初中数学函数

一、会用函数的基本性质

1、一次函数的性质

例1 一次函数y=-2x+3的图象是经过______的______，它与y轴交于______，它不经过第______象限，y随x的增大而______。将它向______平移______个单位后图象过原点，这时就成为正比例函数.

答案：(0,3)和(1,1)（答案不惟一）；一条直线；(0,3)；三；减小；下、3或左、.

2、反比例函数的性质

例2 A是双曲线上一点，AB⊥x轴于B，O是坐标原点，那么当x>0时，y随x的增大而______，的面积是______，此双曲线关于______对称.

分析：对于反比例函数我们要牢记=的结论。对称性可由图看出.

答案：增大；3；原点或二、四象限的角平分线或一、三象限的角平分线. 3、二次函数的性质 例3 已知二次函数

，回答下列问题（1）化为顶点式是___

___，化为交点式是______.（2）图象的顶点坐标是______，对称轴是______，当x______时y随x的增大而增大。当x=______时y有最______值是______.若将抛物线向上平移2个单位，向左平移6个单位，得到的抛物线解析式为______. （3）图象与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______. 分析：配方的过程是

.

平移的方法是“向上平移几，顶点纵坐标就加几，向左平移几括号内的数就加几”，即“上加下减、左加右减”. 答案：

；y=-3(x-3)(x-1)；(2,3)；直线x=2；<2；2；大；3；；(0,-9)；(1,0)、(3,0).

例4 已知抛物线，（1）若抛物线与x轴交于(-3,0)，(1,0)，

则对称轴是______.（2）当a+b+c=0时，抛物线一定过点______，当a-b+c=0时，抛物线一定过点______.（3）当______0时，抛物线与x轴有两个交点.（4）当______时，抛物线过原点；当______时，抛物线的顶点在y轴上（或者说以y轴为对称轴）；当______时，抛物线的顶点在x轴上.（5）若x取和时，y的值相等，则x取分析：

1、根据抛物线的对称性，当抛物线与x轴交于（，0）和（，0）两点时，对称轴是直线x=

.

过（1，0）时，a+b+c时，y的值等于______.

2、根据“过点代入”的原则，当抛物线=0；过（-1，0）时，a-b+c=0.

3、的符号是判断抛物线与x轴交点个数的依据. 4、上.

顶点在y轴上，

过原点，

顶点在x轴

答案：直线x=-1；(1,0)；(-1,0)；>；c=0；b=0；二次函数基本性质小结：

；.

1、抛物线是轴对称图形，对称轴是直线.

2、由顶点式可以解决顶点坐标，对称轴，最大（小）值，增减性，平移等问题. 3、抛物线与x轴的两个交点(,0)、(,0)是关于对称轴对称的.

4、的值决定了抛物线与x轴的交点个数.

5、b=0时顶点在y轴上，Δ=0时顶点在x轴上，c=0时图象过原点. 6、平移时“上加下减，左加右减”.

7、已知抛物线的顶点求解析式时，可以用顶点式. 已知抛物线与x轴的两个交点求解析式时，可以用交点式.

二、会用函数图象解决问题

许多函数问题本身没有图象，如果我们画出图象，利用其图象的某些几何性质来解决，显得灵活、直观、简便。画图多多，好处多多.

例5 反比例函数和一次函数y=x+b的图象交于A、B两点，A点的横坐标是2，则B点的坐标是______.

分析：本题没有图，我们先画图象（下同）. 这两个图象都关于2、4象限角平分线对称，所以A、B两点也关于2、4象限角平分线对称.于是可以根据对称性直接写出B点的坐标，而不是通过解方程. 答案：（-1，2）

例6 抛物线与x轴交于A、B两点，顶点

为C，为使△ABC成为直角三角形，必须将抛物线向上平移几个单位（ ） A、7 B、6 C、5 D、4

解：设平移后的抛物线为，则C的坐标为(0,c).因为AC=BC，

，

，所以AO=BO=CO，所以A的坐标为(-c,0）,代入得

解出c=-2（舍零）,C的值由-8增加到-2，应选B. 例7 已知抛物线

与直线x＝2，直线x＝3，直线

y＝1，直线y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是______．（注：直线y＝1即为过（0,1）点平行于x轴的直线）．

分析：当a>0时，抛物线过C点是最低位置（其中的一个极端），

此时C(3,1)代入得，9a-6a-1+a=1，a=. 抛物线过A点是最高位置（其中的另一个极端），此时A(2,2)代入得，4a-4a-1+a=2，a=3.故a的取值范围是

这种方法是利用极端的位置来解决问题的，我称之为“极端原理”. 当a<0时，无解.

.

三、会看函数图象

对已经给出的函数图象，要求我们能看懂图中的有用信息，达到解决问题的目的。这与函数性质的掌握有直接的关系. 例8 已知二次函数

的图象如图所示，OA>OB，有下列5个结论：

①abc>0 ；②b确的结论有（ ）

A.2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

分析：（1）∵a<0,b>0,c>0, ∴①×

（2）∵x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,即b>a+c,∴ ②× （3）∵x=2时,y<0, ∴4a+2b+c<0,∴ ③ √

（4）∵对称轴在x=1的左边, ∴√

, ∵a<0, ∴-b>2a 即2a+b<0, ∴ ④

（5）∵ OA>OB, ∴在OA上有一点C使OC=OB。 ∵B(0,c),∴D(c,y), 且y>0将其代入得答案：B.

例9 在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数（ ）

的图象可能为

>0, 即ac+b+1>0, ∴ ⑤×

分析： 方法1、看直线和抛物线中的a、b是否有符号上的矛盾； 方法2、看抛物线是否过原点； 方法3、找直线和抛物线与x轴的交点. 答案：A. 小结：一次函数



与二次函数中字母的符号规律

一次函数中，k决定直线的方向（上升过下降），b决定直线与y轴的交点.

 二次函数中，a决定抛物线的开口，c决定抛物线与y轴的交点.  二次函数中，对称轴在y轴左侧时，a、b同号，反之a、b异号（简称“左同右异”）. 例10 看图写结论

（1）已知二次函数元二次方程

的部分图象如图1所示，则关于x的一

的解为______．

分析：将(3,0)代入，得m=3, 则=-1.

答案：=3,=-1.

（2）如图2所示的抛物线是二次函数值是______．

分析： 因为图象过(0,0)，故

, 即，=3,

的图象，那么a的

, a=1或a=-1, 又开口向下，故a=-1.

（3）如图3，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数,的图象相交于A、B

两点，根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围是______.

分析：过A点的红色直线、y轴、过B点的绿色直线将整个坐标平面分成4个区域（这3条直线除外），从左至右为区域1，区域2，区域3，区域4，从图可知区域1和区域3内的直线高于双曲线，符合题意. 答案：x<-3或0四、会与其它知识联系

前面已经提到，函数问题往往与许多其它数学知识相联系，尤其是与方程、不等式以及几何的联系更加密切.

1、与方程的联系

例11 （1）直线y=2x-1与直线y=-x+5的交点坐标是 。（2）方程,的根的个数，与我们学过的哪两个函数图象的交点个数相同？通过画图，确定这个方程根的个数.

分析（1）∵两条直线的交点坐标同时满足两个解析式 ∴可以解方程组来获得交点坐标.

，

.所以交点是（2，3）.

（2）从第(1)题我们已经看到，方程组的解可以决定两个函数图象的交点，而(2)中的方程解的个数就是下面方程组解的个数.

.

这个方程组的解又与二次函数

有直接的联系，我们画出两个图象如右图.

和反比例函数图象的交点

由图可见，两个图象有3个交点，即原方程有3个解. 2、与不等式的联系

例12 （1）直线y=-3x+2上有一动点A(x,y)，设经过点(0,8)且平行于x轴的直线为m，经过点(0,-1)且平行于x轴的直线为n，当x取值范围是______时，点A在直线m、n之间.（2）不等式的解，相当于函数______的

图象在x轴______方的x取值范围.

分析：（1）先画出大致图象，我们从图中发现：-1；上.

例13 如图，点A在抛物线B，延长AO、BO分别与抛物线坐标为m，且m>0．

上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于相交于点C、D，连接AD、BC，设点A的横

（1）当m=1时，求点A、B、C、D的坐标；

（2）当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直； （3）猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论．

分析：（1）解：将x=1代入， 得，由AB∥CD得 △AOB∽△COD，，y=1/2(舍零)，故A(1,1/4), B(-

故 DF=4FO,设D(4y,-y)，得

1, 1/4), C(-2,-1/2), D(2, -1/2)

（2）由A在抛物线上可知，AE=m，EO=∴

，m=4(舍零).

， 因AO⊥BO，AO=BO， 故EO=AE，

（3）猜想：CD=2AB. 证明：由A在抛物线上可知，AE=m，EO=D得△AOB∽△COD， DF=FO，设D(4y,-my)，得-my==

，DF=2m，DF=2AE，即CD=2AB.

，由AB∥C， 故y

五、会用函数解决实际问题

许多实际问题有两个变量，往往就有函数关系存在。利用函数关系式可以解决实际问题中的数量关系和最值问题.

例14 陈琳从甲地匀速前往乙地，3h后距离乙地110km，5h后距离乙地50km。问几h后到达乙地？

解：设x(h)后距离乙地y(km)，陈琳速度为v(km/h)，甲乙两地相距a(km)，

由已知，得y=a-vx，将x=3,y=110和x=5,y=50代入，得，解之，.

，

所以，y=200-30x，当y=0时陈琳到达乙地，即200-30x=0，.

答：陈琳行了h到达乙地.

例15 一学生推铅球，在距地面m的A处推出铅球，铅球经

过的路线呈抛物线状（如图建立平面直角坐标系），如果抛物线的最高点M离y轴距离4m，距地面高度为3m，求该学生推铅球的成绩。 解：由已知，A(0,5/3)，顶点M(4,3)，设抛物线的解析式为将A点坐标代入上述解析式，得16a+3=，a=令y=0，则

，所以

，，

，解得x=10(舍负).

答：该学生推铅球的成绩为10米.

例16 有一种螃蟹，放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假定放养期内蟹的个体重量基本不变.现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元.但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去.假定死蟹均于当天全部出售，售价都是每千克20元. (1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数解析式；

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数解析式；

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？ 解：(1) p=30+x.

（2）Q=(1000-10x)(30+x)+10x·20，即Q=-10

+900x+30000.

（3）设利润为y元，则y=(-10=-10

+6250.

+900x+30000)-1000×30-400x y=-10+500x 答：放养25天后可以获得最大利润，最大利润是6250元.

例17 某次数学考试，因试卷难度大而导致成绩普遍很差,老师为了提高学生的分数，采用将每人分数先开方再乘以10的方法。如36分的人计算方法是

分,即经过这样处理后的分数比原来高了24分。一个爱动脑筋的

同学发现：不同的成绩增加的分数不一样多。请问几分的人经过处理后加分最多？说明道理. 解：设原成绩为

分，处理后增加的分数为y分.

则处理后的分数是10x分. 由已知，得y=5， 所以当x=5时，y有最大值是25.

, 配方，得y=+2

答：25分的人加分最多.

例18 如图，正方形ABCD边长为2，E在AB上，FE⊥DE交BC于F，随着E点从A向B移动。（1）BF的最大值是多少？（2）F点是如何移动的？

解：（1）设AE=x，BF=y. 由已知，容易证明△ADE∽△BEF, 所以

，解出

.

，

答：BF的最大值是.

（2）如图由函数图象可知，F点由B点先升到高度为处， 再倒过来回向B点移动直至与B重合。

用二次函数解决最值问题的方法: 1. 寻找问题中的数量关系

2. 分别用两个字母表示两个变量 3. 列出二次函数关系

4. 用二次函数性质求出最值

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