2018-2019学年陕西省西安中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)

题

一、单选题 1．过两点

的直线的倾斜角为

，则

（ ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】由题意知直线AB的斜率为

，

所以解得

，

．选C．

2．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（ ）

A．快、新、乐 B．乐、新、快 C．新、乐、快 D．乐、快、新 【答案】A

【解析】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，即可得出结论． 【详解】

根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③， 故选：A．

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【点睛】

本题考查四棱锥的结构特征，考查学生对图形的认识，属于基础题. 3．已知A．C．

，点在轴上， B．或

，则点的坐标是（ ）

D．

【答案】C 【解析】依题意设4．已知直线为（ ）

A．20 B．－4 C．0 D．24 【答案】B

【解析】结合直线垂直关系，得到a的值，代入垂足坐标，得到c的值，代入直线方程，得出b的值，计算，即可。 【详解】

，根据与直线

，解得

互相垂直，垂足为

，所以选. ，则

的值

直线的斜率为,直线的斜率为,两直线垂直,可知将垂足坐标代入直线方程，得到

，故选B。

【点睛】

， ，所以

，代入直线方程，得到

考查了直线垂直满足的条件，关键抓住直线垂直斜率之积为-1，计算，即可，难度中等。 5．设①若③若

是两条不同的直线，，，

，则，则

是三个不同的平面，给出下列四个命题：

，，

，，则

，则.

；

；②若；④若

其中正确命题的序号是（ ） A．① B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】A

【解析】结合直线与平面垂直的性质和平行判定以及平面与平面的位置关系，逐项分析，即可.

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【详解】

①选项成立，结合直线与平面垂直的性质，即可；②选项，m可能属于，故错误；③选项，m,n可能异面，故错误；④选项，该两平面可能相交，故错误，故选A. 【点睛】

本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了平面与平面的位置关系，难度中等. 6．平行于直线A．C．【答案】A

【解析】设所求直线为由直线与圆相切得，

，

或或

且与圆 B． D．

或

相切的直线的方程是（ ）

或

，

解得

。所以直线方程为

或

。选A.

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．3π C． D．6π

【答案】B

【解析】本试题主要是考查了运用三视图还原几何体，并求解几何体的体积的运用。 由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1，高为6的圆柱，被截的一部分，如图

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所求几何体的体积为：×π×12×6=3π．故选B。

解决该试题的关键是本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．

8．已知点A(1,3)、B(－2，－1)．若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 ( )

1 B．k2 211C．k或k2 D．2k

22A．k【答案】D

【解析】由已知直线l恒过定点P2,1，如图．

若l与线段AB相交，则kPAkkPB，∵kPA2， kPB选D.

9．如图，四棱锥（ ）

的底面为正方形，

底面

11，∴2k，故22，则下列结论中不正确的是

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A．B．

平面

平面

与

所成的角

C．平面D．

与所成的角等于

【答案】D

【解析】结合直线与平面垂直的判定和性质，结合直线与平面平行的判定，即可。 【详解】 A选项，可知

可知

，故

，正确；

B选项，AB平行CD，故正确； C选项，

，故平面

平面

，正确；

，故错误，故选D。

D选项，AB与SC所成的角为【点睛】

，而DC与SA所成的角为

考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了异面直线所成角，难度中等。

10．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线

，

与圆

的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

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【解析】圆C的标准方程为(x＋1)＋y＝b.由两直线平行，可得a(a＋1)－6＝0，解得

222

a＝2或a＝－3.当a＝2时，直线l1与l2重合，舍去；当a＝－3时，l1：x－y－2＝0，

l2：x－y＋3＝0.由l1与圆C相切，得

当l1、l2与圆C都外离时，

，由l2与圆C相切，得.

.所以，当l1、l2与圆C“平行相交”时，b满足

，故实数b的取值范围是(

二、填空题 11．已知圆

时，的值等于________. 【答案】

及直线

，)∪(，＋∞)．故选D.

，当直线被圆截得的弦长为

【解析】结合题意，得到圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，计算a，即可。 【详解】

结合题意可知圆心到直线的距离

，所以结合点到直线距离公式

可得【点睛】

，结合，所以。

考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式，难度中等。

12．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 ． 【答案】

【解析】试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为

，所以正四棱柱体对角线的长度为

，四棱

柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为

．

【考点】正四棱柱外接球表面积． 13．方程

有惟一解，则实数的范围是________.

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，所以球的表面积为

【答案】或

【解析】结合题意，构造函数，转化为函数交点问题。 【详解】 构造函数

，绘制图形，可知

直线位于1号位置和2,3号位置之间， 当直线位于1号位置时，当直线位于2号位置时，k的范围为【点睛】

考查了数形结合思想，关键抓住唯一解时直线的位置，即可，难度中等。 14．正方体

中，分别是

，的中点，则直线

与所成角的余弦值是_______.

，当直线位于3号位置时，

，故

【答案】

【解析】结合异面直线所成角的找法，找出角，构造三角形，计算余弦值，即可。 【详解】

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连接

，而

，所以直线

与所成角即为

，设正方体边长为1，则

，所以余弦值为

【点睛】

。

考查了异面直线所成角的计算方法，关键得出直线等。 15．正三棱锥

的底面边长为1，

分别是

与所成角即为，难度中

，，，的中点，四边形

的面积为，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】结合题意,设出PC的长度,用其长度表示面积,计算PC长度的范围,即可. 【详解】

取FG的中点M,连接PM，PF,PG，因为该三棱锥为正三棱锥，可知

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PF=PG，故

，故

，而AB平行FG，EF平行PC，

可知，设PC=x，故，接下来计算a的范围，绘制图形，

当点P在平面ABC内，可知【点睛】

，故故的范围为

考查了正三棱锥的面积的范围,关键得出PC的长度,计算结果,即可,难度偏难.

三、解答题

16．求满足下列条件的直线方程.

(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍； (2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.

【答案】（1）3x＋4y＋15＝0.（2）4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.

【解析】试题分析：根据直线经过点A，再根据斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍求出斜率的值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；直线经过点M（0，4），说明直线在y轴的截距为4，可设直线 在x轴的截距为a，利用三角形周长为12列方程求出a ,利用直线方程的截距式写出直线的方程，然后化为一般方程.

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试题解析：

(1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋ ，

所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－，

则所求直线的斜率k＝2×(－)＝－ 又直线经过点(－1，－3)，

因此所求直线的方程为y＋3＝－ (x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0.

(2)设直线与x轴的交点为(a,0)，

因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋解得a＝±3，

＋|a|＝12，

所以所求直线的方程为或，

即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.

【点睛】当直线经过点A，并给出斜率的条件时，根据斜率与已知直线的斜率关系求出斜率值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；当涉及到直线与梁坐标轴所围成的三角形的周长和面积时，一般利用直线方程的截距式解决问题较方便一些，但使用点斜式也好，截距式也好，它们都有不足之处，点斜式只能表达斜率存在的直线，截距式只能表达截距存在而且不为零的直线，因此使用时要注意补充答案. 17．有一圆与直线【答案】

相切于点

，且经过点

，求此圆的方程．

【解析】法一:设出圆的方程,代入B点坐标,计算参数,即可.法二:设出圆的方程，结合题意，建立方程，计算参数，即可。法三：设出圆的一般方程，代入A,B坐标，建立方程，计算参数，即可。法四：计算CA直线方程，计算BP方程，计算点P坐标，计算半径和圆心坐标，建立圆方程，即可。 【详解】

法一：由题意可设所求的方程为

，

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又因为此圆过点，将坐标代入圆的方程求得

. ，

，

,

，

所以所求圆的方程为法二：设圆的方程为则圆心为

，由

，解得，

所以所求圆的方程为法三：设圆的方程为

. ，由

，

，

在圆上，

得

所以所求圆的方程为法四：设圆心为，则

，解得， .

，又设与圆的另一交点为，

则即

的方程为

.

，

又因为，

所以解方程组

，所以直线的方程为，得

，所以

. ．

所以圆心为的中点，半径为.

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所以所求圆的方程为【点睛】

.

考查了圆方程的计算方法，关键在于结合题意建立方程组，计算参数，即可，难度中等。 18．正方形求证：(1) (2)

平面

和四边形平面.

；

所在的平面互相垂直，

，

，

.

【答案】详见解析

【解析】(1)由题意利用线面平行的判定定理证明题中的结论即可； (2)由题意结合线面垂直的判定定理证明题中的结论即可. 【详解】

(1)如图设AC与BD交于点G．

因为EF∥AG，且EF＝1， AG＝AC＝1，

所以四边形AGEF为平行四边形． 所以AF∥EG．

因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE， 所以AF∥平面BDE． (2)连接FG，

∵EF∥CG，EF＝CG＝1， ∴四边形CEFG为平行四边形，

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又∵CE＝EF＝1，∴▱CEFG为菱形， ∴EG⊥CF．

在正方形ABCD中，AC⊥BD．

∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直， ∴BD⊥平面CEFG．∴BD⊥CF． 又∵EG∩BD＝G，∴CF⊥平面BDE． 【点睛】

本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理等知识，意在考查学生的转化能力和空间想象能力. 19．已知点

及圆

.

(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程； (2)设过点的直线与圆交于程； (3)设直线平分弦

与圆交于

两点，是否存在实数，使得过点

的直线垂直

两点，当

时，求以线段

为直径的圆的方

？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

或

；（2）

；（3）不存在.

【答案】（1）

【解析】（1）设出直线方程，结合点到直线距离公式，计算参数，即可。（2）证明得到点P为MN的中点，建立圆方程，即可。（3）将直线方程代入圆方程，结合交点个数，计算a的范围，计算直线的斜率，计算a的值，即可。 【详解】

(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为

，即

.又圆

的圆心为，半径，由，解得.

所以直线方程为，即.

，经验证.

也满足条件．

当的斜率不存在时，的方程为即直线的方程为

或

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(2)由于所以所以恰为故以

，而弦心距. 的中点．

.

，

为直径的圆的方程为

(3)把直线由于直线故即

，解得

代入圆的方程，消去，整理得交圆于

，

.

． 两点，

.

则实数的取值范围是设符合条件的实数存在， 由于垂直平分弦

，故圆心 必在上．所以的斜率，

而，

所以.由于 ，

的直线垂直平分弦

.

故不存在实数，使得过点【点睛】

考查了点到直线距离公式，考查了圆方程计算方法，考查了直线斜率计算方法，难度偏难。

20．如图1所示，在RtABC中， C90,D,E分别为AC,AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD,如图2所示.



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（1）求证： DE//平面A1CB； （2）求证： A1FBE；

（3）线段A平面DEQ？请说明理由. 1B上是否存在点Q，使AC1【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）∵DE∥BC，由线面平行的判定定理得出 （2）可以先证DE平面A1DC，得出DE1，∵A1FCD∴AFA1F底面BCDE

∴A1FBE

(3)Q为A1B的中点，由上问DE平面A1DC，易知DEAC1中点P，连接1,取ACDP和QP，不难证出PQAC平面PQD∴ACPQ,又∵1， PDAC1∴AC11平面PQE DEAC11∴AC

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