍ：半，凡：宰时，有石：ｂ，，，：口．可见，无论哪种情况都可得到戈２００１＋’，２００１＝口２００１＋ｂ２∞１．例９实数ａ、ｂ、Ｃ满足（ａ＋ｃ）（ａ＋ｂ＋ｃ）＜０．求证：（ｂ—ｃ）２＞４ａ（ａ＋ｂ＋Ｃ）．（第七届祖冲之杯初中数学邀请赛）证明设ａ＋ｃ＝ｍ＋ｎ，ａ＋ｂ＋ｃ＝ｍ—ｎ．由题设得ｍ２一ｎ２＜０ｊｎ２＞ｍ２．又ｂ＝ｍ—ｎ一（ａ＋ｃ）＝ｉｎ—ｎ—ｍ—ｎ＝一２ｎ．ａ＝ｍ＋ｎ—Ｃ．故（ｂ—ｃ）２—４ａ（ｏ＋ｂ＋ｃ）＝（一２ｎ—Ｃ）２—４（ｍ＋ｎ—ｃ）（，孔一站）＝８ｎ２＋４，ｗ一４，ｎ２＋ｃ２＞４ｍ２＋４ｍｃ＋ｃ２＝（２ｍ＋ｃ）２ｉ＞０．因此，（ｂ—ｃ）２＞４ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）．５化简例１０化简：（正二五２：±堑五±ｚ五。三五＝三ｚ％，／ｘ＋Ｙｏｙｘ—Ｙ解设扛＝ａ＋ｂ，，／７＝ａ—ｂ．则历＝０２一ｂ２，石＋万＝２ａ，石一√歹＝２ｂ．故原式：型芷丝唼生凸掣＋（ａ＋ｂ）３＋（ａ—ｂ）３３（口２一ｂ２）一３（ａ一６）２４ａｂ＝兰（坚：±三查：２（坚±ｉ）＋兰！垒二垒２＝坠半＝笔黾２口（ａ２＋３ｂ２）２口２口２０一【注】本题通过和差代换，将根式的化简转化为分式的化简，从而降低了难度，提高了解题速度．由以上几例可以看出，和差代换的实质万　方数据中等数学是换元转化，关键是构造元和设元，目的是通过引进新的变量，使复杂的计算和推证变得容易处理．练习题１．设口＜ｂ＜０，且ａ２＋ｂ２：４ａｂ．则盟譬的值为（）．（Ａ）√３（Ｂ）佰（Ｃ）２（Ｄ）３（２００２，全国初中数学竞赛）２．解方程等（搿＋等）＝８４．提示：仿例１．答案：（Ａ）．（２００６，浙江省宁波市初中数学竞赛）提示：仿例６．答案：戈ｌ＝３，ｚ２＝４，菇３＝６＋，／２９，菇４＝６一，／２９．３．设ｘ，ｙ是实数，且满足戈２＋掣＋厂＝３．则石２一ｘｙ＋），２的最大值与最小值是——．提示：仿例４．答案：９与１．４．若艮ｙ夥ｘｙ：兰２８警垆一【‘＋＋髫＝，（２００１，ＴＩ杯全国初中数学竞赛）提示：设并＝ａ＋ｂ，Ｙ＝ａ—ｂ．将原方程组变形为ｆ２ａ２＋２ａｂ＋ａ—ｂ＝１４．１２０２—２口ｂ＋ｏ＋ｂ＝２８考口＝３或一÷．由戈＋Ｙ＝２ａ，得戈＋Ｙ＝６或一７．５．若正整数菇、Ｙ满足戈２一ｙ２＝６４，则这样的正整数对（石，Ｙ）有（）对．（Ａ）ｌ（Ｂ）２（Ｃ）３（Ｄ）４（１９９５，山东省初中数学竞赛）提示：设菇＝ａ＋ｂ，Ｙ＝ａ—ｂ．贝《茗２一Ｙ２＝４ａｂ＝６４．故ａｂ＝１６＝１×１６＝１６×ｌ＝２×８＝８×２＝４×４ｊ口＝１６，ｂ＝ｌ或ａ＝８，ｂ＝２．从而，髫＝１７，Ｙ＝１５或ｘ＝１０，Ｙ＝６．故选（Ｂ）．和差代换在解竞赛题中的应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

陆月平， LU Yue-ping

江苏省泰州中学附属初中,225300中等数学

HIGH-SCHOOL MATHEMATICS2010，(3)0次

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下载时间：2011年4月16日