鸡泽县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

鸡泽县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知α是△ABC的一个内角，tanα=，则cos（α+A．

2． 设函数f（x）=A．0

B．1

C．2

D．3

，则f（1）=（ ）

B．

C．

D．

）等于（ ）

3． 已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（1，+∞） D．（2，+∞）

4． 在ABC中，角A，B，C的对边分别是，，，BH为AC边上的高，BH5，若

20aBC15bCA12cAB0，则H到AB边的距离为（ ）

A．2 B．3 C.1 D．4 5． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）

A．10 13 B．12.5 12 C．12.5 13 D．10 15

6． 设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x﹣3x+4

2

与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ） A．（﹣，﹣2]

B．[﹣1，0]

C．（﹣∞，﹣2]

D．（﹣，+∞）

7． 已知f（x）=m•2x+x2+nx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，则m+n的取值范围为（ ） A．（0，4） B．[0，4） C．（0，5] D．[0，5]

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8． 已知集合Ay|yx5,Bx|yA．1, B．1,3 C．3,5 D．3,5

2x3,AB（ ）

【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力． 9． 已知在△ABC中，a=

，b=

，B=60°，那么角C等于（ ）

A．135° B．90° C．45° D．75°

10．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=心率的倒数之和的最大值为（ ） A．2

B．

C．

D．4

，则椭圆和双曲线的离

11．已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）

A． B．或36+

C．36﹣

D．或36﹣

12．已知函数f（x）=x2﹣，则函数y=f（x）的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

x－2y＋1≤0

13．若x、y满足约束条件2x－y＋2≥0，z＝3x＋y＋m的最小值为1，则m＝________．

x＋y－2≤014．函数f(x)（xR）满足f(1)2且f(x)在R上的导数f'(x)满足f'(x)30，则不等式

f(log3x)3log3x1的解集为 .

【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高

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要求，难度大.

15．对于映射f：A→B，若A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射，若存在对应关系Φ，使A到B成为一一映射，则称A到B具有相同的势，给出下列命题： ①A是奇数集，B是偶数集，则A和B具有相同的势；

②A是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B不具有相同的势； ③若区间A=（﹣1，1），B=R，则A和B具有相同的势． 其中正确命题的序号是 ．

16．已知椭圆且θ∈[

17．若复数zsin，

+

=1F为其左焦点，（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，若AF⊥BF，设∠ABF=θ，

]，则该椭圆离心率e的取值范围为 ．

34(cos)i是纯虚数，则tan的值为 . 55【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力． 18．已知函数f（x）=cosxsinx，给出下列四个结论： ①若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2； ②f（x）的最小正周期是2π； ③f（x）在区间[﹣

，

]上是增函数；

对称．

④f（x）的图象关于直线x=其中正确的结论是 ．

三、解答题

19．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示． （Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？ ξ的分布列和数学期望；

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？” 下面临界值表仅供参考： P（K2≥k） k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

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2

（参考公式：K=

，其中n=a+b+c+d）

20．某实验室一天的温度（单位：

）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；

(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于

，则在哪段时间实验室需要降温？

21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，APECPE，点H是线段ED的中 点.

（1）证明：A、E、F、D四点共圆； （2）证明：PFPBPC.

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22．已知命题p：x2﹣3x+2＞0；命题q：0＜x＜a．若p是q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．

23．如图，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起至△ACP位置，并使平面PAC⊥平面

ABC．

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；

（Ⅱ）在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值； （Ⅲ）求四面体PABC体积的最大值．

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24．（本小题满分12分）在ABC中，内角A,B,C的对边为a,b,c，已知

A(cosB3sinB)cosC1. 2（I）求角C的值； 2cos2（II）若b=2，且ABC的面积取值范围为[3,3]，求c的取值范围． 2【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．

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鸡泽县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由于α是△ABC的一个内角，tanα=， 则

=，又sin2α+cos2α=1，

解得sinα=，cosα=（负值舍去）． 则cos（α+故选B．

【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．

2． 【答案】D

【解析】解：∵f（x）=f（1）=f[f（7）]=f（5）=3． 故选：D．

3． 【答案】C

【解析】解：令F（x）=则F′（x）=

，（x＞0）， ，

，

）=cos

cosα﹣sin

sinα=

×（﹣）=

．

∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0， ∴F（x）为定义域上的减函数，

2

由不等式xf（）﹣f（x）＞0，

得：＞，

∴＜x，∴x＞1， 故选：C．

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4． 【答案】D 【解析】

考

点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.

【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差

OAOBBA，这是一个易错点，两个向量的和OAOB2OD（D点是AB的中点）,另外，要选好基底

向量，如本题就要灵活使用向量AB,AC，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.

5． 【答案】C

【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， ∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5

而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可 ∴中位数是13 故选：C．

【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×

，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．

6． 【答案】A

2

【解析】解：∵f（x）=x﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，

2

故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，

故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，

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故选A． 基础题．

7． 【答案】B

【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于

【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}， ∴f（x1）=f（f（x1））=0， ∴f（0）=0， 即f（0）=m=0， 故m=0；

2

故f（x）=x+nx，

f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0， 当n=0时，成立；

2

当n≠0时，0，﹣n不是x+nx+n=0的根， 2

故△=n﹣4n＜0，

故0＜n＜4；

综上所述，0≤n+m＜4； 故选B．

【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．

8． 【答案】D 【解析】

Ay|y5,Bx|yx3x|x3,AB3,5，故选D.

=，

，

9． 【答案】D

【解析】解：由正弦定理知∴sinA=∵a＜b， ∴A＜B， ∴A=45°，

∴C=180°﹣A﹣B=75°， 故选：D．

10．【答案】 C

【解析】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，

=

×

=

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由椭圆和双曲线的定义可知， 设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2 ∵∠F1MF2=

，

，①

222

∴由余弦定理可得4c=（r1）+（r2）﹣2r1r2cos22

在椭圆中，①化简为即4c=4a﹣3r1r2，

即=﹣1，②

22

在双曲线中，①化简为即4c=4a1+r1r2，

即=1﹣，③ +

=4，

+

）≥（1×

+

×

2），

联立②③得，

由柯西不等式得（1+）（即（即

++≤

2

）≤×4=

，

， ，e2=

时取等号．即取得最大值且为

．

当且仅当e1=故选C．

【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．

11．【答案】D

【解析】

【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可． 【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界）， 有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：

．

故选D

12．【答案】A

或

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【解析】解：由题意可得，函数的定义域x≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f（﹣1）=f（1）=1，可排除B、C两个选项． ∵当x＞0时，t=∴函数y=f（x）=x﹣

2

=在x=e时，t有最小值为

2

，当x＞0时满足y=f（x）≥e﹣＞0，

因此，当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项 故选A

二、填空题

13．【答案】

【解析】解析：可行域如图，当直线y＝－3x＋z＋m与直线y＝－3x平行，且在y轴上的截距最小时，z才能取最小值，此时l经过直线2x－y＋2＝0与x－2y＋1＝0的交点A（－1，0），zmin＝3×（－1）＋0＋m＝－3＋m＝1， ∴m＝4.

答案：4

14．【答案】(0,3)

【解析】构造函数F(x)f(x)3x，则F'(x)f'(x)30，说明F(x)在R上是增函数，且

F(1)f(1)31.又不等式f(log3x)3log3x1可化为f(log3x)3log3x1，即

F(l3ox)gF(1)，∴log3x1，解得0x3.∴不等式f(log3x)3log3x1的解集为(0,3).

15．【答案】 ①③ ．

【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A→B是一一映射，故①正确；

对②设Z点的坐标（a，b），则Z点对应复数a+bi，a、b∈R，复合一一映射的定义，故②不正确；

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对③，给出对应法则y=tan③正确． 故选：①③

x，对于A，B两集合可形成f：A→B的一一映射，则A、B具有相同的势；∴

【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．

16．【答案】 [

，

﹣1] ．

）；

【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤F（﹣c，0）； ∵AF⊥BF， ∴

=0，

， =2c，

=

，

]， ]，

≤≤， ，

，

即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，

22222

故c﹣acosα﹣bsinα=0，

cos2α=故cosα=而|AF|=|AB|=而sinθ==∵θ∈[

=2﹣，

，

∴sinθ∈[，∴≤∴≤+

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∴，

即，

解得，≤e≤﹣1； ，

﹣1]．

故答案为：[

【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．

17．【答案】3 434430，且cos0，所以cos，则tan. 5554【解析】由题意知sin18．【答案】 ③④ ．

【解析】解：函数f（x）=cosxsinx=sin2x，

对于①，当f（x1）=﹣f（x2）时，sin2x1=﹣sin2x2=sin（﹣2x2） ∴2x1=﹣2x2+2kπ，即x1+x2=kπ，k∈Z，故①错误；

对于②，由函数f（x）=sin2x知最小正周期T=π，故②错误； 对于③，令﹣

+2π≤2x≤

，

+2kπ，k∈Z得﹣

+kπ≤x≤

+kπ，k∈Z

当k=0时，x∈[﹣对于④，将x=

]，f（x）是增函数，故③正确；

）=﹣为最小值，

代入函数f（x）得，f（

故f（x）的图象关于直线x=综上，正确的命题是③④． 故答案为：③④．

对称，④正确．

三、解答题

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19．【答案】

【解析】

【专题】综合题；概率与统计．

【分析】（Ⅰ）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论； ξ的分布列和数学期望；

（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2，求出概率，可得

2

（Ⅲ）根据成绩不低于85分的为优秀，可得2×2列联表，计算K，从而与临界值比较，即可得到结论．

【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60﹣9之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，所

以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉

（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2 P（ξ=0）=

=

，P（ξ=1）=

=

，P（ξ=2）=

1

+1×

乙班 10 10 20

合计 13 27 40

≈5.584＞5.024

+2×

2

=

┉┉┉┉┉┉

则随机变量ξ的分布列为

0 ξ P

数学期望Eξ=0×=人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉

（Ⅲ）2×2列联表为 优秀 不优秀

甲班 3 17

20 合计

┉┉┉┉┉ K2=

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．┉┉ 20．【答案】

【解析】（1）∵f（t）=10﹣∴

≤

t+

＜

，故当

t+

=

=10﹣2sin（

t+

【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．

），t∈[0，24），

时，函数取得最大值为10+2=12，

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当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，

故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃。

（2）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（由10﹣2sin（

t+

）＞11，求得sin（

t+

）＜﹣，即

≤

t+

＜

t+，

），

解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温。 21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【

解

析

】

11

11]

试题解析：解：（1）∵PA是切线，AB是弦，∴BAPC，APDCPE， ∴BAPAPDCCPE，

∵ADEBAPAPD,AEDCCPE ∴ADEAED，即ADE是等腰三角形

又点H是线段ED的中点，∴ AH是线段ED垂直平分线，即AHED

又由APECPE可知PH是线段AF的垂直平分线，∴AF与ED互相垂直且平分， ∴四边形AEFD是正方形，则A、E、F、D四点共圆. （5分） （2由割线定理得PAPBPC，由（1）知PH是线段AF的垂直平分线，

22∴PAPF，从而PFPBPC （10分）

考点：与圆有关的比例线段．

22．【答案】

【解析】解：对于命题p：x2﹣3x+2＞0，解得：x＞2或x＜1， ∴命题p：x＞2或x＜1，

又∵命题q：0＜x＜a，且p是q的必要而不充分条件， 当a≤0时，q：x∈∅，符合题意；

当a＞0时，要使p是q的必要而不充分条件，

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需{x|0＜x＜a}⊊{x|x＞2或x＜1}， ∴0＜a≤1．

综上，取并集可得a∈（﹣∞，1]．

【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断方法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接PO，BO，由于四边形ABCD为菱形，∴PA=PC，BA=BC，∴PO⊥AC，BO⊥AC，又PO∩BO=O，

∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB．

（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC， PO⊥AC，∴PO⊥面ABC，∴OB，OC，OP两两垂直， 故以O为原点，以的边长为2， ∴

，

设平面PBC的法向量∴∴

（Ⅲ）法一：

设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴又PO⊥平面ABC，∴（∴

），

，

=

，

，取x=1，则

，直线AB与平面PBC成角为θ，

，于是

，

．

，

y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，方向分别为x，菱形ABCD

，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为

，

∴

，当且仅当

．

，即

时取等号，

∴四面体PABC体积的最大值为

法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），

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∴∴设∴∴当∴当

，则

，，又PO⊥平面ABC， =

，且0＜t＜1，

，

（

），

时，V'PABC＞0，当时，VPABC取得最大值

时，V'PABC＜0，

，∴四面体PABC体积的最大值为

，（0＜x＜2）

．

法三：设PO=x，则BO=x，又PO⊥平面ABC， ∴∵

22

当且仅当x=8﹣2x，即

，

，

时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为

．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．

24．【答案】 【解析】（I）∵2cos2A(cosB3sinB)cosC1， 2∴cosAcosBcosC3sinBcosC0， ∴cos(BC)cosBcosC3sinBcosC0，

∴cosBcosCsinBsinCcosBcosC3sinBcosC0， ∴sinBsinC3sinBcosC0，因为sinB>0，所以tanC3

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又∵C是三角形的内角，∴C3.

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