高中数学必修四综合试卷(二)

(时间:120分钟 满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

3,且cos(-α)>0,则tan α=( ) 54433A. B. - C. D. -

3344urrrrvrrrrr2.已知向量a=(1,-2),b=(1,1),m= a-b,n=a+λb,如果m⊥n,那么实数λ=( )

1.已知sin(-α)=A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

3.若角α的终边与单位圆相交于点(x0,2x0)(x0≠0),则tan 2α=( ) A. -

4 3B.

4 3C. -

3 4rrD.

3 44.已知平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a⊥(a+2b),则向量b在向量a方向上的投影为( ) A. 1

5.函数y=cosxB. -1

C. 2

D. -2

rrrrrrππππsinxcosx-sinx在一个周期内的图象是( ) 4444A. B.

C. D.

6.将函数fxsin2x图象向左平移

个单位，再向上平移2个单位，得到gx的图象.若6gx1·gx29，且x1,x22,2，则x1x2的最大值为 （ ）

A. 

B. 2

C. 3

7.已知a与b是非零向量且满足(a-6b)⊥a,(2a-3b)⊥b,则a与b的夹角是( ) A.

π 6B.

8.

632的值等于( ) sin70?cos250?B. -4

A 4

的π 3C.

D. 4

2π 3D.

5π 6C. -46 D. 46

1

9.已知函数f(x)2sin(x)1（1，||若f(x)1对于任意的x(A. ,

1232）,其图像与直线y1相邻两个交点的距离为,

,)恒成立, 则的取值范围是（ ） 123C. (B. ,

122,] 62D. ,

6310.如图,O是坐标原点,M,N是单位圆上两点,且分别在第一和第三象限,则|OMON|的范围为( ) A. [0,2) B. [0,2) C. [1,2) D. [1,2) 11.已知函数f(x)=3sin(π-x)cos(-x)+sin(π+x)cosuuuuruuur最近的两个最高点分别为B与C,则AB·AC=( )

uuuruuurπ2A. 9+

9π2B. 9- 912.若函数y=2sin ωx(ω>0)在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,则ω的取值范围是( ) A. , B. , C. 1, D. , 44454445734二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

ππ5π13.函数f(x)=cos xcos +cosxcos 的值域是_____.

21212的π-x图象上的一个最低点为A,离A2π2C. 4+

4π2D. 4- 453514.如图,将两块三角板拼在一起组成一个平面四边形ABCD,若AC=xAB+yAD(x,y∈R),则x+y=_____.

15.已知函数ycosx与函数ysin(2x)(0)，它们的图像有一个横坐标为是 .

16.定义a*b是向量a和b的“向量积”,其长度|a*b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角.若u=(2,0),u-v=(1,-3),则|u*(u+v)|=_____.

uuuruuuruuur的交点，则的值3三、解答题(本大题共6小题,共70分)

uuuruuuruuur17.已知向量OA(1,2),OB(4,1)，OC(m,m1)．

uuuruuur（1）若AB//OC，求实数m的值；

2

（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．

18.已知α∈0,π1π4-2,π,β,cos β=-,sin(α+β)=. ∈2236(1)求tan 2β的值; (2)求α的值.

π1cos2x,sinx19.已知向量a=(1,sin x),b=,f(x)=a·b-cos 2x. 函数32(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间; (2)当x∈0,时,求函数f(x)值域.

3π

20.已知函数fx3sinx(0,最高点的距离为．

(Ⅰ)求和的值；

的22)的图象关于直线x3对称，且图象上相邻两个

3

332cos(Ⅱ)若f，求()22463

的值． 21.某房地产开发商为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园.如图,已知扇形AOB的圆心角∠AOB=

nπ,半径为R.现欲修建的花园为▱OMNH,其中M,H分别4在OA,OB上,N在AB上.设∠MON=θ,▱OMNH的面积为S. (1)将S表示为关于θ函数; (2)求S的最大值及相应的θ值.

22.已知点A(sin 2x,1),B1,cos2x(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)当x∈0,时,求函数f(x)的最大值与最小值;

2π(3)求函数f(x)的单调减区间.

的

uuuruuurπ,f(x)=设函数OA·OB(x∈R),其中O为坐标原点. 6

4

参考答案：

4sin3= -．故选D． .则tanθ=

5cos4rrrvrrrrrv2.∵向量a=（1，﹣2），b=（1，1），m=a-b,n=a+λb,∴m=（0，﹣3），n=（1+λ，﹣2+λ），

1. ∵sinθ=,，且cosθ>0，∴cosθ=1sin235∵m⊥n∴m.n=0﹣3（﹣2+λ）=0，解得λ=2．故选C． 3.角α的终边与单位圆相交于点(x0,2x0)(x0≠0), 根据三角函数的定义得到sinurrurryx02(2x0)22,cos5xx02(2x0)21sina2. tanα=

5cosa2tan4. 故答案为A.

1tan23rrrrrrrrrrrv2vvg4.∵平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a⊥(a+2b),∴a(a+2b),=0，即a·a2b0 即agb=﹣2

根据二倍角公式得到tan2vvrra·b2∴向量b在向量a方向上的投影为v=﹣1，故选B．

a25.根据两角和差公式展开得到： y=cosxπππππππ22cosxsinxcos2xsinxcosx-sinx 4424444 =-sin2x,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为，故选B. 6.依题意得g(x)=sin2xππ2x+2=sing(x2)=9,则g(x1)=g(x2)=3, 则g（x1）=g（x2）=3，+2,若g(x1)·36所以sin2x1设2x1+

πππ11π13ππ-,2x=sin=1.x,x∈[-x+,2x+, 因为2π,2π],所以212122333333πππππ7ππ5π,2x2++2kπ,2x2++2nπ,k,n∈Z,则当2x1+=-时,|x1-x2|取得最大值3π.

32323232故选C．

r2rrrrr2vvvvvv7.根据条件a6b?=0,=2a0=a-6a·2a3b?b=0ba·b-3b=0,

又因为|a|≠0,|b|≠0,所以|a|=6|b|cos ①,3|b|=2|a|cos ②, 所以3|a||b|=12|a||b|cos2,得cos2=故选B．

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr11π,则cos =,故a和b的夹角为. 423

5

1326cos70?—-sin70?·6326cos70?-32sin70?228原式== sin70?cos70?sin70?cos70?1sin140?226?cos(70?60?)26?cos130?-26cos50?-26sin40?==1=1=-46. 11sin40?sin40?sin40?sin40?2222故答案

C.

9.函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1ω0,|φ|故函数的周期为

π,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π, 22π=π,所以ω=2,于是f(x)=2sin(2x+φ)+1. ωππππ,恒成立,即当x∈-,时,sin(2x+φ)>0恒成立, 123123若f(x)>1对∀x∈-则有2kπ≤2·-πππππππ+φ<2·≤φ≤2kπ+,k∈≤φ≤. Z+φ≤2kπ+π,求得2kπ+,又|φ|≤,所以12363263故答案为D

uuuuruuuruuuuruuur2uuuuruuurπr2uuur2uuuu,π10.设OM,ON的夹角为θ,θ∈ON=2+2cos ,则cos θ∈[-1,0),|OMON|=OMON+2OM·2uuuuruuurθ∈[0,2),故|OMON|的范围为[0,2).答案A

11. f(x)=3sin xcos x-sin2x=π11-cos2x1133·sin 2x-sin 2x+cos 2x-=sin2x, 6222222因此f(x)最大值为

13,最小值为-. 22uuurπuuurπ3π1π1设Ax0,-,则Bx0-,,Cx0,,于是AB-,2,AC,2,

2222222uuuruuurπ2故AB·AC=4-故答案为D.

4

6

12.依题意,函数y=2sin ωx在(0,2π)上恰有两个最大值和一个最小值,由图象可知

57T≤2π14. 设AB=1,则AD=3,BD=BC=2,过点C作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,如图所示;

πππ5πππ+cosxcos =cos xcos -sin xsin =cosx,故函数值域

21212121212[-1,1].

uuurruuuruuuruuuruuuruuuruuur3uuu则BE=3,AF=1,且ACAEAF=(3+1)ABAD,又AC=xAB+yAD,

334343,即x+y=1+.故答案为1+ 333所以x=3+1,y=15.【答案】

 6可得交点坐标为

．

.由函数

可得

,因

试题分析：由

,故

16.因为u=(2,0),u-v=(1,-3),所以v=(1,3),从而u+v=(3,3).

若设u与(u+v)的夹角为θ,则cos θ=

u·(uv)163=,从而sin θ=, |u||uv|223221=23故答案为23. 25317.【答案】（1）m（2）0或．

22uuuruuuruuuruuuruuur（1）因为向量OA(1,2),OB(4,1)，所以AB=OBOA(3,1)．

故|u*(u+v)|=|u||u+v|sin θ=2×23uuuruuuruuur3因为AB//OC，且OC(m,m1)，所以3(m1)m0．所以m．

2uuuruuuruuuruuuruuuruuur （2）由（1）可知，AB=OBOA(3,1)，，BC=OCOB(m4,m2)．

uuuruuuruuuruuuruuuruuur因为△ABC为直角三角形，所以ABAC，ABBC或ACBC． uuuruuur当ABAC时，有3(m1)m30，解得m0；

7

当ABBC时，有3(m4)m20，解得muuuruuur5； 2当ACBC时，有(m1)(m4)(m3)(m2)0，解得m． 所以实数m的值为0或

uuuruuur5． 218.【答案】（1）42；（2）.

47221πsin22β=1-cos2β=【详解】(1)因为β∈,π,cos β=-,可得sin ,所以tan 3=-22,

132cos3-3故tan 2β=

2tan42. 21-tan7

ππ3ππ4-2,,π,β∈α+β∈α+β)=, ,所以,又因为sin(2222642, 6(2)因为α∈0,

所以cos(α+β)=-1-sin2()=-421224-22--, 于是cos α=cos(α+β-β)=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=63362由于α∈0,19.

【答案】（1）fxsin2xπ,故. 24ππ2π1，kπ,kπ-,0. ；（2）6632b-【详解】(1)函数f(x)=a·

π1ππ1-cos2x11cos 2x=cos 2xcos -sin 2xsin cos 2x=-sin2x.

6233222由2kπ+

π2πππ3ππ2π≤2x+≤2kπ+. ,可得kπ+≤x≤kπ+,故单调递增区间为:kπ,kπ6326263πππ5ππ11(2)当x∈0,时,可得2x+,,因此sin2x,1,所以函数f(x)的值域是-,0. 6666232

8

20.【答案】（1）；（2）.

试题解析：（1）由题意可得函数fx的最小正周期为，再根据图象关于直线x2=，=2

3对称，可得23+k2,kZ结合22，可得6

（2）Qf32313sin.sin

36464246再根据0615 cos1sin22664

21.【答案】（1）S=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈0,ππ2-12

θ=,SR. ；（2）时取得最大值482【详解】(1)如图,过N作NP⊥OA于点P,过H作HE⊥OA于点E,∵∠AOB=

π, 4∴OE=EH=NP=Rsin θ,OP=Rcos θ,∴HN=EP=OP-OE=R(cos θ-sin θ), ∴S=HN·NP=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈0,.

π4(2)S=R2(cos θsin θ-sin2θ)=R21-cos21sin2-22π12122sin2=R(sin 2θ+cos 2θ-1)=R-1, 422∵θ∈0,,∴2θ+

π4ππ3π,, 444∴当2θ+

πππ2-12,即θ=时,S取得最大值,且最大值为R. 42827ππ3kπ,k∈Z. ；（3）kπ,1212222.【答案】（1）T=π；（2）最大值和最小值分别为1和-uuurrπuuuπ【详解】(1)∵A(sin 2x,1),B1,cos2x,∴OA=(sin 2x,1),OB1,cos2x,

66

9

∴f(x)=OA·OB=sin 2x+cos2xuuuruuurπππ13cos 2x =sin 2x+cos 2xcos -sin 2xsin =sin 2x+66622=sin 2xcos

πππ+cos 2xsin =sin2x.

333故f(x)的最小正周期T=

2π=π. 2(2)∵0≤x≤

ππππ4π3,∴≤2x+,∴-≤sin2x≤1,

3233323. 2∴f(x)的最大值和最小值分别为1和-

(3)由

ππ3ππ7π+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 23212127ππkπ,kπ,k∈Z.

1212∴f(x)的单调减区间是

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