数理统计课堂练习

,f(x，θ)=1,0,0x1,1x2, 其他.其中θ是未知参数（0<θ<1）,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,…,xn中小于1的个数.求： （1） θ的矩估计；

（2） θ的最大似然估计. 解 (1) 由于

EXxf(x;)dxxdx(1-)xdx

0112133(1). 22233X，解得X， 22所以参数的矩估计为

令

(2) 似然函数为

3X. 2L()f(xi;)N(1)nN，

i1n取对数，得

lnL()Nln(nN)ln(1),

两边对求导，得

dlnL()NnN. d1dlnL()N0,得 ， 令

dn所以的最大似然估计为

N. n14. 设总体X的概率分布为 X P 0 1 2 3 θ2 2θ(1-θ) θ2 1-2θ 其中θ(0<θ<

1)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估2计值和极大似然估计值. 【解】

ˆ3x(1)E(X)34,令E(X)x得4 8xi又 x2i18ˆ所以θ的矩估计值83x1. 446i（2） 似然函数LP(x,)4i1(12)(12)4.

lnLln46ln2ln(1)4ln(1), dlnL6286282420,d112(1)(12)解628240

得 1,22713. 2由于

7131, 122ˆ713. 所以θ的极大似然估计值为 213.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为

2e2(x), x;f(x,θ)= 

0,x.其中θ(θ>0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估计

值.

【解】似然函数

2(xi)2nei1LL()0ni1nxi;i1,2,,n;其他.

lnLnln22(xi),xi;i1,2,,n,dlnL2n0知lnL(), dˆmin{x}时lnL(ˆ)maxlnL() 那么当由

1ini0ˆmin{x} 所以θ的极大似然估计量i1in(1)x,0x1;11.设总体X~f(x)=其中1

其他.0,X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.

【解】(1)

E(X)又

xf(x)dx(1)x1dx011, 2XE(X)故

1, 2ˆ2X1

1Xˆ2X1. 所以θ的矩估计量 1X(2) 似然函数

nn(1)xi 0xi1(i1,2,,n). LL()f(xi)i1i10其他n取对数

lnLnln(1)lnxii1n(0xi1;1in),

dlnLnlnxi0,d1i1ˆ1所以θ的极大似然估计量为nnn.

ilnXi15.随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，

求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) E(X)2,令E(X)X，则

ˆ2X且E(ˆ)2E(X)2E(X), ˆ2x20.61.2且ˆ2X是一个无偏估计. 所以θ的矩估计值为1(2) 似然函数Lf(xi,),i=1,2,…,8.

i1显然L=L(θ)↓(θ>0)，那么max{xi}时，L=L(θ)最大,

1i888所以θ的极大似然估计值ˆ=0.9.

因为E(ˆ)=E(max{xi})≠θ,所以ˆ=max{xi}不是θ的无偏计.

1i81i8ˆ =k6.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，E（X）=μ，D（X）=σ，2

2(Xi1n1i1Xi)2,

ˆ为σ2的无偏估计. 问k为何值时【解】令 YiXi1Xi,i=1,2,…,n-1,

则 E(Yi)E(Xi1)E(Xi)0,D(Yi)22,

2

ˆE[k(于是 E2Yi1n12i)]k(n1)EY1222(n1)k,

ˆ2)2,即22(n1)k2时, 那么当E(有 k1.

2(n1)8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下：

14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间.

【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,

x14.95,u1a2u0.9751.96,,

μ的置信度为0.95的置信区间为

xu1/2(14.950.11.96)(14.754,15.146).

n9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L？

【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为xu1/2, n于是置信区间长度为2u/2, n42(u/2)22u/2≤L,得n≥那么由 2Ln10.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）：

64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间.

【解】x76.6,s18.14,10.950.05,n20,

t1/()2n1)t0.9(71592.093,221/2(n1)20.975(19)32.8520,.025(19)

8.907(1) μ的置信度为0.95的置信区间

s18.14xt(n1)76.62.0931a/2(68.11,85.089)

n20(2)的置信度为0.95的置信区间

2

(n1)s2(n1)s2191922,18.14,18.142(190.33,702.01) 28.9071/2(n1)/2(n1)32.852