一类二阶两点边值问题解的存在唯一性

第２３卷第１期　湖南工程学院学报　Ｖｏ１．２３．Ｎｏ．１　２Ｏ１３年３月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｎａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｍａｒ．２Ｏ１３　一类二阶两点边值问题解的存在唯一性　色晓斌　（陇南师范高等专科学校数学系，成县７４２５００）　摘　要：研究了一类二阶隐式微分方程两点边值问题解的存在唯一性，利用压缩映像原理得到了解的　存在性结果．　关键词：隐式常微分方程；压缩映像原理；存在唯一性　中图分类号：Ｏ１７５．８　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１一ｌｌ９Ｘ（２Ｏ１３）０１—００６５—０２　证明　』司题（１）等价于如Ｆ　ｌ司题　０　引　言　ｆ一“　㈤一　），　㈤）一　㈤，Ｏ＜ｔ＜ｌ，１　对于带有各种边值条件的显式二阶微分方程，　１ｕ（０）一　）一ｏ　ｆ　已有很多的解的存在唯一性结果，且在这些问题研　设　（　）一一“　（　）．注意到“（０）＝＝：“（１）一０，因　究中有着很多的研究方法（见文献［１—４］）．非常自　此　是如下积分方程　然地，我们会问：对于如下二阶隐式微分方程两点边　值问题．　（　）一　（ｆ，ｊ。Ｇ（　）　（　）ｄｓ，一　（￡））＋　（　）　（ｔ，　（　），Ｕ　（　））一０，０＜￡＜１，　的解，这表明　｛　（ｏ）：：：“（１）一０　（１’　“（　）一Ｉ　Ｇ（ｔ，ｓ）　（ｓ）ｄｓ　Ｊ　０　解的存在唯一性结果是否仍然可获得？本文将　是问题（１）的解，其中　证明答案是肯定的．　Ｇ（，　ｔ，５）一、　Ｊ　ｆ　ｓ（１一￡），０≤ｓ≤、　、　ｔ≤１，、　　ｌ　（１—５），０≤ｔ≤ｓ≤１・　１　预备知识　定义算子Ａ：Ｃ［ａ，６］一　口，６］　（Ｈ１）ｆ：［０，１］×Ｒ×Ｒ—Ｒ是连续的；　Ａｖ（ｔ）一　，ｊ。Ｇ（　）ｄｓ，一　）＋　（Ｈ２）存在Ｍ，Ｌ＞０，使得对任意的　，　，Ｕ　，　要证问题（１）有唯一解等价于证明上面所定义　∈Ｒ　的算子Ａ是一个压缩映射．　ｆ（ｔ，　１，　１）一－厂（ｔ，Ｍ２，７２２）≤Ｌ（　２一　１）＋Ｍ（　２　设　，　∈ＣＥａ，６］，由（Ｈ２）有　１）．　设ｃ［ｏ，１］是Ｂａｎａｃｈ空间，具有范数Ｉ　ｌＸ　ｌ１。一　ｌｌ　一Ａ　ｚ　ｌｌ。一ｍ。≤　ａｘ　ｆ　（￡，ｊ。Ｇ（￡，　ｍａｘｌｚ（￡）『．　ｓ）　１（ｓ）ｄｓ，一７ｄ１（￡））＋　ｌ（￡）　０≤ｔ≤１　２主要结果及证明　厂（￡，』　Ｇ（　，ｓ）　（ｓ）ｄｓ，一　（￡））一　（￡）Ｉ　ｍ。≤　ａｘ　Ｉ击Ｊ’　Ｇ　）一　ｓ））　本文的主要结果如下：　定理设（Ｈ１）和（Ｈ２）成立，且Ｌ＜４Ｍ　≤南　一　ｚ＿　ｌ０　则问题（１）有唯一解．　因此对任意　，　∈ｃ［ａ，６］，　收稿日期：２０１２—１１—１３　作者简介：姚晓斌（１９８１一），男，讲师．研究方向：常微分方程边值问题　６６　湖南工程学院学报　２０１３正　ＩＩ　Ａｖｌ－－Ａｖｅ　ＩＩ。＜　Ｉ　一　ｚＩ　Ｉｔ。　成立，且　一—４』　＜１，这表明Ａ是一个压缩映射．Ｖ／　　参考　文献　［１　Ａｇａｒｗａｌ，Ｒ．Ｐ．．Ｔｗｏ—ｐｏｉｎｔ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｆｏｒ　Ｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒ　３例　设　厂（￡，“，　）～３ｕ　６　ＳＰｅｃｏ　ｎｄＯｒｄｅｒＤ．　ｅｎｌ　Ｅｑｕｔｉａ。　口ｌ　Ｍ　ｈ、，ｓ。ｉ．１９７４．５７１５７６．　［２］Ｄａｓ，Ｋ．Ｍ．．ａｎｄ　Ｌａｌｌｉ，Ｂ．Ｓ．．Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂ一　ｌｅｍｓ　ｆｏｒ　一ｆ（ｘ，ｙ，ｙ　，ｙ，　）．Ｊ．Ｍａｔｈ［Ｊ］．Ａｎａｌｙｓｉｓ　￣Ｎ－＠ｉｉＥ（Ｈ１）成立．　证明对　ｉ，ｕｅ，ｗｅ￣Ｒ　意的　，ｖ…、　Ａｐｐ¨　・　。。　，　：。∞一。。　・　’，厂（￡，　，　・）一厂（　，“　，　）≤。（ｕ２－－ｕ１）＋６（ｖ２一　，　因此（Ｈ２）成立・　ｉ≥　ＯＢｎ　。Ｂ　ｏｕ　ｎｄ。ａ　ｒｙ　ｈ　Ｖ　ａ　ｌｕ　ｅ　Ｐ　ｒｏ　　ｂ。ｌ　ｅｍＭｓ　ｆ　ｈｏｒ　ｍｙ．　．一　．ｃ　，Ａ。　。　ｉ　［　］，ｓｉ　ｉｃ　．１９８４，１２（２）：１５３—１５７．　［４］　Ｂａｘ　ｌｅｙ，Ｊ．ｖ．．ａｎｄ　Ｂｒｏｗｎ，Ｓ．Ｅ．．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａ　ｄ　ｕ一　考查如下问题　ｆ～３ｕ（ｔ）一６ｕ　（￡）一０，Ｏ＜￡＜１，　ｎ　ｑｕｅｎｅｓｓ　ｆｏｒ　Ｔｔｗｏ—ｐｏｉｎｔ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｒｏｙ　ａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　ｏｆ　Ｅｄｉｎｂｕｒｇｈ．　｛“（ｏ）一“（１）一０　注意到ａ＜ｌ，可应用定理得到所考察的问题有　唯一解．　１９８１，８８Ａ：２ｌ９—２３４．　［５］Ｄ．Ｇｕｏ，Ｊ．Ｓｕｎ，Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．　Ｓｈａｎｄｏｎｇ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｐｒｅｓｓ　Ｊｉｎａｎ，１９８７・　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ　Ｔｗｏ—ｐｏｉｎｔ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｖｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔＯ　ｔｗｏ—ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｄｉｓｃｌｌｓｓｅｄ．Ｔｈｅ　ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｉｓ　ｅｍ—　ｐｌｏｙｅｄ　ｔｏ　ｏｂｔａｉｎ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｒｅｓｕｌｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ；ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅ一　・＋＊＋＊＋　＋ｎ＋“—　（上接第４７页）　［５］　薛雷，李琳，王龙鹤，等．基于ＡｒｃＧＩＳ　Ｓｅｒｖｅｒ和Ａｊａｘ的　Ｅ６］　陈宏飞，等．基于ＳＶＧ与Ａｊａｘ技术的ＷｅｂＧＩＳ的研究　ＷｅｂＧＩＳ系统开发［Ｊ］．农业网络信息，２００８（７）．　与设计ＥＪ］．陕西师范大学学报，２００９（６）．　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ａｎｄ　Ｐｒａｃｔｉｃｅ　ｏｎ　Ｇｅｏｇｒａｐｈｉｃａｌ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｙｓｔｅｍ（ＷｅｂＧＩＳ）　ＨＡＮ　Ｎｉｎｇ　，ＬＩ　Ｗｅｉ　（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ａｎｄ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ，Ｈｕｎａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉａｎｇｔａｎ　４１１１０４，Ｃｈｉｎａ；　２．Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　ｏｆ　Ｈｕｎａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉａｎｇｔａｎ　４１１１０１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｒｃＧＩＳ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｔＯ　ａｎａｌｙｚｅ　ａｎｄ　ｄｅｓｉｇｎ　ＧＩＳ　ｓｙｓｔｅｍ（ＷｅｂＧＩＳ）ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ａ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｏｆ．Ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｍｉｃｒｏｓｏｆｔ　Ｖｉｓｉｏ　Ｓｔｕｄｉｏ　ｐｌａｔｆｏｒｍ　ｔＯ　ｒｅａｌｉｚｅ　ｔｈｅ　Ｂ／Ｓ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｗｉｔｈ　ｅ＃ａｎｄ　ＳＱ　Ｌ　Ｓｅｒｖｅｒ　２００８　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄａｔａｂａｓｅ．Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｓ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ｔｏｏｌｓ，ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ，ａｎｄ　ｎｅｅｄｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｓｙｓｔｅｍ　ｄｅｓｉｇｎ　ａｎｄ　ｄｅｓｉｇｎ　ｉｄｅａｓ．Ｔｈｅ　ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｓｔａｔｕｓ　ｃｈａｒｔ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｅｔｗｏｒｋ；ｇｅｏｇｒａｐｈｉｃ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍ；ＷｅｂＧＩＳ