2017届贵州省凯里市第一中学、贵阳一中高三上学期适应性月考(一)数学(文)试题

文科数学试卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的.

1.已知P{yycos,R}，Q{xx2(12)x20}，则PQ（ ）

A． B．{0} C．{1} D．{1,2} 2.曲线y3xlnx在点(1,3)处的切线方程为（ ）

A．y2x1 B．y2x5 C．y2x1 D．y2x1 3.角的终边过点(2,4)，则cos（ ）

A．255 B．55 C．2555 D．5 4.设点O在ABC的内部，且有OA2OB3OC0，则AOB的面积与ABC的面积之比为（ A．

13 B．53 C．122 D．3 5.已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8

6.已知l为平面内的一条直线，,表示两个不同的平面，则“”是“l”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.已知一空间几何体的三视图如图1所示，则其体积为（ ） A．24 B．16 C．20 D．12

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1

）

12x的焦点，且与直线4x3y20相切，则圆C的方程为（ ） 43636A．(x1)2y2 B．x2(y1)2 C．(x1)2y21 D．x2(y1)21

25258.已知圆C的圆心为y9.某校新生分班，现有A,B,C三个不同的班，两名关系不错的甲和乙同学会被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（ ） A．

1153 B． C． D． 3234a3i在复平面上对应的点在y轴上，则a为（ ） 1i10.已知i为虚数单位，a为实数，复数zA．-3 B． C．

131 D．3 3x2y2222211.已知双曲线221(a0,b0)与圆xyab交于M点（第一象限），F1,F2分别为双

ab曲线的左，右焦点，过M点作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（ ） A．31 B．3 C．31 D．2

3x2,0x112.函数f(x)是自变量不为零的偶函数，且f(x)log2x(x0)，g(x)1，若存在实数

,x1xn使得f(m)g(n)，则实数m的取值范围是（ ）

A．[2,2] B．[2,][,2] C．[121211,0)(0,] D．(,2][2,) 22第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）

213.等差数列an中，公差d0，且2a4a72a100，数列bn是等比数列，且b7a7，则

b5b9_____.

14.函数f(x)x23x22的最小值为__________.

15.设a,b,c分别表示ABC的内角A,B,C的所对的边，m(a,3b)，n(sinB,cosA)，若a7，b2，且mn，则ABC的面积为__________.

16.正方形ABCD边长为a，BC的中点为E，CD的中点为F，沿AE,EF,AF将ABE，EFC，

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2

ADF折起，使D,B,C三点重合于点S，则三棱锥SAEF的外接球的体积为_________.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分） 设函数f(x)2sin(2x)cosx3(cosxsinx)2.

（1）求函数f(x)的单调递减区间； （2）将f(x)的图象向右平移

12个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1倍，得到函数2yg(x)，求g()的值.

418.（本小题满分12分）

某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的.

（1）在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； （2）求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率. 19.（本小题满分12分）

如图2，AC2，BC4，ACB且直线AE与CD所成角为

2，直角梯形BCDE中，BC//DE，BCD，DE2，323，ABCD.

（1）求证：平面ABC平面BCDE; （2）求三棱锥CABE的体积.

20.（本小题满分12分） 函数f(x)xmlnxnx.

（1）当m1时，函数f(x)在定义域内是增函数，求实数n的取值范围；

（2）当m0，n0时，关于x的方程f(x)mx有唯一解，求实数m的取值范围.

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3

221.（本小题满分12分）

x2y2平面直角坐标系的原点为O，椭圆221(ab0)的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P,Q两

ab点，且PFmaxQFmina2. 4（1）求椭圆的长轴与短轴之比

（2）如图3，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D,E两点，求值范围.

SDFM

的取SDOE

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

AO与圆交于B，C两点，AD8，如图4所示，A为圆O外一点，AB4，AD为圆O的切线，D为切点，BDC的角平分线与BC和圆O分别交于E,F两点.

（1）求证：

BDAD； CDAC（2）求DEDF的值.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

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4

在平面直角坐标系xOy中，圆P:(x1)2y24，圆Q:(x1)2y24.

（1）以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P和圆Q的极坐标方程，并求出这两圆的交点M,N的极坐标；

（2）求这两圆的公共弦MN的参数方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

（1）证明柯西不等式：若a,b,c,d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbc)2，并指出此不等式里等号成立的条件：

（2）用柯西不等式求函数y2x345x的最大值.

贵阳一中--凯里一中2017届高考适应性月考卷（一）

文科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号 答案 【解析】

1．P[1，1]，Q{1，2}，PQ{1}，故选C． 2．y31，所以曲线过点(1，3)处的切线斜率为k312，切线方程为y32(x1)，即y2x1，x1 C 2 C 3 B 4 C 5 D 6 B 7 C 8 D 9 A 10 A 11 C 12 B 故选C．

3．角的终边过点(2，4)，r2025，所以cos第页

5

x25，故选B． r2554．取M，N分别为AC，BC中点，由已知得OAOC2(OBOC)0，即2OM4ON0，所以

1OM2ON，即O，M，N三点共线，且O在中位线MN上，所以S△AOBS△ABC，故选C．

25．因为

Sn，所以3(a1an)94116210，所以a1an70，所以

a1ana2an1a3an2n(a1an)n70280，所以n8，故选D． 226．由平面与平面垂直的判定定理知，如果l为平面内的一条直线且l，则，反过来则不一定，所以“”是“l”的必要不充分条件，故选B．

57．几何体为长方体去掉一角，所以V24320，故选C．

61|40312|8．yx2的焦点为(0，1)，所以圆C为x2(y1)2r2，r1，所以x2(y1)21，故

43242选D．

9．甲乙两同学分班共有以下情况：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，

(C，B)，(C，C)，其中符合条件的有三种，所以概率为

31，故选A． 9310．za30，a3i(a3i)(1i)a3(3a)i，由所以a3，故选A． 3a0，1i2222211．|F1F2|2c，三角形MOF2为正三角形，|MF2|c，在直角三角形F1MF2中|MF1||MF2||F1F2|，

∴|MF1|3c，∴|MF1||MF2|3cc2a，31，故选C．

ec2a31 1≤|m|≤212．∵g(x)[1，1]，存在n使得f(m)g(n)，1≤f(|m|)≤1，即1≤log2|m|≤1，2，

11∴m2，，222，故选B． 

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号 答案

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6

13 16 14 32 215 33 216 63πa 8【解析】

2213．{an}是等差数列，∴a4a102a7，∴2a4a72a104a7a70，∴a70或a74．∵{bn} 为等比数

列，∴bn0，∴b7a74，∴b5b9b7216． 14．∵f(x)x221x22，令x22t[2，)．又∵yt1232． 21在[2，)上为增函数，t∴当t2，即x0时y最小，即f(x)minf(0)215．因为mn，∴asinB3bcosA0， ∴sinAsinB3sinBcosA0．又∵sinB0，∴tanA3．∵0Aπ，∴A7221π，∴．∵ab，∴AB， ，∴sinBπsinB37sin3∴cosBπππ32127，∴sinCsin(AB)sinBsinBcoscosBsin，所以△ABC的面积

333147133为SabsinC．

223634aa16．补体为长方体(2r)a，4r2a2，r2a2，ra，∴Vπr3

248322222246466363πaπaπa．334348

3三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

π解：（Ⅰ）f(x)2sinxcosx3(cosxsinx)2

22cos2x3(12sinxcosx) 1cos2x3sin2x3

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1分） „„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2分） „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（4分）

„„„„„„„„„„„„（5分）

π2sin2x13．

6由

ππ32kπ≤2x≤π2kπ(kZ)， 2622π得xkπ，πkπ，kZ．

36„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6分）

注：回答开区间亦可．

第页 7

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）用x，y分别表示小陈、小李到班的时间，

则x[10，30]，y[10，30]， „„„„„„„„„„（2分） 所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD， 如图1所示．„„„„„„„„„„„„„„„„„„（5分）

注：画出图中正方形即可．

（Ⅱ）小陈比小李至少晚到5分钟，即xy≥5， 对应区域为△BEF，

„„„„„„„„„„„„（7分）

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9分）

注：在图中画出阴影，或在过程中明确表述都可．

S△BEFSABCD1151592． 202032所求概率P„„„„„„„„„„„„„„（12分）

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：因为BCCD，ABCD，ABBCB， 所以CD平面ABC， 又CD平面BCDE，

所以平面ABC平面BCDE．„„„„„„„„„（5分） （Ⅱ）解：如图2，

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8

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（3分）

过E作EFBC，连接AF， 由（Ⅰ），易得EF平面ABC， 且EF∥CD， CF=DE=2， 所以AEFπ． 3„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7分）

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（8分）

2在△ACF中，AF2AC2CF22ACCFcosπ=12，

3所以AF=23． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9分）

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（10分）

„„（12分）

在Rt△AEF中，易得EF=2，

11124所以V三棱锥CABEV三棱锥EABCS△ABCEF24sinπ23．

3323320．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当m1时，f(x)x2lnxnx， 依题意有f(x)2x1n≥0对x(0，) 恒成立， x„„„„„„„„„„„（2分）

1只需n≤2x．

xmin„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（3分）

„„„„„„„„„„„„（4分）

21因为2x≥22，当且仅当x时取等，

2x所以n≤22． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（5分）

（Ⅱ）设g(x)f(x)mxx2mlnxmx， 依题意，g(x)0有唯一解．

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6分）

m2x2mxmg(x)2xm0，

xx由x0，m0，

mm28mmm28m0（舍），x2解得x1．

44第页

9

„„„„„„„„„„（7分）

当x(0，x2)时，g(x)0，g(x)在(0，x2)上单调递减； 当x(x2，)时，g(x)0，g(x)在(x2，)上单调递增． 所以g(x)ming(x2)．

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（8分）

„„„„„„„„„„„„（9分）

因为g(x)0有唯一解，所以g(x2)0，

2g(x2)0，x2mlnx2mx20，则有即2

g(x2)0，2x2mx2m0，两式相减并化简得2lnx2x210．

设h(x)2lnxx1，易知h(x)在(0，+)上是增函数，且h(1)0， 则h(x)0恰有一解，即x21， 代入g(x2)0得m1． 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设F(c，0)，

则|PF|maxac，|QF|minac，

„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2分）

„„„„„„„„„„„„„„„„（11分）

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（12分）

a2则有ac，

422又因为b2a2c2，所以a24b2， 得长轴与短轴之比为2a:2b2．

„„„„„„„„„„„„（3分） „„„„„„„„„„„„（4分）

x2y2（Ⅱ）由a:b2，可设椭圆方程为221．

4bb依题意，直线PQ存在且斜率不为0，

设直线PQ的方程为yk(xc)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

„„„„„„„„„（5分）

yk(xc)，联立x2得(4k21)x28k2cx4k2c24b20， y2221b4b8k2c得x1x22．

4k1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6分） 2kc， 4k21所以y1y2k(x1x22c) „„„„„„„„„„„„（7分）

2kcx1x2y1y24kc∴M，，． 4k212224k1„„„„„„„„„„„„（8分）

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∵MDPQ，设D(x3，0)， kc2∴4k1k1，

4k2cx324k13k2c解得x32．

4k1∵△DMF∽△DOE，

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9分）

∴S△DFMS△DOE4k2c3k2ckc222DM24k14k14k11111． 222OD29k93kc24k122„„„（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：∵AD为圆O的切线， ∴ADBDCA．

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2分）

又A为公共角， ∴△ABD∽△ADC，

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（4分）

∴BDAD． CDAC„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（5分）

（Ⅱ）解：∵AD是圆O的切线，AC是过圆心的割线，

∴AD2ABAC，

∴AC=16，则BC=12．

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6分）

又∵BDC是直角， ∴BD2CD2BC2144，

再由（Ⅰ），∴BDBDAD81， CDAC16212245，CD5． 55„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7分）

连接BF，CF，

∵BDFCDF，DBEDFC， ∴△DBE∽△DFC，

∴BDDE， DFCD„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9分）

11

第页

∴DEDFBDCD1224288． 55555„„„„„„„„„„„„（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）圆P的极坐标方程为22cos3， 圆Q的极坐标方程为22cos3．

22cos3，联立22cos3，

„„„„„„„„„„„„（1分）

„„„„„„„„„„„„„„„„（2分）

解得3，cos0， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（3分）

„„„„„„„„„„„„（5分）

π3所以M，N的极坐标分别为3，，3，π．

22注：极坐标系下的点，表示方法不唯一．

（Ⅱ）M，N的直角坐标分别为(0，3)，(0，3)， x0，所以公共弦MN的参数方程为t[3，3]．

yt，„„„„„„„„„„„„（7分）

„„„„„„„„„„（10分）

24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

（Ⅰ）证明：(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2d2b2c22adbc

„„„„„„„（2分）

(adbc)2≥0，

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（4分）

„„„„„„„„„„„„（5分） „„„„„„„„„„„„（6分）

„„„„„„（8分）

当且仅当adbc0时，等号成立．

（Ⅱ）解：函数的定义域为[3，5]，且y0，

则y2x345x≤(2242)[(x3)2(5x)2] 202210，

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9分）

当且仅当25x4x3时，等号成立， 即x

17时函数取最大值210． 5„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（10分）

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