高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点课时作业(含解析)

[学业水平层次]

一、选择题

1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】 令log5(x－1)＝0，解得x＝2，∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是2，故选C. 【答案】 C

2．函数f(x)＝x－2在R上的零点个数是( ) A．0 C．2

B．1 D．3

2

x1

【解析】 注意到f(－1)×f(0)＝×(－1)＜0，因此函数f(x)在(－1，0)上必有零点，又f(2)＝f(4)＝0，因此函数f(x)

2的零点个数是3，故选D.

【答案】 D

3．函数f(x)＝lnx＋2x－8的零点所在区间为( ) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)

【解析】 ∵f(4)＝ln4＋2×4－8＝ln4>0，

1

f(3)＝ln3＋2×3－8<0，∴f(4)·f(3)<0.

又f(x)在(3，4)上连续， ∴f(x)在区间(3，4)内有零点． 【答案】 C

4．函数f(x)＝ax＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1，2)上的零点( ) A．至多有一个

B．有一个或两个

2

C．有且仅有一个 D．一个也没有

【解析】 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．故选C.

【答案】 C 二、填空题

5．函数f(x)＝x－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．

【解析】 由题意可知，方程x－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a>0，即a<1. 【答案】 (－∞，1)

6．若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，那么函数g(x)＝bx－ax的零点是________． 【解析】 由题意可知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a. ∴g(x)＝bx－ax＝－2ax－ax＝－ax(2x＋1)＝0， 1

∴x＝0或x＝－. 2

2

2

2

2

2

2

2

1

【答案】 0或－

2

7．(2014·温州高一检测)根据表格中的数据，若函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(k，k＋1)(k∈N)内有一个零点，则k的值*

为________.

x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.69 1.10 1.39 1.61 【解析】 f(1)＝ln1－1＋2＝1＞0， f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2＝0.69＞0， f(3)＝ln 3－3＋2＝1.10－1＝0.10＞0， f(4)＝ln 4－4＋2＝1.39－2＝－0.61＜0， f(5)＝ln 5－5＋2＝1.61－3＝－1.39＜0，

所以f(3)·f(4)＜0.

所以函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(3，4)内有一个零点，所以k＝3. 【答案】 3 三、解答题

8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝

x＋3x.(2)f(x)＝x2

＋2x＋4. (3)f(x)＝2x－3.(4)f(x)＝1－log3x.

3

【解】 (1)令

x＋3

x＝0，解得x＝－3， 所以函数f(x)＝

x＋3

x的零点是－3. (2)令x2

＋2x＋4＝0，

由于Δ＝22

－4×1×4＝－12＜0， 所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根， 所以函数f(x)＝x2

＋2x＋4不存在零点． (3)令2x－3＝0，解得x＝log23， 所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23. (4)令1－log3x＝0，解得x＝3， 所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.

9．(2014·西安高一检测)已知函数f(x)＝x2

－x－2a. (1)若a＝1，求函数f(x)的零点． (2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围． 【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝x2

－x－2. 令f(x)＝x2

－x－2＝0得x＝－1或x＝2. 即函数f(x)的零点为－1与2.

(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－1

8

. 4

1

所以a的取值范围是a≥－.

8[能力提升层次]

1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( ) A．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

【解析】 根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故B、D错．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x－1在(－2，2)内有两个零点，故A错，C正确．

【答案】 C

2．(2013·重庆高考)若a【解析】 ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，

5

2

2

∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)， ∵a0，f(b)<0，f(c)>0，

∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内． 【答案】 A

3．(2014·杭州高一检测)已知函数f(x)＝3＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．

【解析】 画出函数y＝3，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示

xx

观察图象可知，函数f(x)＝3＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.

【答案】 a＜b＜c

4．(2014·渭南高一检测)方程x－(k＋2)x＋1－3k＝0有两个不等实根x1，x2，且02

2

2

x 6

据图象有f(0)＝1－3k>0，且f(1)＝－4k<0，且f(2)＝1－5k>0，所以05

.

所以实数k的取值范围为1k

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