土木11-2_张振轻钢结构建立其优化设计的数学模型

轻钢结构建立其优化设计的数学模型：

1．设计变量

轻钢结构的主要几何参数如跨度、檐口高、屋面坡度、纵向柱间距等通常由业主或建筑师确定。可供优化的变量主要是截面参数。具体说，就是各工字钢截面的翼缘宽、厚，腹板的高、厚等。钢板的厚度是离散变量，而腹板和翼缘的高（宽）一般也是从一系列有规律的数中选取，因此轻钢结构的设计变量通常是离散变量。

2．目标函数

结构重量是轻钢结构优化设计的重要指标，且比较容易写成设计变量的函数形式，故轻钢结构通常以用钢量最少为优化目标。

约束条件

轻钢结构优化设计必须满足以下约束条件：

（1）强度、稳定约束条件。

轻钢结构构件必须满足强度和稳定要求。

（2）刚度约束条件。

轻钢结构的构件尺寸在优化时，结构的整体刚度必须满足变形控制要求。具体说，就是横梁的最大垂直位移、柱顶的最大水平位移、吊车轨顶处的最大水平位移等必须满足有

关规范规定的变形控制值。

（3）截面尺寸约束条件。

轻钢结构截面尺寸的选择必须满足有关规范的构造要求和使用要求，如所有截面的腹板高度必须大于翼缘宽度，所有截面的翼缘厚度必须比腹板厚度大2mm以上等。

（4）结构整体约束条件。

轻钢结构的优化设计必须满足结构整体约束条件，即构件截面尺寸的选择必须要保证梁、柱截面的连续性以及合理性，满足常规的加工和使用要求等。

（5）变量的上、下限约束条件。

1 钢结构用材料

2 钢结构加工制作

3 典型构件的制作与流程示例

4 钢结构质量控制

……

2 钢结构加工制作

优缺点

1. 焊缝连接

优点是--构造简单，节约钢材，加工方便，自动化操作，效率高

缺点是--有热影响区，焊接残余应力及残余变形，甚至可能造成裂纹

2.螺栓连接

优点是--安装方便，特别适用于工地安装连接，也便于拆卸。

缺点是--需要在板件上开孔和拼装时对孔，增加制造工作量；螺栓孔还使构件截面削弱,因而比焊接连接多费钢材。

3.铆钉连接

优点是--塑性和韧性较好，传力可靠，质量易于检查和保证.

缺点是--铆接工艺复杂、用钢量多，因此，费钢又费工。

……

防火涂料分类？其主要特点

钢结构防火涂料按其涂层厚度及性能特点分为：CB类、B类、H类。

其主要特点如下：

CB类：超薄膨胀型钢结构防火涂料，涂层厚度3mm以下，有良好的理化和装饰性能，受火时膨胀发泡形成致密、强度高的防火隔热层，耐火极限可达0.5～2.0h。

B类：薄涂型钢结构防火涂料，涂层厚度一般为2～7mm，有一定装饰效果，高温时膨胀增厚，具有耐火隔热作用，耐火极限可达0.5～2.0h。又称为钢结构膨胀防火涂料。

H类：厚涂型钢结构防火涂料，其涂层厚度一般为8～50mm，粒状表面，密度较小，热导率低，耐火极限可达0.5～3.0h。又称钢结构防火隔热涂料。

钢结构工程施工质量验收规范·钢结构涂装工程·钢结构防火涂料涂装

14.3.1 防火涂料涂装前钢材表面除锈及防锈底漆涂装应符合设计要求和国家现行有

关标准的规定。

检查数量:按构件数抽查10%，且同类构件不应少于3 件。

检验方法:表面除锈用铲刀检查和用现行国家标准《涂装前钢材表面锈蚀等级和除锈等级》GB8923 规定的图片对照观察检查。底漆涂装用干漆膜测厚仪检查，每个构件检测5 处，

每处的数值为3 个相距50mm 测点涂层干漆膜厚度的平均值。

14.3.2 钢结构防火涂料的粘结强度、抗压强度应符合国家现行标准《钢结构防火涂料应用技术规程》CECS24:90 的规定。检验方法应符合现行国家标准《建筑构件防火喷涂材

料性能试验方法》GB 9978 的规定。

检查数量:每使用100t 或不足100t 薄涂型防火涂料应抽检一次粘结强度；每使用

500t 或不足500t 厚涂型防火涂料应抽检一次粘结强度和抗压强度。

检验方法:检查复检报告。

14.3.3 薄涂型防火涂料的涂层厚度应符合有关耐火极限的设计要求。厚涂型防火涂料涂层的厚度，80%及以上面积应符合有关耐火极限的设计要求，且最薄处厚度不应低于设

计要求的85%。

检查数量:按同类构件数抽查10%，且均不应少于3 件。

检验方法:用涂层厚度测量仪、测针和钢尺检查。测量方法应符合国家现行标准《钢结

构防火涂料应用技术规程》CECS24:90 的规定及本规范附录F。

14.3.4 薄涂型防火涂料涂层表面裂纹宽度不应大于0.5mm；厚涂型防火涂料涂层表

面裂纹宽度不应大于1mm。

检查数量:按同类构件数抽查10%，且均不应少于3 件。

检验方法:观察和用尺量检查。

Ⅱ 一 般 项 目

14.3.5 防火涂料涂装基层不应有油污、灰尘和泥砂等污垢。

检查数量:全数检查。

检验方法:观察检查。

14.3.6 防火涂料不应有误涂、漏涂，涂层应闭合无脱层、空鼓、明显凹陷、粉化松散和浮浆等外观缺陷，乳突已剔除。

检查数量:全数检查。

检验方法:观察检查。

联合厂房工程由总装车间、组装车间、车体车间、无轨移车台、表面处理车间组成。总装车间、组装车间、车体车间由4跨结构组成，跨度为30m+24m+48m+15m,柱距为9m，每跨内均有桁车；无轨移车台和表面处理车间由两跨结构组成32m+34.56m，桁架钢结构，柱距为6.7~13m。油漆库主体结构为钢筋混凝土框架结构，屋面为轻钢檩条结构，材质为Q235B。建筑长24m,宽10.7m.

本工程现场钢结构连接采用栓焊和高强螺栓连接，高强螺栓等级为10.9级。

现场吊装采1台50T汽车吊和2台25汽车吊作为吊装主要机械，两台16T汽车吊做为卸车、拼装和次结构的安装。

……

2)箱形柱加工工序及简图

主材切割、坡口：

1）采用机械：N/C数控切割

2）箱型柱面板下料时应考虑到焊接收缩余量及后道工序中的端面铣的机加工余量。并喷出箱型柱隔板的装配定位线。

3）操作人员应当将钢板表面距切割线边缘50mm范围内的锈斑、油污，灰尘等清除干净。

4）材料采用火焰切割下料，下料前应对钢板的不平度进行检查，要求：厚度≤15mm不平度不大于1.5mm/m。厚度＞15mm不平度不大于1mm/m。如发现不平度超差的禁止使用。

……

1.5.9高强度螺栓施工

本工程使用的高强度螺栓均10.9级扭剪型高强度螺栓。计算长度时，如果最后数字介于2.5～5和7.5～10，则最后数字应向上取值到5和10；如果最后数字介于0～2.5和5～7.5，则最后数字应向下取值到0和5。在现场安装时应对号入座，防止用错。

扭剪型高强度螺栓，其初拧扭使用初拧扭矩扳手。终拧使用专用的扳手，拧掉螺栓尾部的梅花头即可。

……

现代科学技术的高速发展，使钢结构住宅逐渐成为住宅产业的一支新生力量。我国建

筑钢结构住宅同经济建设一样突飞猛进，但现有钢结构设计方法以构件的设计为基础，结构设计偏重于结构的安全，未能综合考虑结构整体的安全性与经济性和其他性能的相互影响和平衡。本文以低多层钢框架住宅结构为对象，研究该类结构的优化设计方法问题。本文主要研究工作如下：

(1)综述了钢结构住宅的国内外发展概况、钢框架结构设计现状以及现代结构优化设计的理论、方法与最新应用进展，阐述了进行钢结构优化设计的必要性；

(2)依据钢结构设计理论，考虑实际工程中钢框架结构体系约束条件，建立了低多层钢框架结构体系的单目标优化模型，结合工程实例，在ANSYS平台上实现了钢框架结构体系单目标优化设计；

(3)建立了低多层钢框架住宅结构多目标模糊优化设计模型，采用多目标模糊优化设计方法对多层钢框架结构梁柱截面尺寸进行优化分析，给出了优化次数与结构用钢量、截面尺寸的关系，得到优化设计结果；

(4)对单目标与多目标模糊优化设计的优化结果进行了对比分析，计算结果表明，优化设计方案与原设计方案相比，结构体积、应力、位移指标均得到了改善。文中所提出的优化方模型与优化方法能达到优化结构，节约钢材，降低工程造价的目标，对工程设计有一定的参考价值。

轻钢结构住宅的墙体主要由墙架柱、墙顶梁、墙底梁、墙体支撑、墙板和连接件组成。迈特建筑轻钢结构住宅一般将内横墙作为结构的承重墙，墙柱为C形轻钢构件，其壁厚根据所受的荷载而定，通常为0.84～2毫米，墙柱间距一般为400～600毫米， 迈特建筑轻钢结构住宅这种墙体结构布置方式，可有效承受并可靠传递竖向荷载，且布置方便，但迈

特建筑轻钢结构住宅墙体结构不能承受水平荷载。

轻钢结构为确保达到保温效果，在建筑物的外墙和屋面中使用的保温隔热材料能长期使用并能保温隔热。迈特建筑轻钢结构住宅一般除了在墙的墙柱间填充玻璃纤维网格布外，在墙外侧再贴一层保温材料，有效隔断了通过墙柱至外墙板的热桥；楼层之间搁栅内填充玻璃纤维，减少通过楼层的热传递;所有内墙墙体的墙柱之间均填充玻璃纤维，减少户墙之间的热传递。

轻钢结构一个最关键的问题是防火技术的应用， 轻钢结构住宅的耐火等级为四级。迈特建筑轻钢结构住宅在墙的两侧与楼盖的天花处贴防火石膏板，对于普通防火墙和分户墙用25.4毫米厚(1吋)石膏板保护，以达到1个小时的防火要求，另外在墙体墙柱间与楼盖搁栅间填充的玻璃纤维对于防火与热传递也起了积极的保护作用。

轻钢结构在内外墙及楼盖搁栅间填充玻璃棉，有效阻止了通过空气传播的音频部分，而对于通过固体传播的冲击声，作如下构造处理：对于分户墙用二道墙柱构成带有中间空隙的二道墙体；而对于吊顶用的固定石膏板的小龙骨，用带有小切槽的弹性构造以有效减少楼层间的固体声传播。

判定结构为重钢与轻钢结构确实没有一个统一的标准，很多有经验的设计师或项目经理也常常不能完全说明白，但我们可以以一些数据综合考虑并加以判断：

层钢结构

1、厂房行车起吊重量：大于等于25吨，可以认为为重钢结构了。

2、每平米用钢量：大于等于50KG/㎡，可认为是重钢结构。

3、主要构件钢板厚度：大于等于10MM，轻钢结构用的较少。

另外，还有一些参考值：如每平米造价，最大构件重量，最大跨度，结构形式，檐高等，以上这些在判断厂房是否为重钢或轻钢时可以提供经验数据，当然很多建筑都是轻、重钢都有。但有一些我们可以较肯定的说是重钢：如：石化厂房设施、电厂厂房、大跨度的体育场馆、展览中心，高层或超高层钢结构。

实际上国家规范和技术文件都并没有重钢一说，为区别轻型房屋钢结构，也许称一般钢结构为“普钢”更合适。因为普通钢结构的范围很广，可以包含各种钢结构，不管荷载大小，甚至包括轻型钢结构的许多内容，轻型房屋钢结构技术规程只是针对其“轻”的特点而规定了一些更具体的内容，而且范围只局限在单层门式刚架。

轻钢也是一个比较含糊的名词，一般可以有两种理解。一种是现行《钢结构设计规范》（GBJ 17－88）中第十一章“圆钢、小角钢的轻型钢结构”，是指用圆钢和小于L45*4和L56*36*4的角钢制作的轻型钢结构

由此可见，轻钢与重钢之分不在结构本身的轻重，而在所承受的围护材料的轻重，而在结构设计概念上还是一致的 。

我国钢结构行业呈现持续和快速的增长势头，钢结构产量从2002年的850万吨增长到2009年的2294万吨，年均复合增长率达到15.24%。据相关数据估计，2010年，钢结构产量达到2600万吨。2011年，钢结构产量约为2900万吨。我国钢结构行业正处于迅猛发展时期。

我国钢结构行业总体集中度较低。年产量1万吨以下、1-5万吨、5-30万吨、30万吨以上的钢结构企业数量分别为4000-5000、100、20、6-8;拥有钢结构特级制造资质的企业51家，拥有轻型钢结构工程设计专项甲级资质的企业82家，而同时拥有上述资质及专业承包一级资质的企业更少。随着行业不断发展，行业内并购整合现象将成为常态。

土木11-2 张振经过三天的日夜奋战，终于在最后一刻把题目完成了。为了这次建模，在比赛前我们苦读数学建模的教程，储备知识，但是在建模的过程中仍然遇到了很多困难，如对钢结构知识不了解、对数学建模相关软件不够熟练、一度找不到合适的模型来解决问题等。在建模的过程中也有听说周围的同学放弃了，但我们还是咬牙坚持了下来，我们相信没有什么知识的学习是不需要时间与经历的，在遇到不懂的问题时，网络和图书馆便成了最好的老师，在书中迅速抽取有用的信息，加以提炼整合，应用于模型，这也无形中锻炼了我们快速阅读的能力。

通过此次建模，我们更加深刻地理解了数学建模的含义，通过建立数学模型来解决实际问题，然而实际问题并不像书本上那样，每道题只有几个有限的数据。实际工程问题中的数据不仅量大，而且规律性不明显，这就需要我们选取合适的数学方法来筛选、重组数据，再采用合适的数学模型表达出数据的规律，从而建立出最优的模型指导生产。纵观社会发展，一切问题发展到一定的境界就变成了数学问题，通过此次建模我们更加深刻地体会到：实际工程问题非常迫切地需要数学理论的指导；数学理论必须和实际工程结合到一起才能发挥其最大的力量。

数学建模既然要求三个人一组、72小时，那就说明这是解决问题的最佳组合。人员的缺少、时间投入的不足都会导致模型的不确切甚至不够合理。所以团队的合作是很重要的，三个人首先要统一建模的方法，其次抽出共同的时间，根据个人特长合理分工，良好的团队精神也是建好模型的关键。

数学建模不仅让我们掌握了一种课题研究的新方法，同时让我们收获了面对挑战时的勇气和和信心，锻炼了我们坚持不懈、团队合作、创造性思考的能力，对我们的成长是极为有力的，这也是我们参加数学建模的初衷所在

下载文档到电脑，查找使用更方便

1下载券 22人已下载

下载

还剩10页未读，继续阅读

9

元素（x）的函数关系分别为：

8006.97494.98541.0.0233x0=ε

28.73782.402345.4x169437

.0δ93.476847.154488.2x0886.0 δ2323b23sxxxxxx 1.3.3 三次模型总结

通过建立三次模型，在二次模型的基础上对钢力学性能与合金元素含量关系 曲线进

行的进一步分析与研究，对模型进行了再优化处理，弥补了二次模型的局限性，在更加大的范围内（满足产品设计要求和生产的情况下）能够反映出钢力学性能与合金元素含量的对应变化，为节省生产成本提供了比较好的参照与技术指导。

因此，本文最终优化模型为三次函数模型。

六、最优配置

1.提出问题：（问题3） 在保证产品质量和各力学性能的前提下，使得总花费最

小，找出最优配置方案

2.分析问题 2.1 定性分析

分析可知，在断面一定（250*280）的情况下，不同规格的钢的合金元素含量是一定的，而同一规格同一合金元素含量下其具体各元素含量存在的差异不同，这是由生产工艺和生产装备所决定的，而问题要求在现有生产设备和生产工艺条件下进行分析，故可以不考虑具体元素差异带来的误差变化，只对合金元素进行分析。

顾名思义，保证质量，就是使产品具有较高的钢力学性能，从而问题转化为钢力学性能与总花费之间的关系，而总花费由产品规格决定，在不考虑钢密度差异，以及约定钢价符合国家统一标准规定，而由表一可以发现产品规格与合金元素含量之间存在一定的反比关系。因此，可以认为总花费是关于合金元素含量的函数。可以进一步将问题转化为寻找满足钢力学性能和总花费最优配置的合金元素含量，如果钢力学性能指标数据远小于标准许用值（钢在工作时允许承受的最大值），则造成材料的浪费，如果最大指标值达不到标准

许用值，则无法符合质量和各力学性能要求。再以此合金元素含量求解总花费最优配置。

2.2.定量分析

2.2.1 建立产品规格V与合金元素含量x之间的模型

首先需要说明的是，由数据表所示产品规格类型分析，可知本文所研究钢类型为扁钢。

（1）数据点分布图的建立

设产品规格长、宽、厚分别为u、v、w（单位：mm）

则V=u*v*w(单位：mm3)

由数据表知：产品规格共10组：200*200*24、200*200*20、200*200*18、200*200*16、180*180*18、180*180*16、200*200*14、180*180*14、180*180*12、180*180*12。 故可依据公式V=u*v*w求出各产品规格的体积，在直角坐标系中建立各产品规格对应体积与合金元素含量之间的数据点分布图（如图4所示）。

10

规格与合金元素含量点分布模型

0

200000

400000600000

800000100000012000000

2

4

6

8

10

12

14

16

18

合金元素（压缩比）

重量

图4 产品规格与合金元素含量点分布模型

（2）指数模型的确立

观察并分析图4，不难发现，产品规格与合金元素含量之间存在反比

关系，故可用指数函数关系：bx

aey 进行拟合。如图5所示。

规格与合金元素含量指数关系模型

y = 984456e-0.0971x

0

200000

400000600000

800000100000012000007.598.999.9311.0911.112.412.5914.0716.2916.50

合金元素（压缩比）

重量

指数 (重量)

图5 规格与合金元素含量指数关系模型

（3）参数的确定

为便于确定参数a，b，可先对bxaey

取对数将其线性化，即取对数可

得bxaylnln,记zyln，caln，于是有cbxz，进而用最小二乘

法确定一次函数参数b，c，方法如1.1所示，得到a，b的估算值:

11

niiniiixbyxxyyxxbe121ln)()ln)(ln(a , 其中x和

yln分别为ix和iy的平均值，即

n

x

xn

ii

1

， n

y

yn

ii

1

lnln 。

代入数据（ix,iy）可求得：

0971.0984456ba

所以，规格V与合金元素含量x之间的指数关系为:x

e0971.0984456

y。

2.2.2 最优配置方案

为了计算和图形显示的方便，将各产品规格同比缩小1000倍，从而得出最优配置模型如图6所示。

钢力学性能与合金元素关系三次模型

y = 0.0243x3

- 0.8541x2

+ 9.7494x - 9.8006

y = -0.1337x3

+ 4.2345x2

- 40.82x + 737.28

y = -0.0886x3

+ 2.4488x2

- 15.847x + 476.93

y = 984.46e

-0.0971x

400

450

500550600650700

0123456789101112131415161718

25

26272829303132333435屈服期望抗拉期望

合金元素（压缩比）规格缩小延伸期望

多项式 (延伸期望)多项式 (抗拉期望)多项式 (屈服期望)指数 (规格缩小)

图6 最优配置模型

假设：抗拉强度、屈服强度、延伸的标准许用值分别为[δ

b

]、[δs]、[ε]

（特定型号的钢，其应用值由国家统一制定）

满足质量和钢力学性能要求就必须保证钢的最大工作应力不超过材料的最大许用应力，即

12

][maxss ， ][maxbb ， ][max

从而，得到如下方程组

][)8006.97494.98541.0.0233x0(][)28.73782.402345.4x169437

.0(][)93.476847.154488.2x0886.0(max23max23smax23出可以满足所求x的范围为： MN

x (N、M为假定合金元素含

xxxxxxb 从而计算

量)，再在此范围内按照合金元素含量与规格之间的关系。

例如，假定国家统一钢价为p=1200元/吨，钢的密度为⍴，我们现取某一规格钢（体积为V），则C=1200⍴V /1000 (90971.010*984456V

xe),即

xxeeC0971.0390971.010*18.11000/10*984456*1200(元)，即

单位规格的钢生产成本优化模型函数为xeC0971.0310*18.1质量和钢力学性能（即MN

，从而可以在满足

x）的前提下，加入对应合金元素含量，生产一定规格的

钢就可以使生产成本最小，得到最优生产配置。

七、建模感悟

经过三天的日夜奋战，终于在最后一刻把题目完成了。为了这次建模，在比赛前我们苦读数学建模的教程，储备知识，但是在建模的过程中仍然遇到了很多困难，如对钢结构知识不了解、对数学建模相关软件不够熟练、一度找不到合适的模型来解决问题等。在建模的过程中也有听说周围的同学放弃了，但我们还是咬牙坚持了下来，我们相信没有什么知识的学习是不需要时间与经历的，在遇到不懂的问题时，网络和图书馆便成了最好的老师，在书中迅速抽取有用的信息，加以提炼整合，应用于模型，这也无形中锻炼了我们快速阅读的能力。

通过此次建模，我们更加深刻地理解了数学建模的含义，通过建立数学模型来解决实际问题，然而实际问题并不像书本上那样，每道题只有几个有限的数据。实际工程问题中的数据不仅量大，而且规律性不明显，这就需要我们选取合适的数学方法来筛选、重组数据，再采用合适的数学模型表达出数据的规律，从而建立出最优的模型指导生产。纵观社会发展，一切问题发展到一定的境界就变成了数学问题，通过此次建模我们更加深刻地体会到：实际工程问题非常迫切地需要数学理论的指导；数学理论必须和实际工程结合到一

起才能发挥其最大的力量。

数学建模既然要求三个人一组、72小时，那就说明这是解决问题的最佳组合。人员的缺少、时间投入的不足都会导致模型的不确切甚至不够合理。所以团队的合作是很重要的，三个人首先要统一建模的方法，其次抽出共同的时间，根据个人特长合理分工，良好的团队精神也是建好模型的关键。

数学建模不仅让我们掌握了一种课题研究的新方法，同时让我们收获了面对挑战时的勇气和和信心，锻炼了我们坚持不懈、团队合作、创造性思考的能力，对我们的成长是极为有力的，这也是我们参加数学建模的初衷所在。

13

附录：matlab程序

x=[7.59 8.99 9.93 11.09 11.1 12.4 12.59 14.07 16.29 16.50] %合金元素含量

y1=[456.954 470.4902 479.5 479.3204 476.4286 487.381 489.2308 491.8868 500.6667 470] % 屈服强度期望

y2=[612.0115 614.902 624.8333 623.2039 617.1429 629.1667 625.7692 628.7736 630.3333 605] %抗拉期望

y3=[25.74713 26.2451 26.75 26.27961 26.14286 25.79167 27.38462 25.49057

26.76667 28.5] %延伸期望

v1=polyfit(x,y1,2) %对屈服强度进行二次拟合

'1v=polyfit(x,y1,3)%对屈服强度进行三次拟合

v2=polyfit(x,y2,2) %对抗拉强度进行二次拟合

'2v=polyfit(x,y2,3)%对抗拉强度进行三次拟合

v3=polyfit(x,y3,2) %对延伸进行二次拟合

'3v=polyfit(x,y3,3)%对延伸进行三次拟合

参考文献

[1] 刘峰，葛照强. 数学建模. 南京：南京大学出版社，2005 [2] 熊大远. 实用钢结构制造技术手册. 北京：化学工业出版社，2009 [3] 梁圣复. 建筑力学. 北京:机械工业出版社，2006 [4] 郭耀杰.钢结构稳定设计. 武汉：武汉大学出版社，2003 [5] 郑宏. 钢构件非线性稳定. 北京：科学出版社，2002

[6] （新西兰）Mark M.Meerchaert. 数学建模方法与分析. 刘来福，杨淳，黄海

洋译. 北京：机械工业出版社，2005