河南省洛阳市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1．若集合A={x|x2＜4}，且A∪B=A，则集合B可能是（ ） A．{1，2} B．{x|x＜2}

C．{﹣1，0，1}

D．R

2．“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（ ） A．＜ B．a﹣c＜b﹣c C．ac2＜bc2 D．a2＜b2 4．已知命题q：∀x∈R，cosx≤1，则￢q是（ ） A．∀x∈R，cosx≥1

B．∀x∈R，cosx＞1

C．∃x0∈R，cosx0≥1 D．∃x0∈R，cosx0＞1

5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=4，S3=7，则S6的值为（ ） A．31 B．32 C．63 D．64

6．以F（0，1）为焦点的抛物线的标准方程是（ ） A．x2=4y

B．x2=2y

C．y2=4x

D．y2=2x

7．对于R上可导函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必有（ ） A．f（1）+f（3）＜2f（2） B．f（1）+f（3）＞2f（2） C．f（1）+f（3）＞f（0）+f（4） D．f（1）+f（0）＜f（3）+f（4） 8．已知双曲线C与双曲线

﹣

=1有相同的渐近线，且与椭圆

+

=1有相

同的焦点，则双曲线C的方程为（ ） A．

﹣

=1 B．

﹣

=1 C．

﹣

=1 D．

﹣

=1

9．a，b，c是角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，在△ABC中，则三角形是（ ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

10．设数列{an}的通项公式an=ncosA．2016

B．﹣2016 C．1008

，其前n项和为Sn，则S2016=（ ） D．﹣1008

11．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，下列关于函数y=f（x）的极值和单调性的说法中，正确的个数是（ ） ①x2，x3，x4都是函数y=f（x）的极值点； ②x3，x5都是函数y=f（x）的极值点；

③函数y=f（x）在区间（x1，x3）上是单调的； ④函数y=f（x）在区间上（x3，x5）是单调的．

A．1 B．2 C．3 D．4

12．已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且|QF2|=2|PF2|，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知命题“若x2＞1，则x＞1”，在其逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数为 ．

14．曲线y=sinx﹣2x在x=π处的切线方程为 ．

15．当x＞2时，不等式x2﹣ax+9＞0恒成立，则实数a的取值范围为 ． 16．已知函数f（x）=x2+mx+2nlnx﹣p在区间（0，1）内取极大值，在区间（1，2）内取极小值，则z=3m﹣2n的取值范围为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17．设命题p：f（x）=x2+（2m﹣2）x+3在区间（﹣∞，0）上是减函数；命题q：

“不等式x2﹣4x+1﹣m≤0无解”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数m的取值范围．

18．已知点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点M（2，m）在抛物线E上，且|MF|=3．

（1）求抛物线E的方程；

（2）求以点N（1，1）为中点的弦所在直线的方程．

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bc=a2﹣（b﹣c）2． （1）求角A的大小； （2）若a=2

，△ABC的面积S=2

，求b，c的值．

20．各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N+，6Sn=an2+3an+2．

（1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn=

，求数列{bn}的前n项和Tn．

21．已知函数f（x）=﹣x3﹣x2+2mx． （1）若m=3，n=1，求f（x）的极值；

（2）若n=﹣1，﹣2＜m＜0，f（x）在[1，4]上的最大值为间上的最小值．

22．已知P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，F是椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q，满足

=7

．

，求f（x）在该区

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，过左顶点A作斜率为k（k＞0）的直线l1，l2，直线l1交椭圆C于点D，交y轴于点B．l2与椭圆C的一个交点为E，求

的最小值．

2016-2017学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（文

科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1．若集合A={x|x2＜4}，且A∪B=A，则集合B可能是（ ） A．{1，2} B．{x|x＜2}

C．{﹣1，0，1}

D．R

【考点】集合的包含关系判断及应用．

【分析】化简集合A，根据A∪B=A，即可判断集合B． 【解答】解：集合A={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}． ∵A∪B=A， ∴B⊆A．

∵{﹣1，0，1}⊆A， 故选C．

2．“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】方程mx2+ny2=1表示椭圆⇔m＞0，n＞0，m≠n．即可判断出结论． 【解答】解：方程mx2+ny2=1表示椭圆⇔m＞0，n＞0，m≠n． 因此“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的充分不必要条件． 故选：A．

3．如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（ ） A．＜ B．a﹣c＜b﹣c C．ac2＜bc2 D．a2＜b2

【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．

【分析】根据已知中a＜b＜0，结合不等式的基本性质，逐一分析各个答案的真假，可得结论．

【解答】解：如果a＜b＜0，则ab＞0， 则

＜0，即0＞＞，故A错误；

a﹣c＜b﹣c，故B正确； 当c=0时，ac2=bc2，故C错误； a2＞b2，故D错误； 故选：B

4．已知命题q：∀x∈R，cosx≤1，则￢q是（ ） A．∀x∈R，cosx≥1

B．∀x∈R，cosx＞1

C．∃x0∈R，cosx0≥1 D．∃x0∈R，cosx0＞1 【考点】命题的否定．

【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可

【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即￢p：∃x0∈R，cosx0＞1， 故选：D

5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=4，S3=7，则S6的值为（ ） A．31 B．32 C．63 D．64 【考点】等比数列的前n项和．

【分析】根据比数列通项公式和前n项和公式进行计算即可． 【解答】解：设等比数列的公式为q，则解得：a1=1，q=2， 那么：

．

，

，

故选C．

6．以F（0，1）为焦点的抛物线的标准方程是（ ） A．x2=4y

B．x2=2y

C．y2=4x

D．y2=2x

【考点】抛物线的标准方程．

【分析】由题意和抛物线的性质判断出抛物线的开口方向，并求出p的值，即可写出抛物线的标准方程．

【解答】解：因为抛物线的焦点坐标是（0，1）， 所以抛物线开口向上，且p=2， 则抛物线的标准方程x2=4y， 故选A．

7．对于R上可导函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必有（ ） A．f（1）+f（3）＜2f（2） B．f（1）+f（3）＞2f（2） C．f（1）+f（3）＞f（0）+f（4） D．f（1）+f（0）＜f（3）+f（4） 【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】借助导数知识，根据（x﹣2）f′（x）＞0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．

【解答】解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣2）f′（x）＞0 ∴有

或

，

即当x∈（2，+∞）时，f（x）为增函数， 当x∈（﹣∞，2）时，f（x）为减函数 ∴f（1）＞f（2），f（3）＞f（2） ∴f（1）+f（3）＞2f（2） 故选：B．

8．已知双曲线C与双曲线

﹣

=1有相同的渐近线，且与椭圆

+

=1有相

同的焦点，则双曲线C的方程为（ ） A．

﹣

=1 B．

﹣

=1 C．

﹣

=1 D．

﹣

=1

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】求出椭圆的焦点坐标；判断双曲线标准方程；利用双曲线的渐近线的方程设出所求方程，通过焦点坐标；求出双曲线方程． 【解答】解：椭圆

+

=1，其焦点坐标为（0，±5），

∵双曲线﹣=1的渐近线是y=±x

设所求双曲线方程为﹣=m，∴16m+9m=5，∴m=1．

所以双曲线方程为故选A．

﹣=1．

9．a，b，c是角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，在△ABC中，则三角形是（ ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 【考点】三角形的形状判断．

【分析】由条件利用正弦定理可得 A+B=

sin2A= sin2B，化简可得 A=B，或

D．等腰直角三角形

，故△ABC是等腰三角形或直角三角形，从而得出结论．

【解答】解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，由正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB，即

sin2A= sin2B，

∴2A=2B，或 2A+2B=π． ∴A=B，或 A+B=

，即 C=

．

故△ABC是等腰三角形或直角三角形， 故选C．

10．设数列{an}的通项公式an=ncosA．2016

B．﹣2016 C．1008

，其前n项和为Sn，则S2016=（ ） D．﹣1008

【考点】数列的求和． 【分析】由an=ncos

，可得a1=

=，a2=﹣1，a3=﹣3，a4=﹣2，a5=﹣，﹣1﹣3﹣2+

+6=3，同理可得

a6=6．可得a1+a2+a3+a4+a5+a6=

a7+a8+a9+a10+a11+a12=3，…，即可得出． 【解答】解：由an=ncosa4=4

=﹣2，a5=5cos

，∴a1=

=，a2=2

=﹣1，a3=3cosπ=﹣3，

=﹣，a6=6cos2π=6．

∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=﹣1﹣3﹣2++6=3， 同理可得a7+a8+a9+a10+a11+a12=3，…， 故S2016=故选：C．

11．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，下列关于函数y=f（x）的极值和单调性的说法中，正确的个数是（ ） ①x2，x3，x4都是函数y=f（x）的极值点； ②x3，x5都是函数y=f（x）的极值点；

③函数y=f（x）在区间（x1，x3）上是单调的； ④函数y=f（x）在区间上（x3，x5）是单调的．

×3=1008，

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】结合函数的图象，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点． 【解答】解：由图象得：

f（x）在（﹣∞，x3）递增，在（x3，x5）递减，在（x5，+∞）递增， 故x3，x5都是函数y=f（x）的极值点， 故②③④正确， 故选：C．

12．已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且|QF2|=2|PF2|，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【考点】双曲线的简单性质．

【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为2d．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有：d=（c﹣

=

=，这样即可求得

），根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根据双

=，即可得出结论．

曲线的第二定义即可得到

【解答】解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d； 过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1； ∵∴

=

，|QF2|=2|PF2|，

=，|QQ1|=2d；

=

=；

过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：∴解得d=（c﹣

）

∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a， ∴|PF2|=2c﹣2a；

∴根据双曲线的第二定义，整理成：（e﹣1）（3e﹣5）=0 ∴双曲线的离心率为． 故选B．

=，

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知命题“若x2＞1，则x＞1”，在其逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数为 2 ．

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】判断原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，得到答案．

【解答】解：x2＞1⇔x＜﹣1，或x＞1， 故命题“若x2＞1，则x＞1”为假命题， 故其逆否命题为假命题，

其逆命题为：“若x＞1，则x2＞1”为真命题， 故其否命题也为真命题， 故答案为：2

14．曲线y=sinx﹣2x在x=π处的切线方程为 3x+y﹣π=0 ．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出函数的导数，可得曲线y=sinx﹣2x在x=π处的切线斜率，求出切点，由点斜式方程可得切线的方程．

【解答】解：y=sinx﹣2x的导数为y′=cosx﹣2，

可得曲线y=sinx﹣2x在x=π处的切线斜率为cosπ﹣2=﹣3， 切点为（π，﹣2π），

可得曲线y=sinx﹣2x在x=π处的切线方程为y﹣（﹣2π）=﹣3（x﹣π）， 即为3x+y﹣π=0， 故答案为：3x+y﹣π=0．

15．6）当x＞2时，不等式x2﹣ax+9＞0恒成立，则实数a的取值范围为 （﹣∞， ．

【考点】函数恒成立问题．

【分析】问题转化为a＜x+在（2，+∞）恒成立，令f（x）=x+，（x＞2），根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可． 【解答】解：当x＞2时，不等式x2﹣ax+9＞0恒成立， 即a＜x+在（2，+∞）恒成立， 令f（x）=x+，（x＞2），则f′（x）=1﹣

，

令f′（x）＞0，解得：x＞3，令f′（x）＜0，解得：2＜x＜3， 故f（x）在（2，3）递减，在（3，+∞）递增， 故f（x）的最小值是f（3）=6， 故a＜6，

故答案为：（﹣∞，6）．

16．已知函数f（x）=x2+mx+2nlnx﹣p在区间（0，1）内取极大值，在区间（1，2）内取极小值，则z=3m﹣2n的取值范围为 （﹣11，﹣3） ． 【考点】利用导数研究函数的极值．

【分析】求出函数f（x）的导数，由题意可得x2+mx+2n=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，即有g（0）＞0，g（1）＜0，g（2）＞0，得到关于m，n的不等

式组，问题转化为线性规划问题，运用角点法，代入计算求出z=3m﹣2n的范围即可．

【解答】解：∵f（x）=x2+mx+2nlnx﹣p， ∴f′（x）=x+m+

（x＞0）=

，

∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值， ∴g（x）=x2+mx+2n=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根， g（0）＞0，g（1）＜0，g（2）＞0， 即

，

z=3m﹣2n的几何意义为m=0，直线在n轴截距的﹣2倍， 如图示：

求得A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣3，1）， 代入z=3m﹣2n可得z=﹣6，﹣3，﹣11， 则z=3m﹣2n的取值范围为（﹣11，﹣3）． 故答案为：（﹣11，﹣3）．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17．设命题p：f（x）=x2+（2m﹣2）x+3在区间（﹣∞，0）上是减函数；命题q：“不等式x2﹣4x+1﹣m≤0无解”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数m的取值范围．

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，则命题p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．

【解答】解：f（x）=x2+（2m﹣2）x+3的图象是开口朝上，且以直线x=1﹣m为对称轴的抛物线，

若命题p：f（x）=x2+（2m﹣2）x+3在区间（﹣∞，0）上是减函数为真命题， 则1﹣m≥0，即m≤1；

命题q：“不等式x2﹣4x+1﹣m≤0无解”． 则△=16﹣4（1﹣m）＜0，即m＜﹣3，

如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，则命题p，q一真一假， 若p真，q假，则﹣3≤m≤1，

若p假，q真，则不存在满足条件的m值， 故﹣3≤m≤1．

18．已知点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点M（2，m）在抛物线E上，且|MF|=3．

（1）求抛物线E的方程；

（2）求以点N（1，1）为中点的弦所在直线的方程． 【考点】抛物线的简单性质．

【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线E的方程；

（2）设弦所在直线方程为 y﹣1=k（x﹣1），代入抛物线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出 k=2，从而得到弦所在直线方程． 【解答】解：（1）由题意，2+=3，∴p=2， ∴抛物线E的方程为y2=4x；

（2）由题意可得，弦所在直线斜率存在，设弦所在直线方程为 y﹣1=k（x﹣1），代入抛物线的方程可得

ky2﹣4y﹣4﹣4k=0，由 y1+y2==2 可得，k=2， 故弦所在直线方程为2x﹣y﹣1=0．

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bc=a2﹣（b﹣c）2． （1）求角A的大小； （2）若a=2

，△ABC的面积S=2

，求b，c的值．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（1）由已知整理可得：c2+b2﹣a2=bc，利用余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．

（2）由三角形面积公式可求bc=8，结合余弦定理可求b+c=6，联立即可解得b，c的值．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）∵bc=a2﹣（b﹣c）2，整理可得：c2+b2﹣a2=bc，…2分 ∴cosA=，…4分 ∵A∈（0，π）， ∴A=

…6分

，及（1）可得：12=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，…8分

，可得：bc=8，…10分

（2）∵a=2

又∵S=bcsinA=2∴b+c=6， ∴解得：

，或

．…12分

20．各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N+，6Sn=an2+3an+2．

（1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn=

，求数列{bn}的前n项和Tn．

【考点】数列的求和；数列递推式．

6Sn﹣1=【分析】（1）由6Sn=an2+3an+2，可得n≥2时，

﹣1

+3an﹣1+2，相减可得：（an+an

）（an﹣an﹣1﹣3）=0，由an+an﹣1＞0，an﹣an﹣1=3，利用等差数列的通项公式即可

得出． （2）bn=出．

【解答】解：（1）由6Sn=an2+3an+2，可得n≥2时，6Sn﹣1=

+3an﹣1+2，

=

=

，利用“裂项求和方法”即可得

相减可得：6an=an2+3an+2﹣（

+3an﹣1+2），

整理为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）=0， ∵an+an﹣1＞0，an﹣an﹣1=3，

∴数列{an}是等差数列，公差为3，a1=1． ∴an=1+3（n﹣1）=3n﹣2． （2）bn=∴Tn=

21．已知函数f（x）=﹣x3﹣x2+2mx． （1）若m=3，n=1，求f（x）的极值；

（2）若n=﹣1，﹣2＜m＜0，f（x）在[1，4]上的最大值为间上的最小值．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）把m，n的值代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到导函数的零点，从而求得原函数的极值点，求出极值；

（2）把n=﹣1代入函数解析式，求出导函数，由函数的单调性求得f（x）在[1，4]上的最大值为f（4）=8m+上的最小值．

【解答】解：（1）当m=3，n=1时，f′（x）=﹣x2﹣x+6=﹣（x﹣2）（x+3），

当x∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣3，2）时，f′（x）＞0．

∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣3），（2，+∞）；单调增区间为（﹣3，2）． ∴f（x）的极大值为f（2）=

；极小值为f（﹣3）=

．

，f′（x）=x2﹣x+2m．

，

．求得m值，进一步求出函数在区间[1，4]

，求f（x）在该区

数

+

=列+…+

{bn}

=

的=

， 前

=

n．

项

和

（2）当n=﹣1，﹣2＜m＜0时，

令f′（x）=0，得，

f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减． 当﹣2＜m＜0时，有x1＜1＜x2＜4，

∴f（x）在[1，4]上的最小值为f（x2），又f（4）＞f（1）， ∴f（x）在[1，4]上的最大值为f（4）=8m+解得m=﹣1，x2=2，

故f（x）在[1，4]上的最小值为f（2）=

22．已知P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，F是椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q，满足

=7

．

．

．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，过左顶点A作斜率为k（k＞0）的直线l1，l2，直线l1交椭圆C于点D，交y轴于点B．l2与椭圆C的一个交点为E，求

的最小值．

【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由题意设椭圆C：

，由

=7

，求得Q的坐标，代入椭圆

C的方程可得3a2=4c2，结合隐含条件求得a2，则椭圆方程可求；

（2）设直线l1 的方程为y=k（x+2），联立直线方程与椭圆方程，求出D的横坐标，可设直线l2的方程y=kx，与椭圆方程联立，求出E的横坐标，结合l1∥l2，得

=

不等式求得最小值．

【解答】解：（1）由题意设椭圆C：

，且F（c，0），则由

=7

，知Q

=

，代入点的坐标，化简整理后利用基本

（）．

，化简得：3a2=4c2，

代入椭圆C的方程，又b2=a2﹣c2=1，∴a2=4． 从而椭圆C的标准方程为

；

（2）设直线l1 的方程为y=k（x+2）， 联立

，得（x+2）[4k2（x+2）+（x﹣2）]=0．

∴，

直线l2的方程可设为y=kx， 联立

，解得E点的横坐标

，

由l1∥l2，得

==

=．

当且仅当∴当k=时，

，即k=时取等号． 的最小值为

．

2017年3月7日