数学奥林匹克高中训练题(09)

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．(训练题09)由(3x32)100展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有（B）项．

(A) 50 (B) 17 (C) 16 (D) 15

2．(训练题09)已知z满足z512i3．则z的最大值是（D）

(A) 3 (B) 10 (C)20 (D)16

EF3．(训练题09)正方体ABCDA过E,F,B1 1BC11D1的棱长为a，为CD的中点，为AA1的中点，

的截面面积是（C）

(A) 5552292112927292a (B) a (C) a (D) a 1924488xx4．(训练题09)方程sincos1(023)的解的个数是（B）．

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 大于2

5．(训练题09)设a是正整数，a100，并且a23能被24整除．那么，这样的a的个数为（B）．

(A) 4 (B) 5 (C) 9 (D) 10

6．(训练题09)从1,2,,49中取出六个不同的数,其中至少有两个是相邻的，所有的取法种数是（D）．

666556(A)C49 (B) C44 (C) C49 (D) C49 C44C44二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．(训练题09)已知z1,z2在复平面上对应点分别为P,Q，且z24,4z12z1z2z20．则P,Q与原点O所成的OPQ面积等于___23_____．

2．(训练题09)设四面体ABCD的体积为V,E为棱长AD的中点，F在AB的延长线上，且

22BFAB，过C,E,F三点的平面交BD于G．则四面体CDGE的体积为___

V_____． 33．(训练题09)设x,y,z0且xyz1．则

149的最小值为___36_____． xyz24．(训练题09)函数f(x)xa在区间1x1内的最大值M(a)的最小值是____

1____． 25．(训练题09)对于正整数m，它的个位数码用f(m)表示，记anf(2n11)(n1,2,．则)a1994_____7___．

6．(训练题09)n(n3)条直线中恰有p(p2)条互相平行，而且n条直线中没有3条相交于同一点，

则这条直线将平面分割成的块数是___

12(np2np2)_____． 2第二试

一、(训练题09)（本题满分25分）已知圆的方程为x2y24．试在坐标平面上求两点A(s,t),B(m,n)，使下列两条件满足：

(1) 圆上任意一点到A点的距离与到B点的距离之比为定值k；

(2) sm,tn，且m,n均为自然数．((2,2),(1,1))

二、(训练题09)（本题满分25分）求满足条件的实系数多项式f(x)；

(1) 对于任意的实数a，有f(a1)f(a)f(1)； (2) 存在某一实数k10，使f(k1)k2,f(k)2k,3,f(k)的次数．(f(x)x)

三、(训练题09)（本题满分35分）正整数n的所有约数之和用f(n)表示，(比如f(4)1247)．试答下列各问：

(1) 证明：如果m和n互质，那么f(mn)f(m)f(n)；

(2) 当a是n的约数(an)，且f(n)na，试证n是质数，其次，如果l是正整数，21是质数，试证l也是质数；

kp1pn)2n．(3) 设n2m(k为正整数，m为奇数)，且f(试证存在质数p使得n2(21)．

l1nk,f(k)nkn1，其中n为f(x)四、(训练题09)（本题满分35分）数列1,1,3,3,3,3,,3两个31992221992,31992是由两个1，两个3，两个32，…，

按从小到大顺序排列，数列各项的和记为S，对于给定的自然数n，若能从数列中选取一些

不同位置的项，使得这些项之和恰等于n，便称为一种选项方案，和数为n的所有选项方案的种数记为f(n)．试求：f(1)f(2)f(s)的值．(f(1)f(2)f(s)419931)