22.3实际问题与二次函数第一课时教案

※教学目标※ 【知识与技能】

1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.

2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值. 【过程与方法】

通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想. 【情感态度】

体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识. 【教学重点】

通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题. 【教学难点】

分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※ 一、复习导入

从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h30t5t2（0≤t≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？

提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？

（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？ （3）小球运动至最高点的时间是什么时间？ （4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？

二、探索新知

探究1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？

分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值.

矩形场地的周长是60m，一边长为lm，则另一边长为 ,场地的面积S= .化简得S= .当l= 时，S有最大值 .

探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定y随x变化的函数解析式.涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出30010x件，销售额为60x·

30010x元，买进商品需付4030010x元.因此，所得利润

y60x30010x4030010x，即y10x2100x6000，其中，0≤x≤30.

根据上面的函数，填空：

当x= 时,y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 .

（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论，自己得出答案. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价能使利润最大了吗？ 三、巩固练习

1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米. AD （1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；

（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ BC 2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每

千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；当x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）求该公司销售该原料日获利W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式． （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 答案：1.(1) ∵ AB为x米，篱笆长为24米,∴ 花圃宽为24－4x米.

4acb2bx0x6?∴ Sx24－4x=-4x24?.（2）当x3时，有最大值y36（平

4a2a2方米）.

2.（1）设ykxb .根据题意，得x≤60）.

（2）W(x-30)(-2x200)-450-2x2260x-6450.

－2x－652000.∵30 ≤x≤60， （3）W ∴当x=60时,W有最大值为1950元.∴当销

2?k80＝60kb,解得

b10050kb.2,∴y2x200（30 ≤200.售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元. 四、归纳小结

通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？ ※布置作业※

从教材习题22.3中选取． ※教学反思※

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模 型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中，教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.