追根溯源 回归本质——由学生提问方式引起的反思

追根溯源回归本质

—–由学生提问方式引起的反思

广东省广州市花都区第二中学(510820)

1问题起源

笔者接手高三某个班学生不久,便发现了一个状况：个别成绩好的同学,跑来问我问题的方式较为奇怪.他们并不是问“老师,这题的解题思路如何寻找?方法如何?”而是这样问：“老师,这题目属于何种题型?它的解题快捷方法是什么?”刚开始,我很惊讶学生为什么这会样问问题,后来经过

黄丽贤

我的详细了解,我知道了个中缘由：原来他们曾经是以“题型式”的学习方式来学习数学的,而他们对这样的方式十分喜爱.主要的原因在于这种方式在解某些题目的时候速度非常“快”,只要是对准题型,有时候甚至可以“秒杀”.但出现这样的现象,不由得引起了笔者进行反思：这样的学习方式是否存在一些隐患?

设计意图插入时间线,使得课堂内容更加连贯,激发学生的学习兴趣.将例题的追及问题变式为相遇问题,引发学生从不同方向进行思考.让一位学生上台展示,可以及时发现学生在学习过程中会遇到的问题并提出改正,丰富学生利用方程解决实际问题的经验.

变式2第15周周一小明以80m/min的速度出发,5min后,小明想起自己忘带数学周末试卷,于是打电话给爸爸,并以80m/min的速度折回.爸爸用了两分钟在找试卷,然后立即以180m/min的速度去追小明.从小明折回时开始算,问：过了多长时间,爸爸与小明相遇?

师生活动：教师利用PPT展示动画,同时引导学生发现与例题、变式1不同的地方,并用红线画出.学生先自己根据动画演示画出线段图,分析题中的等量关系,列出方程,然后在小组内相互交流并得出一致结果,再选派小组代表上台在在投影仪上展示自己小组的结果,并讲解小组想法.最后师生共同评价.

设计意图再一次对题目进行变式,对学生的能力提出了更高的要求,学生在思考行程问题还要留意爸爸跟小明所用时间上的关系.让学生上台展示并讲解,进一步培养学生的文字语言、符号语言、图形语言的转换能力.同时学生能够互相评点,共同探索,既发展了自主学习水平,又强化了协作精神.

4.4总结收获

师生活动：学生发言,分享,交流自己的收获,或者提出自己的疑惑,其他同学补充或者解释.教师对学生的总结进行提炼,归纳,渗透德育思想.

1学会借助⃝“线段图”分析复杂问题中的数量关系；2找到追及问题、⃝相遇问题间的等量关系；3自己的事情自己负责,不做丢三落四的小明.⃝

5设计说明

1立足实际,渗透德育教育⃝

数学源于生活,生活中蕴含着数学.如“追赶小明”这一司空见惯的行程问题,通过插入时间线,结合初中部每周数学周末试卷,把数学和生活联系在一起.从学生熟悉的事入手,增强学生的熟悉感和认同感.再通过生动的语言,如“13周的小明忘记带作业,那我们猜猜14周的小明记不记得带数学作业?”将学生代入情境,最后进行德育教育,不做“丢三落四”的小明.

2由浅入深,渗透情感态度⃝

先是情境引入,借助一个短视频和三个简单的行程问题回顾路程、速度、时间公式.接着是小试牛刀,用两个常见的行程问题给学生热身,渗透借助线段图,找到题目中的等量关系,用方程解决行程问题的做题思路.然后是登堂入室,利用PPT展示例题以及变式的行程动画,帮助学生画出线段图,学生借助线段图找出隐藏的等量关系,根据等量关系列方程解决问题.题目设置层层递进,使得学生敢于面对数学活动中的困难,并有独立克服困难和使用知识解决问题的成功体验,有学好数学的自信心.

参考文献

[1]罗强华.“打折销售”教学设计[J].《中小学数学(初中版)》,2019,

Z2:28-30.

[2]孙晓斌.“一元一次方程的应用(第4课时)”课例分析[J].《中小学

数学(初中版)》,2016,06:57-59.

24中学数学研究

2020年第5期(下)

因为数学题千变万化,如果只是不断的套题型的话,教

学成绩真的会高吗?经过探讨,笔者发现,如果想通过归类题型,一味追求快速通过套题型来提高解题速度和成绩是行不通的.下面,笔者就以两个题组例子来简单说明自己的观点.

2三角函数中的问题

例1函数f(x)=√

3sin2x−cos2x,最小值为.

分析

此类题目,很多同学记住这类题型：f(x)=

asinx+bcosx凡是看到这种题型的,就立刻套用“合一”公式化简,然后就可以把最值求出来.因此同学们有了这个,自然也不会去探讨个中缘由：为什么要化简?目的是什么?那么同学们就只能停留在“会解这种题型”的水平了.但如果碰到下面这样的题目,就会非常被动了：

(变式1(2019高考数学全国1卷.文)函数f(x)=sin2x+3π

)

2−3cosx,最小值为.分析碰到这个题目,刚一看,这个式子表面上就是老师上面所讲的“题型”,但化简后,其实不然.于是,找不到题型可套,基础薄弱的学生就没办法解下去了.此时,学生新建起一种“题型”：化简后,如果三角函数名称相同的,转化成二次函数解决.这种叫“二次函数型题型”,接着作了如下解答：

解f(x)=−cos2x−3cosx=()

(−2cos2x)−1−

2

3cosx=−2cos2

x−3cosx+1=−2cosx+3174+8

.

因为−1≤(cosx≤)1,所以当cosx=1时,函数f(x)取得最

2

小值−2×1+317

4+8

=−4.

好了,到此,大家也非常开心,因为又可以得到另外一种新“题型”的解题方法,如此下去,学生的目的就是不断的找到新的题型,从而找出这种题型的快捷解决方法,达到快速提高数学分数的目的.但他们却不知道,这样的方法,已经慢慢的把学习数学的最本质的东西给丢了.这样真的可以拿高分吗?当年以下这道高考题个别班级得分较低的原因,应该多少都会与这个题型式学习有关吧.那么请看以下一道高考题：

变式2

(2018高考数学全国1卷.理)已知函数

f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是

.

分析这题目表面上就是上面所说的那种题型：两个三角函数名称相同,都是正弦,但如果同学们想套用这种方法,必然没办法解决这道高考题.其实这道题目只需要判断函数的单调性便可.

解答：由题知,T=2π是函数f(x)的一个周期.因此,只需要考虑函数在[0,2π]的值即可.因为f′(x)=2cosx2cos2x=2(2cos2x+cosx−1)

+

=2(cosx+1)(2cosx−

1).令f′(x)=0则cosx=1

2,或−1,此时x=π5π3,

3,π,因为函数最小值只能在极值点和边界点取得,又因为

(f(0)=0,f5π)3=−3√3,f(π)=3√3,f(π)=0(232,

所以函数的最小值为f5π)3√33=−2

.

小结至此,相信大家都知道,如果一开始就把这类问题

的本质弄明白,那么大家根本就不会被一个个数学“题型”给

牵着鼻子走.求函数的最值,其本质就是要研究该函数的单调性.只要能够把研究函数的单调性的主要的一些方法给弄明白,那么学生就很容易找到解决的办法了.例如上面前两道题目,只要转化为熟悉的基本函数,我们就可以直接根据这类基本函数的单调性把问题解决掉：第一道是转化为三角函数,第二道是转化为二次函数,但如果不能够转化为我们熟悉的基本函数,那么我们有什么办法来研究函数的单调性呢?相信同学们都会知道,求导是研究函数单调性的有力工具.如果我们能够这样把问题的本质给弄懂了,把数学中的转化思想给明白了,那么以上这三道题,相信大家都能够很快解决掉,甚至往后的有关函数的最值问题,都有了明确的思维方法了.

3向量中的问题

例2

在∆ABC中,M是BD的中点,AM=3BC=10,则−AB→·−AC→

,

=.

分析有同学将这种题型表述为：在三角形或平行四边形中,从一个顶点出发的两条边为向量的两向量的数量积,可直接转化为中线的平方与对边一半的平方差或两条对角线平方差的四分之一.然后记住以下重要等式：4(⃗a·⃗b)=(⃗a+⃗b)2−(⃗a−⃗b)2.

学生看到这个,自然很高兴,因为快捷,不用慢慢找思路、方法.但如果稍微将题目改为以下这样子,让学生做,那么他们可能就找不了方向.

变式1(2010年高考数学天津卷AD⊥AB,−BC−→=√3−BD,−→|−AD−→)：如图|=1,则−AC→,在·−∆ABC中,

AD−→=

.如果我们在分析这类题目后,又给它定义为另外一种题型,那么以下变式2又怎么办呢?

变式2(2009年高考数学联赛陕西预赛)：如图,在∆−ABC中,AB=3,AC=5,若O为∆ABC的外心,则

OA→·−BC−→

的值是

.“秘诀”2020年第5期(下)中学数学研究25

知改革明变化重备考

—–《标准》与《考纲》对比及2020年广州中考备考建议

广东省广州市真光中学(510380)

摘要2020年广州市中考取消《考纲》,依据《标准》命题,对中考备考是一次挑战.深入研读《标准》,与2019年广州中考《考纲》进行对比,两者在知识目标与能力要求上基本一致,内容与目标要求上存在部分差异,少部分内容仅在一方出现.通过列表整理与分析,对2020年广州中考数学备考提出正确看待差异与命题导向、注意处理差异内容的教学,及重视《标准》对试题和能力的要求等三点建议.

苏国东

关键词课程标准;考纲;对比;广州中考;备考建议

1问题的提出

为落实国务院文件[1]精神,2020年广州市中考取消初中学业水平考试大纲(以下简称《考纲》),严格依据《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《标准》)命题.此举意味着中考命题会更灵活、范围更宽,对2020年中考备考既是一次机遇又是一次挑战.

分析在向量这一章节里面,“向量的基本定理”尤为重要.其本质是需要学生掌握一种“基”思想,根据题目条件,选择合适的“基底”,然后将未知的往已知的去转化,从而达到解题的目的.这也是数学上最重要的一种数学思想方法：转化与化归.而上面这三道题,均可以根据这个方法来解决问题.附上面三道题的“基底”思路上的解法：

例2的解答：由题目可知,知道了AM和BC的长度,因此应该以这两个向量为基底,从而将未知的往这两个基底转

−→−→−−→−−→−−→−→

化AB·AC=(AM+MB)·(AM+MC),因为M是BD的中

−−→−−→−→−→−−→−−→

点,所以MB=−MC,AB·AC=|AM|2−|MC|2=−16.

变式1的解答：由题目可知,知道了AD的长度,而且知道了AB与AD的夹角为90◦,因此应该以这两个向

−−→−→

量为基底,从而将未知的往这两个基底转化,AD·AC=−−→−−→−→−−→−−→−−→−→−−→√−−→AD·(BC−BA)=AD·BC−AD·BA=AD·3BD=√−√−→−→−−→

3AD·(BA+AD)=3.变式2的解答：由题目可知,AB=3,AC=5,因此应该以这两个向量为基底,从而将未知的往这两个基底转化,因为在∆ABC中,若O为∆ABC的外心,因此很容易会想到外心的性质,过点O分别作AC和AB的垂线,与AC和AB分别交点D与E,故D与E分别为AC与AB的中点.−→−−→−→−→−→−→−→−→−→则OA·BC=OA(AC−AB)=OA·AC−OA·AB=

→−→1−→−→1−

·AC·AC−AB·AB=8.22反思1题型分类的目的

笔者觉得,在分类前,需要明确之所以把这些题目进行分类的目的是什么.是纯粹为了分类而分类?还是有明确的

任务进行分类?笔者认为,目标很重要.在题型分类前,我们需要先定好分类的目的,然后在明确的指引下去分类.例如可以是为了解决某个知识难点而进行题型分类,或者是解决某个高考常考点分类,又或是解决某次考试中出现的问题而进行分类.总之,题型分类必须目的明确.毫无目的的分类,只能算得上是将题目进行收集而已.

反思2题型分类的标准

明确目的后,我们应该需要定好一个分类标准.有了这个标准,我们就可以以这个标准来选题,从而所选的题目也能很好的为目标服务.例如可以以一个或几个有联系的知识点作为分类标准,可以以某种解题的通性通法作为分类的标准,当然也可以以某个数学思想方法作为分类的标准.只要题目能够很好的为目的服务,那肯定是有效果的分类.

反思3影响题型分类的效果

其实题型分类对学习成绩所起的作用的大小,是由多方面原因决定的.其中当然包括所选的题目是否符合所定的目标,是否吻合分类的标准,是否适合所带学生的层次等等.但笔者认为,除了这些以外,同学们能否把这些题目理解到位也是至关重要.假如只是一味的死记硬背当中的解题技巧,而忽略了题目所隐含的一些本质上的东西,甚至没能弄清楚当中的一些重要的数学思想,那就如上文所呈现的那样,不仅浪费了一些好的题目,甚至还陷入了茫茫题海当中.

参考文献

[1]江战明.关注题型设置优化解题过程[J],数学通讯,2014,11(下)

:51-54.

[2]连春兴,崔浩.对“题型教学”的再认识[J],中小学数学,2009.5:1-3.

4几点反思