高等数学第十二章单元测试题答案

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1、 求微分方程x2ydx(1y2x2x2y2)dy的通解。（5分） 解：

x2ydx(1y2)(1x2)dy

x21y2dxdy 21xy (111)dx(y)dy 21xy12yC 2所以方程的通解是：xarctanxlny22、 求方程yyy2x的通解。（10分）

x1解： yy2，即yy2xy

y它是n1的伯努力方程，设zy得方程

1ny2

z2z4x ze2dx2dx[4xedxC]

e2x[2xe2xe2xC]故同解为

y2Ce2x2x1

3、 求方程x(lnxlny)yy0的通解。（10分）

xdyydyy1解：ln , 即 yydxxdxxlnx 设zydz，则yxz,yzx xdx所以： zxdzz dxlnzdzzzlnz1 dxlnzx分离变量得 lnz1dzdx

zzlnzx111 ()dzdx

zz(1lnz)x两边积分

ln(1lnz)lnzlnxlnC11lnzCxz故通解为

1ln

yCy x4、 设f(x)cosx2分）

x0（10f(t)sintdtx1，其中f(x)为可导函数，求f(x)。

x解：方程f(x)cosx20f(t)sintdtx1两边求导

f(x)cosxf(x)sinx2f(x)sinx1 令 yf(x)

得 ycosxysinx1 即 yytanx1 cosx这是一个一阶线微分方程，求解得

ycosx(tanxC)

由 y(0)1得C1，所以f(x)sinxcosx

5、 求微分方程(xcosycosx)y'ysinxsiny0的通解。（10分） 解：(xcosycosx)dy(ysinxsiny)dx0

因为

pQcosysinx，所以该方程为全微分方程 yx重新组合得

(xcosydysinydx)(cosxdyysinxdx)0

即 d(xsiny)d(ycosx)0 所以方程的通解是：xsinyycosxC

6、求微分方程y6y9yxe满足初始条件y(0)0,y(0)0的特解。 （10分）

解：特征方程为r6r90，特征根为r1r23

所以对应齐次方程y6y9y0的通解为：ye(c1xc2)

原方程具有特解yx(axb)e，代入原方程得a即y*3x23x*23x1,b0 6133xxe 63x133xxe 6由初始条件y(0)0,y(0)0得c13, c21

故原方程的通解是ye(c1xc2)133x所求的解是ye(3x1)xe

63x7．对x>0,过曲线yf(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于

求f(x)的一般表达式。（10分）

1xf(t)dt,0x解：曲线yf(x)上点(x,f(x))处切线方程：Yf(x)f(x)(Xx)

1x由于曲线yf(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于f(t)dt,得方程

x01xf(x)xf(x)f(t)dt,

x0即 xf(x)xf(x)2x0f(t)dt

积分方程两边求导得xf(x)f(x)0

令pf(x)， 方程xf(x)f(x)0化为xpp0，求解得pc1解方程f(x)c11。 x1，得f(x)c1lnxc2 x28．设曲线积分Lyf(x)dx[2xf(x)x]dy在右半平面（x>0）内与路径无关，其中f(x)可导，且f(1)1,求 f(x).（10分）

(2xf(x)x2)(yf(x))解：因为积分与路径无关，所以

xy即 2f(x)2xf(x)2xf(x) 令 yf(x)， 得y1y1 2x12求解上面的一次线性微分方程得：ycx122x 3因此 f(x)cx2x 311212f(x)xx f(1)1由，得c，故

333

9、设对于半空间

x0 内任意的光滑有向封闭曲面都有

2xxf(x)dydzxyf(x)dzdxezdxdy0 ， 其中函数f(x) 在(0,)内具有连续一阶导数，且limf(x)1，求f(x)。

x0（20分）

解：由高斯公式知：

zxf(x)dyd

2xx(yf)xdzdxezdxdy

(f(x)xf(x)xf(x)2xe)dv由

2xxf(x)dydzxyf(x)dzdxezdxdy0 和的任意性得 f(x)xf(x)xf(x)e2x0

即 f(x)(111)f(x)e2x xx求解方程得其通解

exxf(x)(ec)

x因为

exxlimf(x)lim(ec)1,所以

x0x0xx02xxlim(ece)0

因此 c1

exx(e1 )故 f(x)x