初三上册数学直升班培优讲义学生版第11讲 圆(一)(学生版)

垂径定理

圆周角定理

1

模块一 圆的基本概念

定 义 圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆． 弦和弧： 1．连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 圆心角和圆周角： 1．顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 扇形和弓形 1．一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长：SO等圆示例剖析 圆OO圆心A半径 表示为“⊙O” O‘O 同心圆 优弧mOC弦BA劣弧 表示：劣弧AB 优弧ACB或AmB DOCA圆周角圆心角B O扇形OAr． 3601802．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． r2，lAB 弓形B 模块二 垂径定理

1．圆的对称性

圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三.

模块三 圆周角定理

定理 示例 CD定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． OAB 11图如图，ACBADBAOB． 2C推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． AOB 图3，则ACB90 如图，AB是半圆（AB是直径）ADO推论2：圆内接四边形的对角互补． B 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则图4ABCD180，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即DCEA．

CE0 模块一 圆的基本概念 例题 1

判断下列正误．

（1）半径相等的两个圆是等圆 （2）过圆心的线段是直径 （3）半圆所对的弦是直径 （4）直径是圆中最大的弦

（ ） （ ） （ ） （ ）

3

（5）半圆是弧 （6）长度相等的弧是等弧 （7）两个端点能够重合的弧是等弧 （8）圆中任意一条弦所对的弧有两条，其中一条优弧，一条劣弧 （9）圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）

例题 2

（1）如图2-1，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，若AB2DE，

E18，AOC__________．

（2）如图2-2，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为__________．

OABE

D C

图2-1 图2-2

0 模块二 垂径定理

（1）如图3-1，CD为⊙O的直径，ABCD于E，DE8cm，CE2cm，则AB__________．

（2）如图3-2，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F，GB8cm，AG1cm，DE2cm，则EF_________．

（3）（安徽芜湖中考）如图3-3，在⊙O内有折线OABC，其中OA8，AB12，AB60，则BC的长为______．

CAEODB例题 3 DEOFCC AGB 图3-1 图3-2 图3-3

4

例题 4

（1）如图4-1，过⊙O内一点M的最长弦长为12cm，最短弦长为8cm，则OM长为_________．

（2）如图4-2，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦的长度为整数的条数有___________．

OO•P 图4-1 图4-2

M例题 5

（1）直径为50cm的⊙O中，弦AB//弦CD，又AB40cm，CD48cm，则AB和CD两弦的距离为________．

（2）（郴州中考）已知在⊙O中，半径r5，AB、CD是两条平行弦，且AB8，CD6，则AC的长为_______．

例题 6

如图，P为⊙O外一点，过点P引两条割线PAB和PCD，点M，N分别是AB，CD的中点，连接MN交AB，CD与E，F．

（1）求证：△PEF为等腰三角形；

（2）探究：当点P在⊙O上或⊙O内时其它条件不变，结论还成立吗?

P

A E M B

5

C PFONN MFFOCMEFPANDBBODA图6-1 图6-2 图6-3

0 模块三 圆周角定理 例题 7

（1）已知A、B为⊙O圆周上任意两点，C是优弧AB上一点，请你判断ACB与AOB的大小关系．

OOO

根据上面的推理，可以发现_________________________________________．

（2）若点D是优弧AB上任意一点，试判断ADB与ACB的大小关系．根据上面的推理，可以发现：___________________________________．

（3）如果点D在劣弧AB上，此时ADB和ACB的大小关系还一样吗？可以得到什么结论？

CC DOOA B

ADB

例题 8

（1）一条弦分圆为1:5两部分，则这条弦所对圆周角的度数为__________．

（2）如图8-1，A、B、C、D是⊙O上的点，直径AB交CD于点E，已知C57，D45，则CEB________．

（3）如图8-2，AB为O的弦，△ABC的两边BC、AC分别交O于D、E两点，B60，EDC70，则C________．

（4）如图8-3，△ABC内接于O，AB是直径，BC4，AC3，CD平分ACB，则弦BD的长为________．

C

ACAEBOEB6

ACOBDDD

图8-1 图8-2 图8-3

例题 9

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设OAB，C．猜想与之间的关系，并给予证明． C

OAB

7

模块一 圆的基本概念 演练 1 如图，CD是⊙O的直径，EOD87，AE交⊙O于B，且ABOC，求A的度数． EE BDOCADOBCA

演练 2

（1）如图2-1，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BCa，

EFb，NHc，则下列选项中正确的是（ ）.

A．abc B．abc C．cab D．bca

（2）（河南中考）如图2-2，在半径为5，圆心角等于45的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在AB上，则阴影部分的面积为（结果保留π）__________．

MGENBADAOCFDE H O F C

图2-1 图2-2

B

模块二 垂径定理 8

演练 3

（1）如图3-1，是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6米，则这条管道中此时水最深为___________米．

（2）如图3-2，已知C是弧AB的中点，半径OC与弦AB相交于点D，如果OAB60，AB3，那么CD__________．

（3）（安徽中考）如图3-3，圆心O在等腰直角△ABC的内部，⊙O过点B、C．BAC90，OA1，BC6，则⊙O的半径为_____________．

OAODCBACB

图3-1 图3-2 图3-3

演练 4

（1）过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于_________．

（2）已知⊙O的直径是10cm，⊙O的两条平行弦AB6cm，CD8cm，则弦AB与CD间的距离为_________．

A

FCOEBD演练 5

（湖北中考）如图，AB是⊙O的直径，且AB10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则h1h2等于________．

AFh1EONMh2B演练 6

9

如图，已知AB是半圆O的直径，C为半圆周上一点，M是AC的中点，MNAB于N，试判断MN与AC的数量关系并证明． C

MANBO模块三 圆周角定理 演练 7

（1）（四川成都中考）如图7-1，△ABC内接于⊙O，ABBC，ABC120，AD为⊙O的直径，AD6，那么BD_________．

（2）（四川南充中考）如图7-2，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，BOC110，AD//OC，则AOD（ ）．

A．70 B．60 C．50 D．40

（3）（山东泰安中考）如图7-3，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB3，则弦AB所对圆周角的度数为__________．

DD

O

ABOO ACA

BC图7-1 图7-2 图7-3

B 10