勾股定理的九种证明方法附图

一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）

左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相

等(边长都是

。

)，所以可以列出等式，化简得

二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为 的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式

，化简得

。

三、相似三角形的证法： 4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。 A 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥AB，垂足为D。则 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD×BA，① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD×AB。② D 我们发现，把①、②两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， C B 而AD+BD=AB， 因此有BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 四、古人的证法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 五、项明达证法： 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵∠BCA=90°，QP∥BC， ∴∠MPC=90°， ∵BM⊥PQ， ∴∠BMP=90°，

∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°. ∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，

∴∠QBM=∠ABC，

又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c， ∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2 六、欧几里德射影定理证法 ：

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下： 1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC，（3）（BC）^2;=CD·AC。 由公式（2）+（3）得：

（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=（AC）^2;，

即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2 七、杨作玫证法：

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵∠BAD=90o，∠PAC=90o， ∴∠DAH=∠BAC.

又∵∠DHA=90o，∠BCA=90o， DGaAD=AB=c，

c∴RtΔDHA≌RtΔBCA.

1b92∴DH=BC=a，AH=AC=b. c由作法可知，PBCA是一个矩形， AF8RHP所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB= CA=b，AP=a，从而PH=b―a. T4536bccQ7aCEB∵RtΔDGT≌RtΔBCA, RtΔDHA≌RtΔBCA. ∴RtΔDGT≌RtΔDHA. ∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA. 又∵∠DGT=90o，∠DHF=90o，

∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90o， ∴DGFH是一个边长为a的正方形. ∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.

∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为 c2S1S2S3S4S5① ∵

S8S3S41bba•abab21ab22， =

S5S8S9，

1S3S4b2abS8b2SS18.② 2∴=

把②代入①，得

222=bS2S9=ba.

∴abc. 八、陈杰证法：

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.

B在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC， 则AD=c. c∵EM=EH+HM=b+a,ED=a， 54cb∴DM=EM―ED=ba―a=b. FAa又∵∠CMD=90o，CM=a， CG∠AED=90o，AE=b， 23cb∴RtΔAED≌RtΔDMC. aac17∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.

6∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180o， EbDHaM∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90o， ∴∠ADC=90o.

∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形. ∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90o， ∴∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE， ∴ΔABF≌ΔADE.

∴∠AFB=∠AED=90o，BF=DE=a. ∴点B、F、G、H在一条直线上.

222在RtΔABF和RtΔBCG中， ∵AB=BC=c，BF=CG=a， ∴RtΔABF≌RtΔBCG.

222cSSSSbSSSa2345126∵，，S3S7，

S1S5S4S6S7，

22abS3S7S1S2S6 ∴

=S2S3S1S6S7

=S2S3S4S5

=c

222∴abc. 九、辛卜松证法：

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为ab2a2b22ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD

22的面积为=2abc.

222∴ab2ab2abc,

222∴abc.

2ab241abc2