2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法试题理

1．“三个二次”的关系 判别式Δ＝b－4ac 二次函数y＝ax＋22Δ>0 Δ＝0 Δ<0 bx＋c (a>0)的图像 一元二次方程ax2 有两相异实根x1， 有两相等实根 ＋bx＋c＝0 (a>0)的根 一元二次不等式x2(x10 (a>0)的解集 一元二次不等式{x|xx2} {x|x≠－} 2a{x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 2.常用结论

{x|x1< x0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法

不等式 (x－a)·(x－b)>0 (x－a)·(x－b)<0

口诀：大于取两边，小于取中间． 【知识拓展】

1

解集 ab {x|xb} {x|aa} {x|b>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)．

gx

fx

≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

gx

以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若不等式ax＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )

(2)若不等式ax＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ )

(3)若方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax＋bx＋c>0的解集为R.( × ) (4)不等式ax＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b－4ac≤0.( × ) (5)若二次函数y＝ax＋bx＋c的图像开口向下，则不等式ax＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( √ )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1．(教材改编)不等式x－3x－10>0的解集是( ) A．(－2,5) C．(－∞，－2) 答案 D

解析 解方程x－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，

由于y＝x－3x－10的图像开口向上，所以x－3x－10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)． 2．设集合M＝{x|x－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( ) A．(0,4] C．[－1,0) 答案 B

解析 ∵M＝{x|x－3x－4<0}＝{x|－13．(教材改编)y＝log2(3x－2x－2)的定义域是________________________． 1－71＋7答案 (－∞，)∪(，＋∞)

33解析 由题意，得3x－2x－2>0，

1－71＋72

令3x－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，

33

2

2

2

22

2

2

2

2

B．(5，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(5，＋∞)

B．[0,4) D．(－1,0]

1－71＋722

∴3x－2x－2>0的解集为(－∞，)∪(，＋∞)，即函数y＝log2(3x－2x－2)的

331－71＋7

定义域是(－∞，)∪(，＋∞)．

33

112

4．(教材改编)若关于x的不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b＝________.

23答案 －14

112

解析 ∵x1＝－，x2＝是方程ax＋bx＋2＝0

23

ab4－2＋2＝0，

的两个根，∴ab9＋3＋2＝0，

解得

a＝－12，



b＝－2，

2

∴a＋b＝－14.

5．不等式x＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________． 答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞) 解析 ∵x＋ax＋4≤0的解集不是空集， ∴x＋ax＋4＝0一定有解．

∴Δ＝a－4×1×4≥0，即a≥16，∴a≥4或a≤－4.

2

2

2

2

题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参数的不等式

例1 求不等式－2x＋x＋3<0的解集． 解 化－2x＋x＋3<0为2x－x－3>0， 32

解方程2x－x－3＝0，得x1＝－1，x2＝，

2

32

∴不等式2x－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－

23

1)∪(，＋∞)．

2

命题点2 含参数的不等式

例2 解关于x的不等式：x－(a＋1)x＋a<0. 解 由x－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0， ∴x1＝a，x2＝1，

①当a>1时，x－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|13

2

2

2

2

2

2

②当a＝1时，x－(a＋1)x＋a<0的解集为∅， ③当a<1时，x－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|a将原不等式改为ax－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集． 解 若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1. 1

若a<0，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，

2

2

2

a1

解得x<或x>1.

a1

若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0.

a11

①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)<0无解；

aaa11

②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<0，

a1

得a11

③当01，解(x－)(x－1)<0，

aa1

得1a1

综上所述，当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；

a当a＝0时，解集为{x|x>1}； 1

当0a当a＝1时，解集为∅； 1

当a>1时，解集为{x|a思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．

(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；

(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．

解下列不等式：

(1)04

2

(2)求不等式12x2－ax＞a2

(a∈R)的解集． 解 (1)原不等式等价于

x2

2

－x－2>0，x2－x－2≤4

⇔x－x－2>0，

x2

－x－6≤0

⇔



x－2x＋1>0，

x－⇔

x>2或x<－1，



3x＋2≤0



－2≤x≤3.

借助数轴，如图所示，

所以原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2－ax＞a2

，∴12x2

－ax－a2

＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 得xaa1＝－4，x2＝3

.

当a＞0时，－aa

aa

4＜3，解集为x|x＜－4或x＞3；

当a＝0时，x2

＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a＜0时，－aa

aa

4＞3，解集为x|x＜3或x＞－4. 综上所述，当a＞0时，不等式的解集为



x|x＜－a4或x＞a

3；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a＜0时，不等式的解集为

x|x＜aa

3或x＞－4.

题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R上的恒成立问题

例3 (1)若一元二次不等式2kx2

＋kx－38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( A．(－3,0] B．[－3,0) C．[－3,0]

D．(－3,0)

(2)设a为常数，对于任意x∈R，ax2

＋ax＋1>0，则a的取值范围是( ) A．(0,4) B．[0,4) C．(0，＋∞) D．(－∞，4)

答案 (1)D (2)B

)

5

32

解析 (1)∵2kx＋kx－<0为一元二次不等式，

8∴k≠0，

32

又2kx＋kx－<0对一切实数x都成立，

82k<0，

则必有32

Δ＝k－4×2k×－<0，8

2

解得－3a>0，

(2)对于任意x∈R，ax＋ax＋1>0，则必有2

Δ＝a－4a<0

或a＝0，∴0≤a<4.

命题点2 在给定区间上的恒成立问题

例4 设函数f(x)＝mx－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，

2

123

即mx－＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

24

有以下两种方法：

123

方法一 令g(x)＝mx－＋m－6，x∈[1,3]．

24

当m>0时，g(x)在[1,3]上是增加的， 所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0， 66

所以m<，所以077当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g(x)在[1,3]上是减少的，

所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0. 6

综上所述，m的取值范围是{m|m<}．

7

1232

方法二 因为x－x＋1＝x－＋>0，

24

又因为m(x－x＋1)－6<0，所以m<因为函数y＝6

＝x－x＋1

22

6

.

x－x＋1

2666

在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可． 1377x－22＋4

6

所以，m的取值范围是m|m<.

7

命题点3 给定参数范围的恒成立问题

6

例5 对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． 解 由f(x)＝x＋(m－4)x＋4－2m ＝(x－2)m＋x－4x＋4， 令g(m)＝(x－2)m＋x－4x＋4.

由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，

g－1＝x－2×－1＋x－4x＋4>0，∴2

g1＝x－2＋x－4x＋4>0.

2

2

22

2

解得x<1或x>3.

故当x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．

思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．

(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．

(1)已知函数f(x)＝x＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，

则实数m的取值范围是________． 答案 (－

2

，0) 2

2

解析 作出二次函数f(x)的草图， 对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，

fm<0，则有

fm＋1<0，

2

2

m＋m－1<0，即2

m＋1＋mm＋1－1<0，

2

解得－

2

(2)已知不等式mx－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 不等式mx－2x－m＋1<0恒成立，

即函数f(x)＝mx－2x－m＋1的图像全部在x轴下方． 1

当m＝0时，1－2x<0，则x>，不满足题意；

2

22

7

当m≠0时，函数f(x)＝mx－2x－m＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx－2x－m＋1＝0无解，即

m<0，Δ＝4－4m1－m<0，

2

2

不等式组的解集为空集，

即m无解．

综上可知，不存在这样的m. 题型三 一元二次不等式的应用

例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝8

10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．

5

(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．

x8解 (1)由题意得，y＝1001－·1001＋x. 1050

因为售价不能低于成本价，所以1001－－80≥0.

10所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260， 1132

化简得8x－30x＋13≤0，解得≤x≤.

24



x1所以x的取值范围是，2.

2

思维升华 求解不等式应用题的四个步骤

(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．

(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．

(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．

甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时

3

可获得的利润是100·(5x＋1－)元．

x(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．

3

解 (1)根据题意，得200(5x＋1－)≥3 000，

x 8

32

整理得5x－14－≥0，即5x－14x－3≥0，

x又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.

即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y元，则

y＝9003·100(5x＋1－) xx134

＝9×10(5＋－2) xx112614

＝9×10[－3(－)＋]，

x612故当x＝6时，ymax＝457 500元．

即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．

思维升华 求解不等式应用题的四个步骤

(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．

(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．

(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．

14．转化与化归思想在不等式中的应用

典例 (1)已知函数f(x)＝x＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)2

x2＋2x＋a(2)已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值

x范围是________．

思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． 解析 (1)由题意知f(x)＝x＋ax＋b

2

aa2

＝x＋＋b－.

42

∵f(x)的值域为[0，＋∞)，

2

9

∴b－a2a2

4＝0，即b＝4.

∴f(x)＝

x＋a22

. 又∵f(x)x＋a22

即－a－ca2＋c.

c＝m， ①∴－a2－－a2＋c＝m＋6. ②

②－①，得2c＝6，∴c＝9.

(2)∵x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2＋2x＋ax>0恒成立，

即x2

＋2x＋a>0恒成立．

即当x≥1时，a>－(x2

＋2x)＝g(x)恒成立．

而g(x)＝－(x2

＋2x)＝－(x＋1)2

＋1在[1，＋∞)上是减少的， ∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3. ∴实数a的取值范围是{a|a>－3}． 答案 (1)9 (2){a|a>－3}

1．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为( ) A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2} C．{x|12}

答案 A

解析 由(x－1)(2－x)≥0可知(x－2)(x－1)≤0， 所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}． 2．(2016·潍坊模拟)函数f(x)＝1

ln－x2

＋4x－3

的定义域是( A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3)

答案 D

)

10

解析 由题意得－x＋4x－3>0，即x－4x＋3<0， ∴1又ln(－x＋4x－3)≠0，即－x＋4x－3≠1， ∴x－4x＋4≠0，∴x≠2. 故函数定义域为(1,2)∪(2,3)．

3．若集合A＝{x|ax－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是( ) A．{a|0解析 由题意知a＝0时，满足条件．

a>0，

当a≠0时，由2

Δ＝－a－4a≤0，

2

2

2

2

22

B．{a|0≤a<4} D．{a|0≤a≤4}

得0x－4x＋6，x≥0，

4．设函数f(x)＝

x＋6，x<0，

2

则不等式f(x)>f(1)的解集是( )

A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A

x≥0，

解析 由题意得2

x－4x＋6>3

x<0，

或x＋6>3，

解得－33.

5．已知不等式x－2x－3<0的解集为A，不等式x＋x－6<0的解集为B，不等式x＋ax＋b<0的解集为A∩B，那么a＋b等于( ) A．－3 C．－1 答案 A

解析 由题意，A＝{x|－16．若关于x的不等式x－2ax－8a<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于( )

2

2

2

2

2

2

B．1 D．3

11

5A. 215C. 4答案 A

解析 由x－2ax－8a<0， 得(x＋2a)(x－4a)<0，因为a>0， 所以不等式的解集为(－2a,4a)，

2

2

7B. 215D. 2

即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15， 5

得4a－(－2a)＝15，解得a＝.

2

1122

7．已知不等式ax－bx－1≥0的解集是－，－，则不等式x－bx－a<0的解集是( )

32A．(2,3)

B．(－∞，2)∪(3，＋∞) 11D.－∞，∪，＋∞ 32

11C.，

32

答案 A

11112

解析 由题意知－，－是方程ax－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋－＝

2323

b1112

，－×－＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x－bx－a<0， a23a即x－5x＋6<0，解集为(2,3)．

8.已知函数f(x)＝－x＋ax＋b－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋

2

2

2

x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是( )

A．－12 答案 C

解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图像的对称轴为直线x＝1， 则有＝1，故a＝2.

2

由f(x)的图像可知f(x)在[－1,1]上是增加的．

∴x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b－b＋1＝b－b－2， 令b－b－2>0，解得b<－1或b>2.

9．若不等式－2≤x－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为________． 答案

1±5

2

2

2

2

2

B．b>2 D．不能确定

a 12

解析 若不等式－2≤x－2ax＋a≤－1有唯一解， 则x－2ax＋a＝－1有两个相等的实根， 1±52

所以Δ＝4a－4(a＋1)＝0，解得a＝. 2

2a－3

10．设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取

a＋1值范围是________． 2

答案 (－1，) 3

解析 ∵f(x＋3)＝f(x)，

∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)<－1. ∴

2a－33a－2

<－1⇔<0⇔(3a－2)(a＋1)<0， a＋1a＋1

2

2

2∴－13

11.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－4x，则不等式f(x＋2)<5的解集是______________． 答案 {x|－7解析 令x<0，则－x>0，∵x≥0时，f(x)＝x－4x，∴f(－x)＝(－x)－4(－x)＝x＋4x，

x－4x，x≥0，

又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝x＋4x，故有f(x)＝2

x＋4x，x＜0.

2

2

2

2

2

2

再求f(x)<5的解，

x≥0，

由2

x－4x<5，

x<0，

得0≤x＜5；由2

x＋4x<5，

得－512．设二次函数f(x)＝ax＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m0的解集； 1

(2)若a>0，且02

a解 (1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)． 当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0， 即a(x＋1)(x－2)>0.

当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；

13

当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)， 1

∵a>0，且0a∴x－m<0,1－an＋ax>0. ∴f(x)－m<0，即f(x)32

13.(2016·烟台模拟)已知不等式(a＋b)x＋(2a－3b)<0的解为x>－，解不等式(a－2b)x＋2(a－b－1)x＋(a－2)>0. 解 因为(a＋b)x＋(2a－3b)<0， 所以(a＋b)x<3b－2a， 因为不等式的解为x>－3

4，

所以a＋b<0，且3b－2a3

a＋b＝－4，

解得a＝3b<0，

则不等式(a－2b)x2

＋2(a－b－1)x＋(a－2)>0 等价为bx2

＋(4b－2)x＋(3b－2)>0， 即x2

＋(4－2b)x＋(3－2b)<0，

即(x＋1)(x＋3－2

b)<0.

因为－3＋2

b<－1，

所以不等式的解为－3＋2

b即所求不等式的解集为{x|－3＋2

b414