数学史与数学思想

数学史与数学思想 • 作为一线的教师能熟练地运用数学史的功能进行教学，也能用数学史引进一些数学思想与数学方法。通过向学生介绍数学史来提高学生的学习兴趣，学习数学名家的数学思想和方法，激励学生的爱国热情和学习积极性。运用数学史消除那些荒诞的想法，诸如数学是静止的、一成不变的、仅仅为男孩设立的一门学科。讲述数学家的故事和趣闻轶事，历史地导入新课题是老师们常用的招式。但是，还是有许多人认为数学史的研究属于“小儿科”，登不了大雅之堂，不外乎是多了一些吹牛的素材而已。1998年4月20日在法国马赛由国际数学教育委员会发起举行了题为《数学史在数学教育中的作用》国际讨论会，各国数学教育家相互研讨了这一问题，取得了许多共识，华东师大张奠宙教授在“重视科学史在科学教育中的应用”中指出：在数学教育中，尤其在中小学数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。许多经典的数学思想和方法也来自于数学史。下面我们介绍几个通过数学史引进数学思想的事例，以期达到抛砖引玉的效果。 一、从孙子算经谈起 孙子算经是我国古代的一部优秀数学著作，成书年代已无从考证。其中有“物不知其数问题”： 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 这类问题在我国历史上有不少有趣的名称：鬼谷算、秦王暗点兵、剪管术、隔墙算和神奇妙算及大衍求一术等。 这个问题常用程大位于1583年在算法统宗中介绍的一首诗“三人同行七十稀，五树梅花 一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”来计算的。然而这里涉及到衍母70，21，15。中学生要想明白这些道理却不太容易！下面我们介绍华罗庚先生给出的一种“笨方法” ：原问题就是求一数，三除余二，五除余三，七除余二。三除余二，七除余二，则二十一除余二，而23是三、七除余二的最小数，恰好被五除余三。另外还可以如下求解：先在纸上写2，2+3=5，5+3=8，它是五除余三的数，然后，8+15=23，它已经满足给出的所有条件。 下面我们再来看一道稍微麻烦一点的问题，它出自于黄宗宪的“求一术通解”：求一数，五除余零，七百十五除余十，二百四十七除余一百四十，三百九十一除余二百四十五，一百八十七除余一百零九。仔细读题后发现：5除余0是废话，247除余140，余数是5的倍数，原数是5的倍数，因此这句话可变为247×5=1235除余140，同样第四句话可变为391×5=1955除余245。现在从1955除余245，1235除余140出发：

245，245+1955=2200，4155，6110，8065，10020秦王暗点兵的兵数 245， 965， 450， 1170， 655， 140，第二行是第一行除以1235的余数。依次试除，发现10020即为所求之数。

请用上述方法解决问题1（杨辉《续古摘奇算法》）：二除余一，五除余二，七除余三，九除余四，问本数。

更深入研究将会联系到中国古代数学中的孙子定理和刘徽的大衍求一术，数学史家称为中国剩余定理。

孙子定理与刘徽大衍求一术

设m1,m2,...,mn是两两互质的正整数，r1,r2,...,rn都是正整数，解一次同余式组

xr1(modm1)xr2(modm2) ....xrn(modmn)令Mm1m2...mn,m1M1m2M2...mnMn，如果有Miki1(modmi) 那么xkiMiri(modM)。

i1n 刘徽创立了“大衍求一术”专门求ki：由(mi,Mi)1，找si,ki使

misiMiki1Mik1(modmi)，于是ki即为所求。

x1(mod7)例如解x1(mod8)

x3(mod9)定数 789

衍母 504 衍数 72剩数 163156 3 乘数 k14 k27 k35 所求率 288 441 840 所求总 1569 x156957(mod504) 二、贾宪三角形的应用 我国11世纪的数学家贾宪利用二项式高次幂展开式的各项系数所遵循的规律，制成了“开方作法本源”图，载入其《皇帝九章算法细草》中，虽然贾宪的著作已失传，但杨辉在《详解九章算法》一书中保存着这个“开方作法本源”图，而且杨辉说“出释锁算术，贾宪用此术”，下面我们从数学的角度来看看贾宪三角形的应用。 •1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1 1 • 1 2 1 • 1 3 3 1 • 1 4 6 4 1 • 1 5 10 10 5 1 • 1 6 15 20 15 6 1 • 1 7 21 35 35 21 7 1 • 1 8 28 56 70 56 28 8 1 • 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 • 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 贾宪三角形 贾宪三角形的有趣性质：我们从贾宪三角形中可以看出 ：（1）

(ab)n的展开式共有

n+1项；（2）在(ab)n的展开式中，与首末两端

等远的项的系数相等；（3）如果(ab)n的幂指数n是偶数，展开式中间一项最大，n是奇数时，中间两项相同且最大；（4）贾宪三角形第三条斜线1，3，6，10…即三角形数中任意相邻二数之和为平方数；（5）斜数第三列诸数的平方也恰好是前

133,1323,1323333,16）斜数第四条斜线上诸数234,...；（1，4，

10，20，35，…即四面体数中相邻两数之和1+4，4+10，10+20，…恰好为1222,122233,122232,....；(7)如果p为质数，则第p行的数可以被p整除（两端的1除外）；（8）把虚线上的数相加可以得到Fibonacci数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…；（9）第2，4，8，„„行的所有数字都是奇数。

贾宪三角形与组合恒等式：由于贾宪三角形的第n+1行各数的和为2n，因而有

01nCnCn...Cn2n ；由于贾宪三角形中每个数等于它头上的两个数之和，因

而有Cnr1CnrCnr1；由于同一斜线上各数的和等于最下面一个数右下角的数，

nn1因此有CmkCm。贾宪三角形的几何特性：隐藏在贾宪三角形中的几何性

k1mn质更是令人拍案叫绝，这是波兰数学家Waclaw Sierpinski（1882-1969）三角形带给我们的享受，这是最有意义的分形图之一。画一个三角形，把它的三条边的中点相连，得到一个与原三角形相似的三角形，把这个三角形移走，留下3个小三角形，其边长是原三角形的一半，从这三个三角形中再移走三个更小的三角形，这样就得到了9个边长为原三角形的四分之一的小三角形。从理论上讲，这一过程可以无限进行下去，产生了一个越来越空的和自相似的图形，它不是直线即它不是一维的，也没有面积即它不是二维的，介于一维到二维之间。

现在我们建立一个由多行组成的贾宪三角形，偶数用黑体表示，如果把奇数去掉就出现三角形形状的洞，这样贾宪三角形就变成了Waclaw Sierpinsk三角形，行数越多就越接近。如果把被3整除的数用同一种颜色表示，就会得到一个新的完全由数字构成的三角形。 贾宪三角形与开方运算：由于(10x1x2)2100x12(20x1x2)x2，因此可以用20倍初商法开平方。将被开方数从右向左每两位分成一节，最后不足两位也看成一节，假设共有s节，分别是A0,A1,A2,...,AS，则开方的结果有s位。首先由As确定最高位数x1，在被开方数中减去x12得Bs，并把Bs写在As的下面并右对齐，并把As1写在Bs的右边，用20x1进行试商，假设商x2，在Bs100As1中减去 (20x1x2)x2得到Bs1，„„。 354612574116 9 203=60 3 57 5 65 3 25 2035=700 32 41 4 704 28 16 20354=7080 4 25 16 6 7086 4 25 16 0 问题2 用手工计算55294096和314706125。 三、鸡兔同笼问题 我国古代数学著作《孙子算经》中有一道著名的“鸡兔同笼问题：鸡兔同笼，总体一数，有头30，脚72，问鸡兔数。小学算术大全中给出了公式解法：鸡数=（头数×4-脚数）÷2，兔数=脚数÷2-头数。学生不知这些公式怎样得来，一律死记公式。现在我们给出算术妙解1：设想把鸡变为兔，看看发生了什么，一个换一个，每换一次，头数不变，脚却增加2个，即头数仍为30，脚数为120，增加了120-72=48只脚，可见换了48 ÷2=24次，即换了24只鸡。算术总式的产生过程为24=48 ÷2 （48何来？） =（120-72）÷2 （120何来？） =（30 ×4-72）÷2 即鸡数=（头数×4-脚数）÷2。反过来，如果把兔换为鸡，则得算术总式6=12 ÷2=（72-60）÷2=（72-30 ×2）÷2，即兔数=脚数÷2-头数。算术妙解2：设想鸡兔受过专门的训练，主人一声令，鸡兔排成一行，主人一挥手，鸡单脚站立，兔双脚直立，此时，头数30，脚数36=72 ÷2，主人一声喝，鸡腾空飞去，兔单脚站立，此时，立地脚数为6=36-30。于是有算术总式6=36-30=72 ÷2-30即兔数=脚数÷2-头数。

问题3：钞票一叠，五元十元，笼统一数，张数23，总额195元，各有几张 •今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？答：鸡二十三，兔一十二。术曰：上置三十五头，下置九十四足，半其足得四十七，以少减多，再命之。上三除下四，上五除下七，下有一除上三，下有二除上五，即得。又术曰：上置头，下置足，以头除足，以足除头，即得。若从现在的观点看，孙子在解决这个问题时，很可能利用了方程。设鸡兔数分别为x,y，则 •“上置头” x+y=A x+y=A •“下置足” 2x+4y=B 半其足 x+2y=B/2 •“以头除足”y=B/2-A(兔）, “以足除头”x=A-y（鸡） •结合我国古算题多用筹算的特点：

•头 35 35 35 23 鸡 •足 94 半其足 47 以头除足 12 以足除头 12 兔

•代数解法：设想问题已解，未知存在且已求出，因此可用字母表示，并与已知同等看待，一起塞入方程之中！设鸡、兔分别有x,y只，头数、脚数分别为a,b。接着搞翻译：“有头a”译为x+y=a,”有脚b”译为2x+4y=b，于是得到

x=(4a-b)÷2,y=(b-2a) ÷2。由此可见代数法解应用题有代数设想、代数翻译和解代

数方程等步骤：代数设想的主要内容是（1）设想问题已解，未知存在，用字母表示。 （2）尽量用字母表示已知（3）平等看待已知和未知量，允许施行代数运算。其目的为翻译打基础。代数翻译是将题目的条件用数学的关系表示出来，找出未知与已知间的联系，常常表现为从不同的角度看待同一个量。接下来的代数解法是不太难的了。 •目前有两个极端：其一是在小学高年级大搞应用战术，这样会养成学生死背公式的恶习或使学生今后害怕数学。其二是完全抛弃算术应用题，一开始就向小学生介绍方程解法，这样学习的代数将成无源之水！另外就是算术与代数的脱离，学生看不出算术的缺点和代数的优点，很难学好代数！ 筹算与高斯消元法：中国古代数学的筹算思想，在世界数学之林中有一定的地位，它曾经推动了中国古代数学的发展，创造了数学的辉煌，但最后也是阻碍中国古代数学发展的因素。九章算术“方程”的第一题：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：“上禾一秉，九斗四分之一斗；中禾一秉，四斗四分之一斗；下禾一秉，二斗四分之三斗。” 术曰：“置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方，中、下禾列于左边，以右行上禾遍乘中行而直除。又乘其次，亦以直除。然以中行不尽者遍乘左行而以直除。左边下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实，余，如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法乘右行之实，而除下禾、中禾之实。余若上禾秉而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。” 古代数学解法 筹算表达式 矩阵形式 置上禾三秉，中禾 二秉，下禾一秉， 实三十九斗于右方 四、纵横图趣谈 • 我国13世纪的数学家杨辉在《续古摘奇算法》中首创纵横图的名称以来，纵横图作为一种数学游戏，一直为数学爱好者乃至大数学家所喜爱。杨辉介绍了从洛书数（三阶幻方）到百子图（十阶幻方）后，人们对纵横图的研究一直没有停止！对于奇阶幻方其解法： • 11 24 7 20 3 • 4 12 25 8 16 • 17 5 13 21 9 • 10 18 1 14 22 • 23 6 19 2 15 对于偶数阶幻方，没有统一的解法，这里只简单介绍杨辉给出的四阶和八阶幻方及其制作方法。 四阶幻方： 1 5 9 2 6 10 3 7 11 15 4 8 12 16 虚线上的 16 2 5 9 4 3 13 11 10 8 7 6 12 数关于中 心对称 13 14 14 15 1 1 9 2 3 4 5 6 7 8 64 2 9 3 61 60 6 7 57 10 11 12 13 14 15 16 55 54 12 13 51 50 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 17 47 46 20 21 43 42 24 40 26 27 37 36 30 31 33 32 34 35 29 28 38 39 25 41 23 22 44 45 19 18 48 48 15 14 52 53 11 12 56 8 58 59 5 4 62 63 1 对于一个n阶幻方，n>2，够成该幻方的等差数列的首项为a，公差d，则有魔数nan2(n21)d。明白了魔数、阶，首项和公差后，可以考虑该问题的逆。 而历史上与幻方有关或类似的问题还不少，下面的问题出现在小学数学寒暑假作业中：在所示的图形中各个圆圈分别填上1~9，使得每个正方形的四个角上圆圈里的数字之和相等。 题目解决后我们想，如何把这个问题推广呢？为了方便，我们把问题叙述如下：在一个3×3方格中，填入1~9共9个数码，使每个正方形四个角所在的小方格里的数字之和相等，称此问题为3阶完全四角问题，它一定有解且解唯一。 1 8 3 6 5 4 7 2 9 5 1 8 6 5 2 3 现在我们来考虑N阶完全四角问题：把1，2，……，n²填入n×n方格，使每个正方形的四个角所在方格里数的和都相等。可以证明，n>4时，n阶完全四角问题无解。退而求次，考虑N阶不全四角问题：把1，2，……，n²填入n×n方格，使每个22方格里数的和都相等。对于N阶不全四角问题，我们得到了如下结果。•当n为奇数2m+1时，可以将1，2，……(2m+1)²按自然顺序填入（2m+1）×(2m+1)方格，后将和为(2m+1)²+1的两个偶数交换位置，奇数不动即可。 1 80 3 78 5 76 7 74 9 72 11 70 13 68 15 66 17 64 19 62 21 60 23 58 25 56 27 54 29 52 31 50 33 48 35 46 37 44 39 42 41 40 43 38 45 36 47 34 49 32 51 30 53 28 55 26 57 24 59 22 61 20 63 18 65 16 67 14 69 12 71 10 73 8 75 6 77 4 79 2 81 当n为偶数2m时，可以将1,2,……,(2m)²如下排成两列： 1,4m²-1,3,4m²-3,…,2m²-1,2m²+1 (1) 4m²,2,4m²-2,4,…,2m²+2,2m²-2 (2) 后在2m×2m方格中如下填入，规定前m列从上到下依次填写，后 m列从下到上依次填数。将（1）中各数依次填入2m×2m方格的第1列，第2m-1列，第3列，第2m3列，…,将（2）中各数依次填入2m×2m方格的第2m列，第2列，第2m-2列，第4列,…。 1 56 17 40 33 24 49 8 63 10 47 26 31 42 15 58 3 54 19 38 35 22 51 6 61 12 45 28 29 44 13 60 5 52 21 36 37 20 53 4 59 14 43 30 27 46 11 62 7 50 23 34 39 18 55 2 57 16 41 32 25 48 9 64 •从一道数学竞赛题所想到的 •1989第30届国际数学竞赛题。把集合{1，2，…,1989}分成117个互不相交的子集：使每个子集有17个元素；每个子集中各元素之和相等。此问题的解答是构造性的。 1 2 3 4 5，……， 113 114 115 116 117 59 117 58 116 57，……， 3 61 2 60 1 +1×117 117 58 116 57 115，……， 61 2 60 1 59 +2×117 1 2 3 4 5，……，113 114 115 116 117 +3×117 117 116 115 114 113，……，5 4 3 2 1 +4×117 …… …… …… 1 2 3 4 5，……，113 114 115 116 117 +15×117 117 116 115 114 113，……，5 4 3 2 1 +16×117 n阶不全四角问题的推广 由上述结果，可以把前n个自然数分成n组，使得每组中的n个数的和相等，32进一步要求将任何一组的n2个数填入nn方格，使得各个nn方格中的22方格里的四个数的和相等，对几个低阶的情形答案是肯定的。 n2时，把1,2,3,4,5,6,7,8分成1，4，5，8；2，3，6，7两组，如下填入22方格： 2 3 6 7 1 4 5 8 （图3） （图4） n=3时，把1,2,...,27分成三组：1 5 9 10 14 18 19 23 27；2 6 7 12 13 17 20 24 25；3 4 8 11 15 16 21 22 26。再填入三个33方格，图5，6，7。 每个33方格里22方格中四个数的和都是56，图5的两条对角线上三个方格里的数之和为42。 3 22 8 1 23 9 2 24 7 16 15 11 18 14 10 17 13 12 21 4 26 19 5 27 20 6 25 （图5） （ 图6） （图7） ⑥ ③ ④ ⑤ ① ⑧ （图8） ⑦ ② 把1 6 11 16 17 22 27 32 33 38 43 48 49 54 1,2,3,...,64分成四组：n4 时，59 64；2 7 12 13 18 23 28 29 34 39 44 45 50 55 60 61；3 8 9 14 19 24 25 30 35 40 41 46 51 56 57 62 ；4 5 10 15 20 21 26 31 36 37 42 47 52 53 58 63 。再填入四个44方格里，见图9，10，11，12。 1 48 33 16 59 22 27 54 11 38 43 6 49 32 17 64 图9 图10 4 45 36 13 3 46 35 14 60 21 28 53 12 37 44 5 51 30 19 62 58 23 26 55 10 39 42 7 52 29 20 61 2 9 47 34 15 40 41 8 57 24 25 56 50 31 18 63 图11 图12 上面各图中每个22方格里的四个数之和为130，且各44方格的对角线所在方格里四个数的和也是130。 这些方格中数字的填法与2介绍的方法一样，一般来说，前(2m1)3个自然数分成2m1组的分法及填入2m1个(2m1)(2m1)方格的方法与n=3的情形相似，n为偶数的情形与n=4时雷同。 十九世纪后半叶出现了一个叫保其寿的天才爱好者，它排列了一些立方阵，这里仅举一个简单的例子，如图8。 当然，我们还可以考虑将前n3个自然数放入nnn方块，每块一数，使从外部看来每个面上的n个数的和相等或每个面上相邻的四块中四个数的和相等的问题是否成立，或从横、纵、竖三个方向把它分成n层，使每层n个方块中的n个数之和相等或使每层n个方块中相邻四块里的四个数之和相等的问题，肯定或否定它们并非易事。同时，探讨n阶幻方与n阶不全四角问题之间的某种联系也同样有意义！

纵横图所涉及的数字是如此的简单，三岁孩童也可以局部解决的问题，然而我们每个人都不能得心应手地解决它，由此说明数具有无穷的魅力。

五、东家流水入西邻

• 说到二进制，人们马上会把它与现代电子计算机科学联系起来，因为二进制数是电子计算机的运算基础，这种独特的运算方法却发源于中华沃土。相传商纣王暴虐无道，将周族领袖姬昌（文王）无辜拘禁。姬昌忍辱负重，壮心不已，潜心推演出著名的经书《周易》，这部书在编排标题时巧妙地用符号“—”和“— —”进行组合，即每次取出两个符号排列构成“四象”，每次取出三个排列构成“八卦”。取出六个就组成了全书的六十四个“卦辞”标题。其实，这种编排已经包含了“二进制”的原理和“排列”等数学知识。但多年来，《周易》那深奥的内容困惑了无数仁人志士，这些数学原理的内涵，也落入江湖术士之手，布下了层层迷雾。时至公元17世纪，一位叫鲍威特的德国传教士，把《周易》和两幅术士们绘制的“易图”带到德国，后来传到德国数学大师莱布尼兹的手上，引起了他的极大兴趣，他虽然对中文不通晓，但那种神秘的“八卦”和由此推演的“易图”已使这位数学大师浮想联翩，多么美妙啊！

•在莱布尼兹的冥思苦想下，一种新的数系就产生了：把《周易》中的“—”记作1，把“— —”记作0，再按照逢二进一的法则，也就能够用二进制数表示《周易》的全部标题了。在此基础上，莱布尼兹开始了完善“二进制体系”的工作，1703年，他发表了“谈二进制算术”一文，列举了二进制加减乘除运算的例子，从而确立了二进制学说！伴随着时光的飞逝，二进制学说已逐渐由数学的“古玩”变成了现代科技的基础。然而，今天，仍有许多江湖骗子用这种简单的知识来愚弄民众！作为数学教师有责任用我们的知识来抵制这种行为。

•猜年龄游戏：一位教师手里拿着五张数学图表，请同学们看，如果一个学生告诉老师，在哪几张图表上有他的年龄，那么老师就能正确地说出他的年龄。比如说，有位学生说在图表2，5中有他的年龄数，这时老师就能知道他的年龄为18。

为什么？ •要想弄清其间的道理，让我们来看看这五张图表是怎样制成的！先把1~31这31个数都化成二进制数，并以“1”表示填入图中，以“0”表示不填入图中。如17=（10001）2，就把17填入图1和图5中，不填入图2，3，4中。余类推。 1 3 5 7 2 3 6 7 4 5 6 7 9 11 13 15 10 11 14 15 12 13 14 15 17 19 21 23 18 19 22 23 20 21 22 23 25 27 29 26 27 30 31 28 29 30 31 1 2 3 8 9 10 11 16 17 18 19 12 13 14 15 20 21 22 23 24 25 26 27 24 25 26 27 28 29 30 31 28 29 30 31 4 5 •问题4：用二进制数的原理求和 2·3n+…+2 · 3¹+2。 二进制数与让梨问题 让梨问题：把一堆棋子摆成若干行，然后两人轮流取子，每次可以在同一行中取走若干子，可以多取，也可以少取，但不能不取，规定每次只能在一行取子，最后无子可取者失败。 甲取走中行3子 乙取走上行4子 甲失败成定局 要想解释其间的道理，可以用二进制数。开局时的棋子数 4 100 如果我们把偶数视为安全，奇数视为危险，获胜的秘诀在于：化危 6 110 险为安全，开局时，甲有一个危险，由于他不懂奥妙，次次将自己 3 11 置于危险之中，失败是难免的。 221 4 100 3 11 3 11 2 10 1 01 3 11 3 11 2 10 2 10 2 10 3 11 22 21 20 11 122 如果懂得其中的奥妙，该问题先取子的有必胜的法宝。 六、趣谈图形的拼补 拼图本是一种游戏，由此引申出大量有趣的问题，包括不少历史悠久、具有数学价值的名题，一直为数学爱好者所喜爱。 英国趣味数学家杜登尼（H.E.Dudeney）在20世纪初于《卖尔日报》上提出下面的问题：如何将一个正三角形剖分成四块，用他们可拼成（无缝隙且无重叠）一个正方形。问题解答者众，但正确者少！稍后杜登尼发表了他的裁拼方法。 这里的剖分是严格的(1)分别作正三角形ABC的边AB，BC的中点D、E；(2)延长AE到F使EF=EB；(3)求AF的中点G，以G为圆心，AG为半径作弧AHF；(4)延长EB到H，则EH为所拼正方形的边长；(5)以E为圆心，EH为半径作弧HJ交AC于J取JK=BE；(6)作DL⊥EJ于L，KM⊥ EJ于M。 一般地，如果图形A剖分成有限多部分后可（无缝隙、无重叠）拼补成图形B，则称图形A与图形B组成相等。显然，两个图形组成相等则面积相等。反之，如果两个图形面积相等，他们的组成是否相等呢？1832年和1833年，匈牙利数学家J.Bolyai和德国数学家B.Gerwien先后独立给出了下面的结果：若两个图形的面积相等，则他们的组成相等。在此结果之下，可以导出化圆为方问题之所以不可解，原因是圆周率不是有理数。 需要强调的是，这里的剪拼是无缝隙、无重叠，并且需要严格证明的。有人就曾经给出下面的伪结论： 8 3 5 8 3 5 5 3 5 5 3 图形的组成相等：如果图形A剖分成有限多个部分后可拼补成图形B，则称图形A与B组成相等，且记为AB。 匈牙利数学家鲍耶（J.Bolyai）和德国数学家温格（B.Gerwien）于1832年和1833年先后独立地得到了如下结论：若两个多边形面积相等，则他们的组成相等。 证明思路：（1）若AB且BC，则AC。 （2）任意三角形与某个矩形组成相等。 （3）共底且面积相等的两个平行四边形组成相等。 （4）等积的两个矩形组成相等。 （5）任意多边形与某个矩形组成相等。 问题5：如何将一个等边三角形分成五块后拼成一个正方形？ 最后我们来谈一谈数学中的创造思想。我们每个老师都极力主张培养学生的创造性思维能力，但我们在教学中常常抹杀学生的创造精神！ （1） 7+8= （2） 为什么要通分？ 2311（3） 75是否成立？ （4） 已知a,b,c都是自然数且abc12,a2b2c217，则abc 。 （5） 三个朋友去图书馆的日期不同，第一个人每三天去一次，第二人每四天去一次，第三人每五天去一次。上一次他们在图书馆相遇的日子是某个星期二，问多少天后他们相遇，那一天是星期几？ （6） 因为12141878，因此方程1x1y1z78一定有正整数解，它有几组正整数解，初中学生可否解决？ 七、数学名家的思想 1 秦九韶算法与因式分解 我国古代数学家秦九韶，为了计算多项式Pn(x)anxnan1xn1...a1xa0在xx0处的值，将Pn(x)写成(..((anxan1)xan1)x...a1)xa0的形式，然后用竖式方法来实现，于是有综合除法 anan1anx020an2anxan1x0...anxa1n10a0...a2x0anxan1xn0n10..a1x0x0 ananx0an1......Pn(x0) 例1 求P(x)5x47x34x33x7在x3处的值。 557152246662318618975675743 所以P(3)574。 例2 分解因式x53x45x35x26x8 111132514405105410151051440461044108802 原式=(x2)(x1)(x4)(x21)。 2 欧几里得的反证法 例1求证：质数有无穷多个。 例2 设n2，求证：n~n!之间至少有一个质数。 3 卡当公式与斐拉里公式 卡当是米兰的医生，爱好数学，行为怪异，好赌博，他在苦苦哀求塔塔利亚后得到了三次方程的求解公式，把它公布在他的《大法》一书中： 任何一个一元三次方程都可以通过减根变换化为x3pxq0，记 xuvxuv3x(uv)p3273331/3pxquvq,uv4p327q2p327p327 q2u2uvvp,uvq24p327222uvq24p327quq24p3272q24q2 vq2，所以x33，后经意大利数学家邦别利改进后成为今天的形状。 斐拉里是卡当的仆人，后来成为卡当的学生和朋友，对数学颇有研究，最著名的就是四次方程的斐拉里公式： 对于一元四次方程x4bx3cx2dxe0， 11x4bx3(bx)2b2x2cx2dxe 241111(x2bx)2(b2c)x2dxe，两边加上(x2bx)yy2得 2424111y)2(b2cy)x2(byd)x(y2e)，为使右边、成为完22424111全平方，必须有(byd)24(b2cy)(y2e)0，只要求出一个根即244(x2bx11可。 4四次以上方程的根式解和尺规作图不能问题 自从斐拉里完成了四次方程的求解以来，包括欧拉、高斯、拉格朗日等数学家都曾经思考过将高次方程转化为低次方程来研究，结果都以失败而告终。拉格朗日作过预言，用根号解四次以上的方程是不可能解决的问题之一。高于四次的方程不可根式解最终由挪威年轻的数学家阿贝尔所证明。（阿贝尔在研究数学的时间非常短，但他留给我们的数学成果却十分丰富：阿贝尔积分、阿贝尔积分方程、阿贝尔函数、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔收敛判别法、阿贝尔可和性等），他在研究方程的可解性时，实质上建立了阿贝尔群，只是他没有意识到其中的重要性而未能作进一步研究。但是，阿贝尔引入了数学结构：域。给出了不可约多项式的概念。 虽然一般四次以上的方程不能用根号解，但并不是所有四次以上的方程都没有根号解。高斯和阿贝尔都曾经给出可根号解的方程。需要确定那些方程可根号解即找出可根号解的充分必要条件，同时给出不可根号解的具体方程。这个问题最终由法国天才数学家伽罗瓦彻底解决。 1829年伽罗瓦将自己研究方程求解的两篇文章呈送法国科学院，但被遗失，1830年又写了一篇研究论文呈交傅里叶，但不久傅里叶去世，论文也不知下落。1831年他又提交了题为《关于用根号解方程的可解性条件》给泊松，但泊松批了“不知所云”。伽罗瓦在这篇划时代的论文里提出了群环域等新概念，阐明了相关理论。他是一个资产阶级的狂热支持者，为此曾坐过半年牢，获得释放不久，参加一场有预谋的决斗，死于枪下。决斗前夜，他伏案工作，彻夜未眠，留给人们一份宝贵的数学财富：他引入了置换群、子群、正规子群等概念，给出了可用根号解的基本定理：给定一个方程，设G为该方程的伽罗瓦群，它的一系列极大正规字群为Gi,GG0G1...GsE，则原方程可根号解的充分必要条件是指标[Gi/Gi1]都是素数。 由于尺规只能作直线和圆，而圆的方程是二次方程，其解只能是系数经过加、减、乘除和开平方运算，因此有尺规能作出的量的充分必要条件是系数的四则运算和开平方。

对于三等分角问题：由于cos34cos33cos,取60，ycos20，则8y36y10，则该方程在有理数域上无解，若这个三次方程在扩域上有解，则该扩域一定是三次扩域而不可能是二次扩域，因此60的角是三等分不可能作图的。

对于倍立方问题：取已知立方体的边长为单位，令x为所求立方体的边长，则有x320，这也是一个无有理数解的三次方程，他的解的扩域是三次扩域，因此不能用尺规作图。

对于化圆为方问题：设r为已知圆的半径，x为所求正方形的边长，则问题相当于解方程x2r20，它是一个二次方程，由于r2不是代数数，于是方程的系数本身都不能用尺规作出，因此化圆为方问题是尺规作图不能问题。 5 透视几何与古典作图问题。

（1）交比的应用 （2）德沙格定理

（3）梅尼劳斯定理与塞瓦定理

（4）帕斯卡定理：若一个六边形内接于一条圆锥曲线，则这个六边形的三双对边的交点在一条直线上。（该直线称为帕斯卡线）

（5）布利安双定理：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点。

（6）帕卜斯定理与九树十行问题

6 欧几里得第五公设的试证与非欧几何的产生。

欧几里得《几何原本》中的第五公设为：若两直线和第三直线相交，且在同一侧所成的两个同侧内角之和小于二直角，则这两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

古希腊数学家托列密依赖一个假定“过已知直线外一点可且可以作一条直线与已知直线平行”而完成了证明。但该假定与第五公设等价。

意大利数学家萨开里利用萨开里四角形来证明第五公设，

D F C A E B 设AB90,ADBC，过AB之中点E作EFAB，他证明了CD，假设C90,C90,C90，萨开里从C90出发，很快导出了矛盾，但他从C90出发时，得到了许多有趣的推论，但他却把他们一一否定了，入宝山而空返！ 罗巴切夫斯基几何也称双曲几何：对于任何直线a和不在直线a上的一点A，在由直线a和点A确定的平面上通过A至少有两条直线与a共面而不相交。 （1）在平面内，对于一条直线，存在不相交的垂线和斜线 （2）存在一个三角形，它没有外接圆 （3）存在一个三角形，它的三条高线不相交 （4）三角形的内角和小于两直角 （5）三角形的内角和不是常数 （6）不存在矩形 （7）平面上不在已知直线上且与此直线等距离的三点不在同一直线上。 （8）在角的内部存在直线，它不通过角的顶点而且与角的两边都不相交。 黎曼几何：对于任何直线a和不在直线a上的一点A，在由直线a和点A确定的平面上通过A没有直线与a共面而不相交。 三角形内角之和大于两直角。