大专高职自主招生考试数学练习卷答案

2011年普通⾼校（专科、⾼职）依法⾃主招⽣模拟考试数 学 试 卷及答案

注意：1. 答卷前，考⽣务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2. 本试卷共有20道试题，满分150分，考试时间80分钟.

⼀、填空题（本⼤题共有10题，满分50分）只要求直接填写结果，每个

空格填对得5分，否则⼀律得零分.

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，且集合A={2，3，4}，集合B={1，2}，那么A∩(C U B)=_____{3，4}2．若不等式02<-ax x 的解集是{}10<

3．已知⾓α的终边经过点(,6)P x --，且5cos 13α=-，则x 的值是_____52

__________. 4. 已知扇形的圆⼼⾓为?150，⾯积为,125π则此扇形的周长为_____265+π__________. 5．已知双曲线的中⼼在坐标原点,⼀个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的⽅程为43

y x =±,则该

双曲线的标准⽅程为2213664

x y -= . 6. 若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________.解析：a ∶b =C 3n ∶C 2n =3∶1，n =11.答案：11

7.若||1,||2,a b c a b ===+

，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹⾓为________________.120°

8. 若cos2

sin()4

αα=-cos sin αα+的值为 ．1

2 9．⼀个长⽅体的各顶点均在同⼀球的球⾯上，且过同⼀个顶点的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表⾯积为 14π ．

10．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)()0(>?x f f 的x 的取值范围是 （-2,2）

⼆、选择题(本⼤题共有5题，满分25分) 每⼩题都给出四个选项，其中

且只有⼀个选项是正确的，选对得 5分，否则⼀律得零分.

11．对于空间三条直线,,a b c ，能够确定它们共⾯的条件是（ ）D Ａ ,,a b c 两两平⾏ Ｂ ,,a b c 两两相交

Ｃ ,,a b c 交于同⼀点 Ｄ ,,a b c 中有两条平⾏且都与第三条相交12．“22a b

>”是 “22log log a b >”的（ ）B

A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；

D ．既不充分也不必要条件

13．若z 为复数，下列结论正确的是……………………………………………………（ ）CA ．若212121,

0,z z z z C z z >>-∈则且 B ．22z z =

C ．若2z 是正实数，那么z ⼀定是⾮零实数

D ． 若,0=-z z 则z 为纯虚数 14. 某⼈有5把钥匙，其中⼀把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪⼀把，他逐把不重复地试开，恰好第三次打开房门锁的概率是…………………………………………………（ ）C A ．31 B ．32 C ．51 D ．52

15．{}n a 是等⽐数列，下列四个命题（1）{}2n

a 也是等⽐数列；（2）{}2n

a 也是等⽐数列；（3）1n a ??

也是等⽐数列；（4）{}ln n a 也是等⽐数列；

其中真命题的个数有……………………………………………………………………（ ）B A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个三、解答题（本⼤题共有5题，满分75分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

16. （满分14分）本题共有2⼩题，第1⼩题满分8分第2⼩题满分6分. 如图，在棱长为2的正⽅体1111D C B A ABCD -中，点F E 、分别是棱AB 、AD 的中点．求：（1）异⾯直线1BC 与EF 所成⾓的⼤⼩；AA 1BCDB 1C 1D 1EF

（2）三棱锥EFC A -1的体积V ．

解：（1）因为点F E 、分别是棱AB 、AD 的中点，所以BD EF //，所以BD C 1∠是异⾯直线1BC 与EF 所成的⾓． --------------4分 在△1DBC 中，BD C 1∠=60?．

所以异⾯直线1BC 与EF 所成⾓的⼤⼩为60?． ----------------8分 （2）23=?EFC S ，1223

31=??=V ． ---------------14分

17. （满分14分）本题共有2⼩题，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分.记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A, 不等式(x －a －1)(a －x )>0(a R ∈) 的解集为B. (1) 求A ；(2) 若B ?A, 求实数a 的取值范围. 解：(1)由题意，2－13

++x x ≥0 ------2分 得

11

+-x x ≥0 ------4分 得 x <－1或x ≥1 ,即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞) ------6分 (2) 由(x －a －1)(a －x )>0, 得(x －a －1)(x －a)<0. ------8分由a +1>a , 得，B=(a ,a +1) ------10分 由题意B ?A, 得a ≥1或a +1≤－1 ------12分即a ≥1或a ≤－2, 故当B ?A 时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[1, +∞) ------14分（只考虑⼀种扣2分）

18（满分15分）本题共有2⼩题，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分9分.在锐⾓ABC ?中，,,a b c 分别为⾓,,A B C 2sin c A =，

（1）确定⾓C 的⼤⼩；（2）若c =ABC ?的⾯积为23

3,求a b +值。

解：（12sin 2sin sin sin 2c A A C A C =?=?=

----------------4分 锐⾓ABC ? ∴3C π=

-----------------------------6分（2

）11sin sin 62223S ab C ab ab π=

== -----------------------------8分

22222222cos 2cos3

c a b ab C a b ab a b ab π=+-?=+-=+------------12分

227()3()18a b ab a b ?=+-=+- ∴5a b += ------------------------------15分

19．（满分16分）本题共有3⼩题，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分6分，第3⼩题满分4分．

设{}n a 是公⽐⼤于1的等⽐数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n n a n n b 2)1(1++=

，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）求n

n n a n T 211lim++∞→的值.

解：（1）由已知得1231327(3)(4)3.2a a a a a a ++=??

+++=，解得22a =．……………2分

设数列{}n a 的公⽐为q ，由22a =，可得1322a a q q==，．

⼜37S =，可知2227q q++=，

即22520q q -+=，解得12122q q ==，．……………………4分1

2.q q >∴= ， 11a ∴=． 故数列{}n a 的通项为12n n a -=．……………………6分212111(2)2,(1)1

n n n b a n n n n -=

+=-+++ ……………………8分35212111111[(1)()()](2222)2231

2(14)1(1)114211.331n n n n T n n n n -+∴=-+-++-++++++-=-++-=+-+

……………………12分（3）

……………………16分

20. （满分16分）本题共有3⼩题，第1⼩题满分4分，第2⼩题满分6分,第3⼩题满分6分.设12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点.(1)设椭圆C

上的点到12,F F 两点距离之和等于4，写出椭圆C 的⽅程和焦点坐标； (2)设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹⽅程；

(3)设点P 是椭圆C 上的任意⼀点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k K 试探究PM PN k K ?的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论.

解：（1）由于点2221b

+= ------1分 2a =4, ------2分椭圆C 的⽅程为 22143x y +=--------3分

焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）-----------4分 （2）设1KF 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y +--------6分把K 的坐标代⼊椭圆22143x y +=中得22(21)(2)143x y ++=

线段1KF 的中点B 的轨迹⽅程为221()1324

y x ++=----------10分

（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称设0000(,)(,),(,)M x y N x y p x y -- ----11分

,,M N P 在椭圆上，应满⾜椭圆⽅程，得222200222211x y x y a b a b+=+=，------12分00PMPN

y y y y k K x x x x -+==-+-------------------13分 PMPN k K ?=22

00022000y y y y y y x x x x x x -+-?=-+-=22b a------------15分

故PM PN k K ?的值与点P 的位置⽆关，同时与直线L ⽆关，-----16分34231

321112122lim lim=+=++-+∞→∞

→n n n n n n a n T