初中数学 第4章 几何图形初步 教案及试题

步

基础知识通关

4.1 几何图形

1. 几何图形：长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形.

2. 立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在 内，

它们是立体图形.

3. 平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在 内，

它们是平面图形.

4. 展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成 .

这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. 5.点、线、面、体：

（1） 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥几何体.几何体也简称体； （2） 面：包围着体的是面； （3） 线：面和面相交的地方形成线； （4） 点：线和线相交的地方是点.

4.2 直线、射线、线段

6. 两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单说成： ................

7. 交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线 ，这个 叫做它们

的交点.

8. 尺规作图：在数学中，我们常限定用 和 作图，这就是尺规作图.

9. 中点：点 M 把线段 AB 分成 的两条线段AM 与MB，点 M 叫做线段 AB 的中点. 10. 两点的所有连线中， 最短.简单说成：两点之间，线段最短. 11. 距离：连接两点间的 ，叫做这两点的距离.

4.3 角

12. 角：角也是一种基本的几何图形.

13. 度、分、秒：

（1） 把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，记作 ； （2） 把一度的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，记作 ； （3） 把 1 分的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，记作 ..

14. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个 的角的射线，叫做这个

角的平分线.

15. 余角：一般地，如果两个角的和等于 （直角），就说这两个角互为余角. 16. 补角：类似地，如果两个角的和等于 （平角），就说这两个角互为补角. 17. 余角的性质：同角（等角）的余角 .... 18. 补角的性质：同角（等角）的补角 ....

19. 角的运算：如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；

如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差. 4.4 课题学习-设计制作长方体形状的包装纸盒

单元检测

一．选择题（共 10 小题）

1. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示的是它的展开图，那么在原正方体中，与“神“字所在面相对的面上的汉字是（ ）

A．认 C．确

B．眼 D．过

2. 下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（ ）

A．

B．

C. D．

3. 下列说法错误的个数为（ ）

①57.18°＝57°10′48″②三条直线两两相交，有三个交点③x＝0 是一元一次方程④若线段 PA＝ PB，则点 P 是线段 AB 的中点⑤连接两点间的线段，叫做两点间的距离． A．1 个 A．4 条

A．0.25°＝900″ C．47.28°＝47°16′48″ A．107.5°

A．北偏东 65°，北偏西 40° B．北偏东 65°，北偏西 50° C．北偏东 25°，北偏西 40° D. 北偏东 35°，北偏西 50°

8. 如图，∠AOB＝130°，射线 OC 是∠AOB 内部任意一条射线，OD、OE 分别是∠AOC、∠BOC 的角平

B．2 个 B．6 条

C．3 个 C．8 条

D．4 个D．无数条

4．在平面内有A、B、C、D 四点，过其中任意两点画直线，则最多可以画（ ） 5．下列换算中，错误的是（ ）

B．16°5′24″＝16.09° D．80.5°＝80°50′ C．97.5°

D．72.5°

6. 已知互为补角的两个角的差为 35°，则较大的角是（ ）

B．108.5°

7. 如图，在A、B 两处观测到 C 处的方位角分别是（ ）

分线，下列叙述正确的是（ ）

A. ∠DOE 的度数不能确定 B. ∠AOD＝ ∠EOC

C．∠AOD+∠BOE＝65° D．∠BOE＝2∠COD

9. 将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD 为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE 的度数为

（ ） A．55° B．50° C．45° D．60°

10. 在图所示的 4×4 的方格表中，记∠ABD＝α，∠DEF＝β，∠CGH＝γ，则（ ）

A．β＜α＜γ

B. β＜γ＜α C. α＜γ＜β

D．α＜β＜γ

二．填空题（共 10 小题）

11. 下面的几何体中，属于柱体的有 个．

12. 已知角 A 的余角比它的补角的还少 10°，则∠A＝ ．

13．已知：∠A 的余角是 52°38'，则∠A 的补角是 ． 14． 计 算 ：48°59′+67°31′﹣21°12′＝ ．

15. 如图所示，在一条笔直公路 l 的两侧,分别有 A、B 两个小区,为了方便居民出行,现要在公路 l

上建一个公共自行车存放点,使存放点到A、B 小区的距离之和最小,你认为存放点应该建在 处 （填“C”“E”或“D”），理由是 ．

16. 已知，在直线 AB 上有一点 C，BC＝3cm，AB＝8cm，M 为线段 AB 的中点，N 为线段 BC 的中点， 则 MN＝ ．

17. 如图，∠AOB＝140°，如果点 A 在点 O 的北偏东 20°，那么点 B 在点O 的南偏西 °．

第 17 题 图 第 18 题 图

18．如图，∠AOD＝135°，∠AOC＝75°，∠DOB＝105°，则∠BOC＝ ．

19. 正方体切去一个块，可得到如图几何体，这个几何体有 条棱．

20. 已知 A、B、C 三点都在直线 l 上，AC 与 BC 的长度之比为 2：3，D 是 AB 的中点．若 AC＝4cm， 则 CD 的 长 为 cm．

三．解答题（共 5 小题）

21. 如图，B、C 两点把线段 MN 分成三部分，其比为 MB：BC：CN＝2：3：4，点 P 是 MN 的中点，PC ＝2cm，求 MN 的长．

22. 如图，已知 OD 平分∠AOB，OE 在∠BOC 内，且∠BOE＝（1） 若知∠AOB＝70°，求∠EOC 的度数； （2） 若知∠DOE＝70°，求∠EOC 的度数．

∠EOC，∠AOC＝170°．

23. 如图，已知四点 A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹） （1） 画直线 AB； （2） 画射线 AC；

（3） 连接 BC 并延长 BC 到 E，使得 CE＝AB+BC； （4） 在线段 BD 上取点 P，使 PA+PC 的值最小．

24. 已知线段 AB＝m（m 为常数），点 C 为直线 AB 上一点，点 P、Q 分别在线段 BC、AC 上，且满足

CQ＝2AQ，CP＝2BP．

（1） 如图，当点C 恰好在线段 AB 中点时，则 PQ＝ （用含m 的代数式表示）；

（2） 若点 C 为直线 AB 上任一点，则 PQ 长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说

明理由；

（3） 若点 C 在点 A 左侧，同时点 P 在线段 AB 上（不与端点重合），请判断 2AP+CQ﹣2PQ 与 1 的大

小关系，并说明理由．

25. 如图 1，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点 A 处，∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，保持三角

尺 ABC 不动，三角尺 AED 绕点 A 顺时针旋转，旋转角度小于 180°．

（1） 如图 2，AD 是∠EAC 的角平分线，直接写出∠DAB 的度数； （2） 在旋转的过程中，当∠EAB 和∠DAC 互余时，求∠BAD 的值．

四、附加题

26. 如果两个锐角的和等于 90°，就称这两个角互为余角．类似可以定义：如果两个角的差的绝对值等于 90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠l＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°， 则∠1 和∠2 互为垂角（本题中所有角都是指大于 0°且小于 180°的角）．

（1） 如图，O 为直线 AB 上一点，OC 丄 AB 于点 O，OE⊥OD 于点 O，请写出图中所有互为垂角的角

有 ；

（2） 如果有一个角的垂角等于这个角的补角的 ，求这个角的度数．

27．P 是线段 AB 上一点，AB＝12cm，C，D 两点分别从 P，B 同时向 A 点运动，且 C 点的运动速度为2cm/s，D 点的运动速度为 3cm/s，运动的时间为 ts．

（1） 如图若 AP＝8cm，

①运动 1s 后，求 CD 的长；

②当 D 在线段 PB 上运动时，试说明线段 AC 和线段 CD 的数量关系；

（2） 如果t＝2 时，CD＝1.5cm，试探索 AP 的值．

基础知识通关答案

3. 同一平面 4. 平面图形 6.两点确定一条直线

7.相交 ，公共点

8.无刻度的直尺 ，圆规

9.相等

10.线段

11.线段的长度

13.1°，1′， 1″

14.相等

2. 同一平面

15.90° 16.180° 17.相等 18.相等

单元检测答案

一．选择题（共 10 小题）

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． .1

【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “神”与“确”是相对面． 故选：C． 【知识点】2,4

.2

【分析】根据特殊几何体的展开图，可得答案． 【解答】解：A、圆柱的侧面展开图是矩形，故 A 错误； B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故 B 错误； C、圆锥的侧面展开图是扇形，故 C 正确； D、三棱锥的侧面展开图是三角形，故 D 错误． 故选：C． 【知识点】2,4

【分析】依据度分秒的换算，相交线，一元一次方程的定义，线段的中点的定义、两点间的距离的.3

概念进行判断即可．

【解答】解：①57.18°＝57°10′48″，正确； ②三条直线两两相交，有一个或三个交点，错误； ③x＝0 是一元一次方程，正确；

④若线段 PA＝PB，则点 P 不一定是线段 AB 的中点，错误； ⑤连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离，错误． 故选：C． 【知识点】7,9,11,13

【分析】没有明确平面上四点是否在同一直线上，需要运用分类讨论思想.分四点在同一直线上， .4

当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，当没有三点共线时三种情况讨论即可．

【解答】解：分三种情况：

1、四点在同一直线上时，只可画 1 条；

2、当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，可画 4 条； 3、当没有三点共线时，可画 6 条． 所以最多可以画 6 条．故选：B． 【知识点】6,7

.5

【分析】直接利用度分秒转换法则分别计算得出答案． 【解答】解：A、0.25°＝15′＝900″，正确，不合题意； B、16°5′24″＝16°5.4′＝16.09°，正确，不合题意； C、47.28°＝47°16′48″，正确，不合题意； D、80.5°＝80°30′，错误，符合题意．故选：D． 【知识点】13

【分析】设较大的角为 x，根据互为补角的两个角的和等于 180°表示出较小的角，然后列出方程.6

求解即可．

【解答】解：设较大的角为 x，则较小的角为 180°﹣x 根据题意得，x﹣（180°﹣x）＝35° 解得 x＝107.5° 故选：A． 【知识点】16

.7

【分析】根据方向角的定义即可判断．

【解答】解：A 处观测到的 C 处的方向角是：北偏东 65° B 处观测到的C 处的方向角是：北偏西 50°． 故选：B． 【知识点】12,13

.8【分析】依据 OD、OE 分别是∠AOC、∠BOC 的平分线，即可得出 ∠AOD+∠BOE＝∠EOC+∠COD＝∠DOE＝65°，结合选项得出正确结论． 【解答】解：∵OD、OE 分别是∠AOC、∠BOC 的平分线 ∴∠AOD＝∠COD，∠EOC＝∠BOE

又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD＝∠AOB＝130° ∴∠AOD+∠BOE＝∠EOC+∠COD＝∠DOE＝65° 故选：C． 【知识点】14

【分析】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为 90°，然.9

后根据平角的定义即可得到结论．

【解答】解：∵一张长方形纸片沿 BC、BD 折叠 ∴∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD 而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180° ∴∠A′BC+∠E′BD＝180°× ＝90° 即∠ABC+∠DBE＝90° ∵∠ABC＝35° ∴∠DBE＝55° 故选：A．

【知识点】16

.01

【分析】根据题意和图得出：∠DGC＝∠DCG＝45°,∠HGF＝∠GHF＝45°,再根据

∠DGC+∠HGF+γ＝180°，从而得出 γ＝90°，然后结合图观察出 α＞90°，β＜90°，最后比较大小即可．

【解答】解：由题意知：∠DGC＝∠DCG＝45° 同理∠HGF＝∠GHF∠＝45° 又∵∠DGC+∠HGF+γ＝180° ∴γ＝90°

由图可知α＞90°，β＜90° ∴β＜γ＜α 故选：B．

【知识点】16

二．填空题（共 10 小题） .1【分析】解这类题首先要明确柱体，椎体、球体的概念，然后根据图示进行解答．

【解答】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有第一个图形正方体、第三个图形圆柱、第五个图形六棱柱，第六个图形三棱柱共 4 个． 故答案为：4． 【知识点】2

.21

【分析】根据题意和余角、补角的概念列出方程，解方程即可． 【解答】解：设∠A=a

由题意得 90°﹣a＝（180°﹣a）﹣10°，解得 a＝60°． 故答案为：60°． 【知识点】15,16

.31【分析】根据一个角的补角比它的余角多 90°求解即可．

【解答】解：∠A 的余角为：90°﹣∠A，∠α 的补角为：180°﹣∠A ∴∠A 的补角比∠A 的余角大 90° ∴∠A 的补角为：52°38′+90°＝142°38′ 故答案为：142°38′ 【知识点】15,16

.41【分析】根据度分秒加减法计算法则进行解答．

【解答】解：48°59′+67°31′﹣21°12′＝116°30′﹣21°12′＝95°18′． 故答案为：95°18′ 【知识点】13

.51【分析】根据两点之间线段最短可得公共自行车存放点的位置是 E 处． 【解答】解：公共自行车存放点应该建在 B 处，理由是两点之间线段最短． 故答案为：E，两点之间线段最短． 【知识点】10

【分析】根据中点的定义，可分别求出 AM、BN 的长度，点C 存在两种情况，一种在线段 AB 上， 一.61

种在线段 AB 外，分类讨论，即可得出结论．

【解答】解：依题意可知，C 点存在两种情况，一种在线段 AB 上，一种在线段 AB 外． ①C 点在线段 AB 上，如图 1：

∵点 M 是线段 AB 的中点，点 N 是线段 BC 的中点， ∴AM＝ ＝4cm，BN＝

＝1.5cm， MN＝AB

﹣AM﹣BN＝4﹣1.5＝2.5cm； ②C 点在线段 AB 外，如图 2： ：

∵点 M 是线段 AB 的中点，点 N 是线段 BC 的中点 ∴AM＝ ＝4cm，BN＝

＝1.5cm

MN＝AB﹣AM+BN＝8﹣4+1.5＝5.5cm 综上得 MN 得长为 2.5cm 或 5.5cm 故答案为：2.5cm 或 5.5cm 【知识点】9

.71

【分析】结合图形，然后求出 OB 与西方的夹角的度数，即可得解． 【解答】解：如图，

根据题意得，∠AOC＝20°，∠COD＝90° ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝30° ∴点 B 在点 O 的南偏西 60° 故答案为：60 【知识点】15,19

.81

【分析】根据图中角与角之间的关系即可求出答案． 【解答】解：∵∠AOD＝135°，∠DOB＝105° ∴∠AOB＝∠AOD﹣∠DOB＝135°﹣105°＝30° ∵∠AOC＝75°

∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45° 故答案为：45°． 【知识点】19

.91【分析】通过观察图形即可得到答案．

【解答】如图，把正方体截去一个角后得到的几何体有 12 条棱． 故答案为：12． 【知识点】2,5

.02【分析】抓住 A、B、C 三点都在直线 l 上，没有给顺序也没有给图，基本确定题目多解；确定

两条线段：AC＝4，BC＝6，画出图，根据题中的中点条件和和差关系即可解决问题 【解答】解：∵AC 与 BC 的长度之比为 2：3，AC＝4 ∴BC＝6 如图，C 在 AB 之间时，AB＝AC+BC＝10 D 是 AB 的中点，AD＝DB＝5 CD＝AD﹣AC＝5﹣4＝1

如图，C 在 AB 外面时，AB＝BC﹣AC＝2 D 是 AB 的中点，AD＝DB＝1 CD＝AD+AC＝1+4＝5 故答案：1 或 5 【知识点】9

三．解答题（共 5 小题）

【分析】根据比例设 MB＝2x，BC＝3x，CN＝4x，然后表示出 MN，再根据线段中点的定义表示出PN，.12

再根据 PC＝PN﹣CN 列方程求出 x，从而得解． 【解答】解：∵MB：BC：CN＝2：3：4

∴设 MB＝2xcm，BC＝3xcm，CN＝4xcm ∴MN＝MB+BC+CN＝2x+3x+4x＝9xcm ∵点 P 是 MN 的中点 ∴PN＝ MN＝ xcm ∴PC＝PN﹣CN 即 x﹣4x＝2 解得 x＝4

所以，MN＝9×4＝36cm．

【知识点】9,11

.2

【分析】（1）可以设∠BOE 为x，根据条件列方程解决，求出∠BOE； （2）设∠BOE＝a，则∠ECO＝3a，根据条件列方程解决，求出∠BOE． 【解答】解：∵∠AOC＝170°，∠AOB＝70°

∴∠BOC＝100°

设∠BOE＝x，则∠ECO＝3x

∴∠BOC＝∠BOE+∠EOC＝x+3x＝100° ∴x＝25° ∴∠EOC＝25°

（2）设∠BOE＝a，则∠ECO＝3a ∵∠DOE＝70°，OD 平分∠AOB

∴∠AOD＝∠BOD＝∠DOE-∠BOE＝70°﹣a

∴∠AOC＝2∠AOD+∠BOE+∠EOC＝2（70°﹣a）+a+3a＝170° ∴a＝15° ∴∠EOC＝3a＝45°

【知识点】14,19

.32【分析】根据直线、射线、线段的概念、两点之间，线段最短画图即可． 【解答】解：如图所画：

【知识点】8,10

.42（3）

【分析】（1）根据已知 AB＝m（m 为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定义解答；

（2） 根据已知 AB＝m（m 为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP；

根据题意，画出图形，求得 2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出 2AP+CQ﹣2PQ 与 1 的大小关系． 【解答】解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP

∴CQ＝ AC，CP＝ BC ∵点 C 恰好在线段 AB 中点 ∴AC＝BC＝ AB ∵AB＝m（m 为常数）

∴PQ＝CQ+CP＝ AC+ BC＝ × AB+ × AB＝ AB＝ m； 故答案为： m；

（2） ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP

∴CQ＝ AC，CP＝ BC ∵AB＝m（m 为常数）

∴PQ＝CQ+CP＝ AC+ BC＝ ×（AC+BC）＝ AB＝ m； 故 PQ 是一个常数，即是常数m；

（3） 如图：

∵CQ＝2AQ， ∴2AP+CQ﹣2PQ ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ） ＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ ＝CQ﹣2AQ ＝2AQ﹣2AQ ＝0

∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．

【知识点】9,11

【分析】（1）依据 AD 是∠EAC 的角平分线，即可得出∠DAE＝∠CAD＝45°，再根据∠BAC＝60°， .52

即可得到∠DAB 的度数；

（2）分两种情况讨论，设∠BAD＝α，依据∠EAB 和∠DAC 互余，列方程求解即可． 【解答】解：（1）如图 2，∵AD 是∠EAC 的角平分线

∴∠DAE＝∠CAD＝45° ∵∠BAC＝60°

∴∠DAB＝60°﹣45°＝15°； （2）分两种情况讨论：

①如图，当∠EAB 和∠DAC 互余时，设∠BAD＝α

则∠BAE＝45°﹣α，∠CAD＝60°﹣α ∴45°﹣α+60°﹣α＝90° 解得α＝7.5°；

②如图，当∠EAB 和∠DAC 互余时，设∠BAD＝α 则∠BAE＝α﹣45°，∠CAD＝α﹣60° ∴α﹣45°+α﹣60°＝90° 解得α＝97.5°；

综上所述，当∠EAB 和∠DAC 互余时，∠BAD 的值为 7.5°或 97.5°．

【知识点】14,15,19 四、附加题 .62【分析】（1）根据互为垂角的定义即可求解；

（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的 ”作为相等关系列方程求解． 【解答】解:(1)互为垂角的角有 4 对:

∠EOB 与∠DOB,∠EOB 与∠EOC,∠AOD 与∠COD,∠AOD 与∠AOE； （2）设这个角的度数为x 度，则

①当 0＜x＜90 时，它的垂角是（90+x）度，依题意有90+x＝ （180﹣x）,解得 x＝30；

②当 90＜x＜180 时，它的垂角是（x﹣90）度，依题意有 x﹣90＝ （180﹣x）,解得 x＝130． 故这个角为 30 度或 130 度．

故答案为：∠EOB 与∠DOB，∠EOB 与∠EOC，∠AOD 与∠COD，∠AOD 与∠AOE． 【知识点】15,18,19

【分析】（1）①先求出 PB、CP 与 DB 的长度，然后利用 CD＝CP+PB﹣DB 即可求出答案．②用t表示.72

出 AC、DP、CD 的长度即可证明 AC＝2CD；

（2）当 t＝2 时，求出 CP、DB 的长度，由于没有说明 D 点在 C 点的左边还是右边，故需要分情况讨论．

【解答】解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2（cm），DB＝3×1＝3（cm）

∵AP＝8 cm，AB＝12 cm

∴PB＝AB﹣AP＝4 cm

∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3（cm） ②∴AP＝8 cm，AB＝12 cm ∴BP＝4 cm，AC＝（8﹣2t）cm ∴DP＝（4﹣3t）cm

∴CD＝CP+DP＝2t+4﹣3t＝（4﹣t）cm． ∴线段 AC 是线段 CD 的二倍．

（2）当 t＝2 时，CP＝2×2＝4（cm），DB＝3×2＝6（cm） 当点 D 在点 C 的右边时，如图所示：

∵CD＝1.5 cm ∴CB＝CD+DB＝7.5 cm ∴AC＝AB﹣CB＝4.5 cm ∴AP＝AC+CP＝8.5 cm．

当点 D 在点 C 的左边时，如图所示：

∴AD＝AB﹣DB＝6 cm ∴AP＝AD+CD+CP＝11.5 cm

综上所述：AP＝8.5cm 或 AP＝11.5cm

【知识点】11