宁波市等九所重点学校高一上期末数学试卷(含解析)

2016-2017学年浙江省宁波市重点学校高一（上）期末

数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（5分）已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁RB）=（ ）

A．{x|1＜x≤2} B．{x|1＜x＜3} C．{x|2≤x＜3} D．{x|1＜x＜2}

2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（ ） A．y=log2（x+3） B．y=2|x|+1

C．y=﹣x2﹣1

D．y=3﹣|x|

3．（5分）已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（ （1）若||=||，则•=0； （2）若•=0，则||=||； （3）若||=||，则•=0； （4）若•=0，则||=|| A．1

B．2

C．3

D．4

4．（5分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（ ） A．log20.8＜0.993.3＜log3π B．log20.8＜log3π＜0.993.3 C．0.993.3＜log20.81＜log3π D．log3π＜0.993.3＜log20.8 5．（5分）若角α∈（﹣π，﹣

），则

﹣

=（ ）

A．﹣2tanα B．2tanα C． D．

6．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（ ）

.............

） .............

A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）= D．f（x）=

7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜移

）的最小正周期为π，若其图象向左平

个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（ ）

，0）对称 B．关于点（﹣

对称 D．关于直线x=

，0）对称 对称

A．关于点（

C．关于直线x=﹣

8．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（ ） A．1

二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分） 9．（6分）已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为 ；此时它的圆心角α= ． 10．（6分）已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα= ；若⊥，则cos（

﹣α）+sin（π+α）= ． B．

C．

﹣1 D．2﹣

11．（6分）设函数f（x）=，若a=，则函数f（x）的值域为 ；

若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为 ． 12．（6分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若则2x+y= ；若

=λ

+μ

（λ，μ∈R），则3λ+3μ= ．

=x

+y

（x，y∈R），

.............

.............

13．（4分）已知函数f（x）=loga（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）

的值域是（﹣∞，1），则实数a+b= ． 14．（4分）函数f（x）=3sin（πx）﹣15．（4分）已知函数f（x）=＞0），给出下列四个命题： ①当b=0时，函数f（x）在（0，

）上单调递增，在（

，+∞）上单调递减；

，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为 ． （a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn

②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；

③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立； ④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}． 则正确命题的序号为 ．

三、解答题（本大题共5小题，共74分）

16．（14分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B． （1）当m=2时，求A∪B、（∁RA）∩B； （2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．

17．（15分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

）的图象与y轴的交点为

，﹣2）．

（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间； （2）若当0≤x≤

时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．

18．（15分）已知函数f（x）=（1）求实数t值；

为偶函数．

.............

.............

（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E的关系； （3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b的值．

19．（15分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣（1）求

（2）设∠AOP=θ（

2+2S2﹣

，），∠AOB=α． 的值； ≤θ≤

），=

+

，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（

•

﹣）

，求f（θ）的最值及此时θ的值．

20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R） （1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．

.............

.............

2016-2017学年浙江省宁波市余姚中学、镇海中学、慈溪中学、效

实中学等九所重点学校高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（5分）已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁RB）=（A．{x|1＜x≤2} B．{x|1＜x＜3} C．{x|2≤x＜3} D．{x|1＜x＜2} 【解答】解：由x﹣2＞0得x＞2，则集合B={x|x＞2}， 所以∁RB={x|x≤2}， 又集合A={x|1＜x＜3}， 则A∩（∁RB）={x|1＜x≤2}， 故选A．

2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（ ） A．y=log2（x+3） B．y=2|x|+1

C．y=﹣x2﹣1

D．y=3﹣|x|

【解答】解：对于A：函数不是偶函数，不合题意；

对于B：函数是偶函数，且x＞0时，y=2x+1递增；符合题意； 对于C：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意； 对于D：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意； 故选：B．

3．（5分）已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（.............

） ）.............

（1）若||=||，则•=0； （2）若•=0，则||=||； （3）若||=||，则•=0； （4）若•=0，则||=|| A．1

B．2

C．3

D．4

【解答】解：，，，为非零向量，且+=，﹣=，

（1）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是菱形，则•=0；正确． （2）若•=0，可得：（+）（﹣）=0，即

，则||=||；正确．

（3）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则•=0；正确． （4）若•=0，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则||=||，正确． 故选：D．

4．（5分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（ ） A．log20.8＜0.993.3＜log3π B．log20.8＜log3π＜0.993.3 C．0.993.3＜log20.81＜log3π D．log3π＜0.993.3＜log20.8 【解答】解：∵0＜0.993.3＜1，log3π＞1，log20.8＜0， ∴log20.8＜0.993.3＜log3π， 故选：A．

5．（5分）若角α∈（﹣π，﹣

），则

﹣

=（ ）

A．﹣2tanα B．2tanα C． D．

【解答】解：∵α∈（﹣π，﹣），第三象限，

.............

.............

∴＜，

由﹣==

===．

故选C．

6．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（ ）

A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）= D．f（x）=

【解答】解：根据图象可知：函数是非奇非偶函数，∴B排除． 函数图象在第三象限，x＜0，∴D排除．

根据指数函数和幂函数的单调性：2x的图象比x3的图象平缓，∴A对． 故选A．

7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜移

）的最小正周期为π，若其图象向左平

个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（ ）

，0）对称 B．关于点（﹣

对称 D．关于直线x=

，0）对称 对称

A．关于点（

C．关于直线x=﹣

.............

.............

【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为=π，∴ω=2．

若其图象向左平移再根据y=sin（2x+故f（x）=sin（2x﹣当x=

个单位后得到的函数为y=sin[2（x++φ）为奇函数，∴）．

）+φ]=sin（2x++φ），

．

+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ﹣，可取φ=﹣

时，f（x）=≠0，且f（x）= 不是最值，故f（x）的图象不关于点（

对称，故排除A、D；

=1，是函数的最大值，故f（x）的图象不关于点（﹣

，0）对

称，也不关于直线x=故x=﹣

时，f（x）=sin

，0）对称，

但关于直线x=故选：C．

对称，

8．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（ ） A．1

B．

C．

﹣1 D．2﹣

【解答】解：∵•=0，（﹣）•（﹣）≤0， ∴

﹣

﹣•+

≤0，

∴（+）≥1，

∴|+﹣2|2=（﹣）2+（﹣）2+2（﹣）•（﹣）=4﹣2（+）+2[﹣（（+）+1]=6﹣4（+）≤6﹣4=2， ∴|+﹣2|的最大值故选：B

.............

.............

二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分） 9．（6分）已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为 【解答】解：设扇形的弧长为l， ∵l+2R=30，

∴S=lR=（30﹣2R）R=﹣R2+15R=﹣（R﹣∴当R=

时，扇形有最大面积

，

）2+

，

；此时它的圆心角α= 2 ．

此时l=30﹣2R=15，α=2， 故答案为

10．（6分）已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα= ﹣ ；若⊥，

，2．

则cos（﹣α）+sin（π+α）= ﹣ ．

【解答】解：∵∥，∴15cosα+16tanα=0，15（1﹣sin2α）+16sinα=0， 即15sin2α﹣16sinα﹣15=0，sinα∈[﹣1，1]， 解得sinα=﹣．

∵⊥，∴•=12﹣20sinα=0，解得sinα=．

则cos（﹣α）+sin（π+α）=﹣sinα﹣sinα=﹣，

故答案为：﹣，﹣．

11．（6分）设函数f（x）=

，若a=，则函数f（x）的值域为 R ；

.............

.............

若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为 [，] ．

【解答】解：若a=，当x＜1时，函数f（x）=x2﹣3x=当x≥1时，f（x）=

﹣∈[﹣2，+∞）；

≤0，故函数f（x）的值域为[﹣2，+∞）∪（﹣∞，0]=R．

若函数f（x）=在R上单调递减，则，

求得≤a≤，

故答案为：R；[，]．

12．（6分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若则2x+y= 2 ；若

=λ

+μ

（λ，μ∈R），则3λ+3μ= 4 ．

=x

+y

（x，y∈R），

【解答】解：如图所示， ①与

==x

++y=

+

，

（x，y∈R）比较可得：x=，y=1．

则2x+y=2． ②由②可得：

=

+

，

同理可得：∴又∴

=λ=

+μ

==λ（，

++

，

）+μ（

+

）=

+

，

=1，=1．

.............

.............

则3λ+3μ=4． 故答案为：2，4．

13．（4分）已知函数f（x）=loga的值域是（﹣∞，1），则实数a+b= 【解答】解：∵函数f（x）=loga∴f（﹣x）=﹣f（x）， 即f（﹣x）+f（x）=0， ∴loga即

•+loga

=1，

=loga

•

=0，

（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）

+1 ．

（0＜a＜1）为奇函数，

∴4﹣x2=b2﹣x2， 即b2=4，解得b=±2， 当b=﹣2时，函数f（x）=loga当b=2时，函数f（x）=loga∵

=﹣1+

=f（x）=loga（﹣1）无意义，舍去． 为奇函数，满足条件．

，在（﹣2，+∞）上单调递减．

又0＜a＜1， ∴函数f（x）=loga

在x∈（﹣2，2a）上单调递增，

∵当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），

.............

.............

∴f（2a）=1， 即f（2a）=loga∴

=a，

=1，

即1﹣a=a+a2， ∴a2+2a﹣1=0， 解得a=﹣1±∵0＜a＜1， ∴a=∴a+b=

﹣1， ﹣1+2=

+1．

+1， ，

故答案为：

14．（4分）函数f（x）=3sin（πx）﹣，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为 8 ．

【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：x∈[﹣3，5]， g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣4，4]， 因g（﹣t）=﹣g（t），

故g（t） 是奇函数，观察函数 y=2sinπt（红色部分） 与曲线y= （蓝色部分）的图象可知，

在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点， 其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0， 从而x1+x2+…+x7+x8=8， 故答案为：8．

.............

.............

15．（4分）已知函数f（x）=＞0），给出下列四个命题： ①当b=0时，函数f（x）在（0，

）上单调递增，在（

，+∞）上单调递减；

（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn

②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；

③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立； ④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}． 则正确命题的序号为 ②③ ． 【解答】解：对于①，b=0时，f（x）=

=

，因为a正负不定，所以单调

性不定，故错； 对于②，f（x）=

是奇函数h（x）=

左右平移得到，故正确；

对于③，当x≠0时，函数h（x）=存在最大、最小值，且f（0）=0，∴函数f（x）

也存在最大、最小值，故正确；

对于④，关于x的方程g（x）=0的解⇔f（x）=±

的解，∵函数f（x）的图象关于x轴上某

点成中心对称，故解集不可能是{﹣3，﹣1，0，1}，故错；

.............

.............

故答案为：②③．

三、解答题（本大题共5小题，共74分）

16．（14分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B． （1）当m=2时，求A∪B、（∁RA）∩B； （2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2＜x＜4}， 则A∪B={x|﹣2＜x≤7}， 又∁RA={x|x＜1或x＞7}， 则（∁RA）∩B={x|﹣2＜x＜1}， （2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B， 分2种情况讨论：

①、当A=∅时，有m﹣1＞2m+3，解可得m＜﹣4， ②、当A≠∅时，

若有A⊆B，必有，解可得﹣1＜m＜，

综上可得：m的取值范围是：（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，）．

17．（15分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

）的图象与y轴的交点为

，﹣2）．

（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间； （2）若当0≤x≤

时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．

.............

.............

【解答】（本题满分为15分） 解：（1）由题意可得：A=2，

由在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+=（x0+

）﹣x0=

，可得：T=π，

，﹣2），可得：

∴ω=2，可得：f（x）=2sin（x+φ），

又∵图象与y轴的交点为（0，1），可得：2sinφ=1，解得：sinφ=， ∵|φ|＜

，可得：φ=

，

）…4分

≤x≤kπ+]，k∈Z…8分

，k∈Z，

∴函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+由2kπ﹣

≤2x+

≤2kπ+

，k∈Z，可得：kπ﹣

，kπ+

可解得f（x）的单调递增区间是：[kπ﹣

（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和y=m（m∈R）的图象，

由图可知，当﹣2＜m≤0或1≤m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，

当﹣2＜m≤0时，两根和为当1≤m＜2时，两根和为

； …15分

.............

.............

18．（15分）已知函数f（x）=（1）求实数t值；

为偶函数．

（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E的关系； （3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b的值．

【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数， ∴

=

，

∴2（t﹣2）x=0，

∵x是非0实数，故t﹣2=0，解得：t=2； （2）由（1）得，f（x）=

，

∴E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}={﹣3，0，}， 而λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1=lg2+lg5﹣1=0， ∴λ∈E；

（3）∵f（x）=1﹣

，

∴f（x）在[a，b]递增，

∵函数f（x）的值域是[2﹣，2﹣]，

∴，

∵b＞a＞0， 解得：a=1，b=4．

.............

.............

19．（15分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣

，

），∠AOB=α．

（1）求

（2）设∠AOP=θ（

的值； ≤θ≤

），=

+

，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（

•

﹣）

2+2S2﹣

，求f（θ）的最值及此时θ的值．

【解答】解：（1）依题意，tanα═﹣2， ∴

=

=﹣

；

（2）由已知点P的坐标为P（cosθ，sinθ）， 又

=

+

，|

=||

|，

∴四边形OAQP为菱形， ∴S=2S△OAP=sinθ，

∵A（1，0），P（cosθ，sinθ）， ∴=（1+cosθ，sinθ）， ∴

•

=1+cosθ，

∴f（θ）=（cosθ+）2+2sin2θ﹣=﹣（cosθ﹣）2+2

∵﹣≤cosθ≤，

.............

.............

∴当cosθ=，即θ=

时，f（θ）max=2； 时，f（θ）min=1．

当cosθ=﹣，即θ=

20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R） （1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式． 【解答】解：（1）a=1时，f（x）=（x﹣2）|x+1|， 当x≤﹣1时，f（x）=﹣（x﹣2）（x+1）=﹣x2+x+2， 此时函数为增函数；

当x＞﹣1时，f（x）=（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，

此时函数在（﹣1，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数；

综上可得：当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]，[，+∞）；

（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）=①当﹣a≤﹣2，即a≥2时， 若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0， 故g（a）=f（2）=0； ②当﹣a≥2，即a≤﹣2时， 若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0， 故g（a）=f（2）=0；

④当﹣2＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜2时， 若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0， 故g（a）=f（2）=0；

.............

，

.............

综上可得：g（a）=0

.............