六年级研学教学设计2017

研 学

六年级下册教案

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2017年2月

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1、《魅力抛物线》

相关的教材内容： 教学形式：教师讲解,自主探索。 设计目的： 让学生初步认识抛物线，直观体会抛物线。 使学生体会到数学就在生活中以及数学的趣味性。 活动设计： 开场：同学们，今天这一节课将由我和石老师一起带大家走进数学大讲堂：魅力抛物线。 一、“愤怒的小鸟”游戏引出“抛物线” 1、〔出示图片：愤怒的小鸟图片〕 师：同学们知道是它是谁吗？〔愤怒的小鸟〕，它现在已经风行全球，它曾被《纽约时报》称为2010年“年度符号”。据《中国青年报》报道，在2011年全美州州长的聚会上，当总统奥巴马在台上充满激情地讲话时，南卡罗来纳州的女州长哈利却把注意力集中在这群小鸟上。瞧，她正拿着它的ipai在玩呢。 今天这些受到大家欢送的“小鸟”也来到了这里，谁会玩吗？谁愿意来试一试？〔请三个小朋友分别来玩一玩〕 2、 师：某某真厉害，一下子就救出了所有的小鸟，我们来看一下，这里的白色线是谁留下来的？〔小鸟〕 师：这白色的线就是小鸟刚刚飞过的痕迹，你能用手比划一下，小鸟刚刚是怎么飞行的吗？ 〔玩三次后，幻灯片出示三次小鸟的痕迹，用不同的颜色标记 在同一张幻灯片上〕 师：小鸟每次飞过的痕迹有什么特点？ 生：由下向上再下〔弯的〕 师：像这样的曲线，其实就是数学中充满魅力的抛物线。〔刚刚小鸟飞过的痕迹是抛物线的一部分，下面我们来看这一幅图，这就一条是较完整的抛物线。 师：从古至今，人类一直对抛物线有着迷恋。抛物线在公元前200年前被古希腊数学家阿波罗尼奥斯〔出示其画像〕发现并命名。 学习文档 仅供参考

3、在以后的数学学习中我们会遇到开口朝不同方向的抛物线，今天我们只来了解开口向下的抛物线，同学一起开看一下这条抛物线， 这里是抛物线最高点，我们称它为为抛物线的顶点，而这则是抛物线开口的大小。我们还会发现抛物线其实也是对称图形，谁能找到它的对称轴呢？〔过顶点的竖着的直线〕 二、“抛物线”的价值〔人类对抛物线轨迹的预测〕 师：《愤怒的小鸟》就是简单的抛物线运动，因为人们可以在游戏中感受抛物线的乐趣，所以它才这么样红火。 其实很早很早以前，人类的祖先在早期的狩猎中就开始利用抛物线，比方射箭，因为相比直线投射来说，抛物线投射通过对角度的调节，能够为攻击提供更多的灵活性和准确性。 师：为了射中目标，我们要预测抛物线的轨迹。抛物线的轨迹与投射力度和角度有关，我们一起来看看。 先只改变力度，同学们看，先用小力度来投射 ；接下我把弹弓拉长，加大力度，仔细观察抛物线的轨迹有什么变化？为了更好的比较，老师把刚刚的图片截下来了。通过观察我们知道：力度越大，抛物线轨迹的开口越大，顶点的位置越高。 只改变力度〔玩游戏示范〕——力度越大，弹簧拉的越远 力度：力度大，抛物线的开口越大，顶点的位置越高 角度一样时，第一用力小，让学生观察此时抛物线，〔顶点的位置，抛物线开口大小〕 第二次用力大，再让学生观察此时的顶点和抛物线开口大小 小结：只改变力度时，抛物线轨迹的开口越大，顶点的位置越高 师：如果我只改变角度，此时抛物线的轨迹又有什么变化呢？ 2〕只改变角度 角度：角度大，抛物线轨迹的开口越小，顶点的位置越高 〔同上〕 小结：抛物线的轨迹会因为力度和角度改变，它的轨迹也会发生变化，正因如此 三、“抛物线”在军事领域的应用 师：抛物线不仅在游戏中被人们应用，“抛物线”在军事上也发挥着其魅力。手学习文档 仅供参考

、狙击的子弹发射出去的过程是螺旋试前进，它们的原理就是抛物线原理。 同时在任何情况下的火炮攻击，我们都可以简单的认为它是一个抛物线的投射问题。火炮攻击我们考虑是命中率，而对于命中最大的影响,就是这个抛物线投射在你身上的范围有多大.当然不同的火炮由于炮口的高低角度不同,那么他的抛物线会有一定的变化 。 下面请看屏幕：这是两种地形对于抛物线的影响 A是正常形态平地攻击模式，抛物线按常规计算即可。 B是在反斜面攻击模式，这样增加了抛物线的角度以及火炮的射程 而接下来看的是各种地形条件下被攻击者和火炮的射击问题 A图是完美状态下的平地攻击,火炮和被攻击目标都处于平地，这样利用抛物线可以增加攻击的命中率. B图是被攻击目标在正斜面,火炮也在正斜面,此时抛物线比较平直，攻击的精准度非常高,特别是被攻击目标静止的情况下。 C图，被攻击目标在反斜面，火炮在正斜面，由于抛物线很平直，攻击的角度很小，射击难度很大。不利于攻击 D图，被攻击目标在正斜面，火炮在反斜面，抛物线角度高，命中率很高 E图，被攻击目标和火炮都在反斜面，角度合适的话很容易攻击 总结：抛物线在军事中充满着无限的魅力 课后反思：

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2、《神奇的三角形》

相关的教材内容：认识三角形 教学形式：谈话法，讲授法 设计目的： 让学生从“灵性”“ 神秘性”“稳定性”这三个方面了解三角形的神奇。激发学生的探索欲望，培养孩子钻研精神。 活动设计： 一、导入 师：欢送大家进入数学大讲堂，领略不一样的课堂！ 同学们看到这张图片联想到什么几何图形？ 生：三角形。 师：那你知道有关三角形的哪些知识？ 生：…… 二、新授 师：今天我们就来了解神奇的三角形〔课件展示〕 早在19世纪中叶，德国著名数学家卡尔·佛里德尼克·高斯就建议把森林布置成一个个硕大的三角形，以吸引外星人来与地球相会、合作。这位数学家为何荐用三角形作为地球人与外星人的联系标志呢？〔课件展示〕 原来三角形在宇宙理论上具有三角形的“交际功能”“把戏百翻”的数学定理和哲学道理。其他星球的天文学家看到地球上的“△”形符号会很快明白：地球人具有高智商的文明——不但会进行先进的耕作，懂得勾股定理，而且希望同外星人联系、合作。〔课件展示〕 师：正因为三角形有这种灵性，所以在国际上，把“△”视为警告性标志，然而，捷克人认为红三角形是有毒的标记；土耳其人却把绿三角表示为“免费样品”；在我国瓷器商品中，“△”形符号为三等品。〔课件展示〕 师：三角形不但具有灵性，还具有神秘性，我们主要从两个方面来介绍：自然界中的神秘三角〔课件展示〕 学习文档 仅供参考

在自然界中，三角形更有其非凡神奇的魅力。我国有美丽富饶的珠三角地区、长江三角区；国外有大西洋百慕大、太平洋魔海龙；火星上有金字塔物体等，都充满着无穷的“大三角”奥秘。特别是百慕大三角是指北起百慕大群岛，南到波多黎各，西迈阿密，一片三角形海域，面积约一百多万平方公里。由于这一片海面失踪事件叠起，世人便称它为“地球的黑洞”、“魔鬼三角”。 百慕大被誉为“死神的居住地”。 早在1840年，一艘名叫“洛查理”的法国货船航行到百慕大海面时，人们就发现船上食物新鲜如初，货物整齐无损，而船员却全部神秘地失踪了。 在百慕大出现过这样的怪事，一艘前苏联潜水艇一分钟前在百慕大海域水下航行，可一分钟后浮上水面时竟在印度洋上。在几乎跨越半个地球的航行中，潜艇中九十三名船员全部都骤然衰老了五至二十年。 人体中的神秘三角 “致命三角”又鼻根与口角两侧连线构成，该区域血管丰富，口、鼻、眼等感染都能扩散到这里，而这里有不少血管通向颅内，一旦损伤或感染，就会把细菌或毒素传入血液回流到脑部，引起头痛、脑膜炎甚至死亡。“治疗手麻”的三角区，“平行不举”按揉的肩三角，“调血止痒“按的膝三角。 稳固性:美国发明家富勒称三角形是“宇宙本源的未来形体”。他上幼儿园时，眼睛远视，又是斗鸡眼。这位发明家回忆道：“老师给了我们一些牙签，搭了长方形建筑。我视力不好，看不到结构的形态细节，只好又推又拉……偶尔发现三角形可以搭建一种最稳固的房舍。老师们看后，吃惊得很。”假设干年后，富勒根据三角形是自然界最稳固形态的信念，发展了短程圆顶，现在这种结构已成了他的商标。用富勒的短程学所造的美国宏伟建筑，是1967年为世界博览会而建的美国馆。那是一座有无数三角多体形支架拼合而成的大圆球，直径76米，高达10层楼房。 师：现在老师让你们直观的感受一下三角形的稳定性。〔看视频〕 学习文档 仅供参考

看完后你们有什么感受？ 在生活中有什么物体利用了三角形的稳定性？ 欣赏我们身边的三角形。〔课件展示〕 三．小结 神圣几何学是宇宙赋予人类的智慧，而神圣几何学的源码是神秘而灵性的三角形。 课后反思与建议：

3、《河内塔问题》

教学形式：讲授法、实践活动式、归纳式 设计目的： 河内塔问题作为数学活动课出现在小学数学课本教材里，其实是教材的延伸和拓展，让学生多了解自然界、了解科学、了解数学与生活的联系，培养学生勇于探索的精神，和猜想——验证——求实的科学态度。让学生经历发现、验证、探索等学习过程，激发学生探索河内塔问题的兴趣。 活动设计： 开场语：欢送大家来到数学大讲堂！遨游数学王国，探寻数学秘密！ 一、故事引入 河内塔的起源源自古印度神庙中的一个传说。传说中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着个金环，最大的一个在底下，其余的一个比一个小，依次叠上去。庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面。相传神同时发了咒语，当所有的金环全部移完学习文档 仅供参考

时，就是世界末日到来的时候。这就是著名的河内塔问题。 那么，众僧们要移动多少次呢？ 不妨我们假设一下：(1)如果①号棒上只有1个金片。把金片移到③号棒上只需要移1次； 〔板书：金片的片数 移动的次数〕 1 1 (2)如果①号棒上有2个金片，最少移动几次？应该怎样移？同桌商量，怎样移？找生边演示边说明。〔先把小金片移到②号棒上，再把大金片移到③号棒上，再把小金片移到③号棒上，总共需要移3次〕板书：2 3 (3)如果①号棒上有3个金片。应该怎样移？移动几次？今天我们就一起来研究这个“河内塔问题” 板书：河内塔问题 二、 游戏探究 出示“河内塔问题” 1、河内有①号、②号、③号三个柱子，你能借助②号柱把①号柱上的珠子移到③号柱而不改变珠子的上下顺序吗？最少移动多少次？ 移动规则如下： 〔1〕每次只能移动一个珠子； 〔2〕大珠子不能放到小珠子上面。 2、让生读题，理解题意。 3、小组讨论：大、中、小三个珠子如何移？最少要移动多少次？ 4、小组合作开始做“河内塔”游戏 5、各小组展示成果。找出用时最短且移动次数最少的组为优胜组。 6、教师展示移动过程，并用图解说明。 〔1〕河内塔问题，三个珠子的移动图解：三个珠子的移动只有两种移动方法：如果第一次移动时，把最小红珠子放到③号杆上是优选法。如下： 〔一〕原题图： 〔二〕移动第一次： 学习文档 仅供参考

〔三〕移动第二次： 〔四〕移动第三次： 〔五〕移动第四次： 〔六〕移动第五次： 〔七〕移动第六次： 〔八〕移动第七次： 7、延伸：如果①号杆上有4个珠子呢？请大家再试试怎样移动次数最少？ 8、小组再次合作，哪个组先完成且移动次数最少的为优胜组。 9、河内塔问题，四个珠子的移动图解： 四个珠子：开始第一个珠子要放在②号杆上： 〔一〕原题图： 〔二〕第一次移动： 〔三〕第二次移动： 〔四〕第三次移动： 〔五〕第四次移动： 〔六〕第五次移动： 学习文档 仅供参考

〔七〕第六次移动： 〔八〕第七次移动： 〔九〕第八次移动： 〔十〕第九次移动： 〔十一〕第十次移动： 〔十二〕第十一次移动： 〔十三〕第十二次移动： 〔十四〕第十三次移动： 〔十五〕第十四次移动： 〔十六〕第十五次移动： 三、探究规律： 师生共同总结河内塔问题移动次数最少的规律 珠子的个数∕个 最少移动的次数∕次 1个珠子 1 2 3 3 3＋1＋3＝7 学习文档 仅供参考

4 7＋1＋7＝15 5 15＋1＋15＝31 6 31＋1＋31＝63 ┋ ┋ 这时引导学生观察由移动次数组成的数列：1，3，7，15，31,63……猜想和探究其中隐藏的规律。学生发现数列1，3，7，15，31,63……的规律是：后一项总是比前一项的2倍多1。 如果有n个珠子，一共需要〔四、提炼结论 那么，个金环，众僧们要移动多少次呢？师引导生根据上述规律进行计算。算一会儿后，师公布答案：众僧要移动次。让生试读此数，感受大数的读法。 假设僧侣们每秒钟移动一次金片，夜以继日废寝忘食地照这样干下去，需要干多少年？可以要求学生只列出算式。师提示：一年有多少秒？〔 60×60×24×365〕秒，需要多少年？÷ (60×60×24×365)]年。最后，老师宣布答案：大约需要5846亿年！根据科学家的研究，太阳的寿命最多还有100～150亿年，5846亿年远远大于这个数，看来，众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动。我们也不必担忧世界末日会到来了。可见印度传说仅仅是一个传说而已。 五、拓展应用 将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段；将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段；依此类推，将一根绳子对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成( 六、结束寄语 汉诺塔问题在数学界有很高的研究价值，而且至今还在被一些数学家们所研究，也是我们所喜欢玩的一种益智游戏，它可以帮助开发智力，激发我们的思维。 课后反思与建议：

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2n2n-1〕次。 +1)段.

4、《奇妙的数字宝塔》

教学形式：教师讲解、欣赏,学生参与. 设计目的： 会合理的使用计算器进行计算,通过计算发现规律,并利用规律解决问题.培养思维的灵活性，与他人合作的态度，拓展数学知识面，培养了学生的自主探究精神，同时也激发了学生学习数学的兴趣。 活动设计： 一、引入 师：数学大讲堂不一样的课堂。 同学们我们先来听首歌《金铃塔》。“金铃塔，塔金铃，一层宝塔六只角，六只角上挂金玲…金铃宝塔一层又一层。”这是文学艺术园地里的宝塔。 再来看看这组图片。在祖国各地，形体各异、姿态万千的宝塔多得难以胜计，著名的就有上海的龙华塔、西安的大〔小〕雁塔、云南大丽的“三塔”、杭州的雷锋塔、苏州的虎丘塔…它们是我国历代劳动人民智慧和勤劳的结晶，这些建筑都是是我国古代文明的瑰宝。 数学里面也存在着奇妙的数字宝塔，想不想看一看？出示杨辉三角 今天的大讲堂老师要带领大家去探寻奇妙的数字宝塔中的秘密。首先让我们一起来观察观察欣赏欣赏这个有名的杨辉三角吧。 二|、杨辉三角 了解杨辉三角的渊源 师：其实早在我国古代数学世界里还出现了数学宝塔：杨辉三角。杨辉是南宋末年数学家，这个数表是杨辉收录在他的著作详解九章算法里才流传下来的。据他的著作记载，这个数表早在11世纪由北宋数学家贾宪所发现。因此，后人把杨辉三角又称为贾宪三角；在欧洲，这个数表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角，帕斯卡在1653年开始应用这个三角形数表，发表则在1665年。这就是说，就发现和应用这个三角形而言，贾宪比帕斯卡早600年左右，杨辉比帕斯卡早400多年。由此可见，我国古代数学的成就是非常值得我们自豪的。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处学习文档 仅供参考

于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光芒灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。说到此，同学们你们一定开始为我们中国而骄傲的吧？那么杨辉三角到底有什么奇妙之处呢？ 探究杨辉三角。〔出示课件，教师讲解〕 师：下面就让我们来领略下杨辉三角的神秘之处：两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。奇妙、有序、对称。 了解其它的数字宝塔〔出示课件，讲解〕 当然在数学园地里，还有许多宝塔。建筑它们的不是砖石木料，而是一些数字和数学符号。欣赏、研究这类宝塔，倒也是一件赏心悦目的趣事。 〔1〕“n位1的平方宝塔” 这里左边的一座宝塔，是由九个乘式筑起来的，每个因数全是由假设干个1组成的；同一层的两个因数有同样多的1，每层的因数都比它上边一层的因数多一个1。这座宝塔给人一种稳重庄严的平衡美。 右边这座宝塔的构造特点是比较明显的，也是饶有趣味的。不管你横着、竖着还是斜着去欣赏去分析，都可以感受到一种美的愉悦。 看到这里，细心的小读者可能发现了这两座宝塔之间的关系。如果你没有注意到的话，请把左边宝塔的乘积计算出来，一定会恍然大悟：这两个宝塔的每一层都可以用等号连接，合并成一个更雄伟的宝塔——“n位1的平方宝塔”。 (2 )用数筑的宝塔确实有动人的魅力，因此引起了许多数学家的重视。在国外，法国趣味数学大师路加就收集和研究了大量的例子.下面列举一些例子，供大家鉴赏。 1×8+1=9 12×8+2=98 123×8+3=987 1234×8+4=9876 12345×8+5=98765 123456×8+6=9876 1234567×8+7=98763 学习文档 仅供参考

12345678×8+8=987632 你发现了吗？等式左边的加数很奇妙：既是左边乘式中被乘数的位数，也是等式右边答案的位数。如果要你接着再写一组,你会吗?试试看. 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 12345×9+6=111111 123456×9+7=1111111 1234567×9+8=11111111 12345678×9+9=111111111 1234567×9+10=1111111111 请你仔细看看 ，说一说你有什么发现？可发现等式左边的加数，刚好是左边乘式中两个因数位数之和，也是等式右边1的个数。 0×9+8=8 9×9+7=88 98×9+6=888 987×9+5=8888 9876×9+4=88888 98765×9+3=888888 9876×9+2=8888888 98763×9+1=88888888 987632×9+0=888888888 上边这个数宝塔，与前面两个十分相似。它的每一层数据是怎么变化的？请你找出它的规律，领略一下它的美妙之处，好么？ 前面的数宝塔都是上尖下大的，颇似常见的“塔”。下边的这座数宝塔，倒是座数据排列特点鲜明的难得一见的方形宝塔了。 1234567× 9=1111111101 1234567×18=2222222202 学习文档 仅供参考

1234567×27=3333333303 1234567×36=4444444404 1234567×45=5555555505 1234567×=6666666606 1234567×63=7777777707 1234567×72=8888888808 1234567×81=9999999909 如果把这个方形宝塔的被乘数中的8去掉，成“12345679”，是为“缺8数”，倒是个构筑方形宝塔的“能手”呢。请看： 12345679 ×9=111111111 12345679×18=222222222 12345679×27=333333333 12345679×36=444444444 12345679×45=555555555 12345679×=666666666 12345679×63=777777777 12345679×72=888888888 12345679×81=999999999 此塔特点与上边的宝塔极其相似乃尔，倒似一双孪生姐妹，一对并蒂莲。 12345679×10=123456790 12345679×19=234567901 12345679×28=345679012 12345679×37=456790123 12345679×46=567901234 12345679×55=679012345 12345679×=790123456 12345679×73=901234567 12345679×82=1012345678 如果把此塔的最后一层乘积的第一个数字，加到个位上去，于是可见：从上至下学习文档 仅供参考

的九个乘积，全是由“1、2、3、4、5、6、7、9、0”组成的，不过起始的数字不同〔循环一周〕罢了。 以上数宝塔都只有九层，这是因为受到十进制计数法的〔逢十进位〕，不可能再筑下去了。然而，更多的数宝塔是可以无地筑下去的。 例如用“缺8数”构筑的另一座方形宝塔： 12345679× 3=037037037 12345679× 6=074074074 12345679×9=111111111 12345679×12=148148148 12345679×15=185185185 12345679×18=222222222 12345679×21=259259259 12345679×24=296296296 12345679×27=333333333 12345679×30=370370370 12345679×33=407407407 12345679×36=444444444 12345679×39=481481481 12345679×42=518518518 …… …… 容易看到，这个方形宝塔中的乘数都是3的倍数，右边的乘积规律十分显著，都是1个三位数重复写三次得到的十二位数〔即是三位数的三次复写数〕；当乘数又是9的倍数时，乘积可以看作是由同一数字组成的三位数的三次复写数。这样的规律一直保持到宝塔的第二十七层；之后，规律有所变化。例如： 第二十八层 12345679× 84=1037037036 第三十四层 12345679×102=1259259258 第一○○层 12345679×300=3703703700 第一○八层 12345679×324=3999999996 小结： 学习文档 仅供参考

短短的几十分钟里，我们一起欣赏了形体各异、千姿百态的数字宝塔，数字宝塔中不仅是乘法关系，加法也可以来插上一手，有些宝塔可以一直造下去，让它直插云霄，无边无际，高于天齐。同学们，在未来的学习生活钟，你是不是也能发现一个这样神奇的数字宝塔呢，老师期待着。。。。。。 课后反思:

5、《角谷静夫猜想》

教学形式：讲述 设计目的： 1.了解什么是“角谷静夫猜想”。 2.知道数学家们论证“角谷静夫猜想”的方法。 3.激发孩子们的探索欲望。 一.介绍导入 师：同学们看到这个课题，你想知道什么？ 生：什么是角谷猜想？ 这个问题大约是在二十世纪五十年代被提出来的。在西方它常被称为西拉古斯猜想，因为据说这个问题首先是在美国的西拉古斯大学被研究的；而在东方，这个问题由将它带到日本的日本数学家角谷的名字命名，被称作角谷猜想。今天在数学文献里，大家就简单地把它称作“3x+1问题”。 生：到底是一个什么问题？ 任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数， 我们就把它乘3再加上1。依次循环下去就会得到一组数列。 举个例子，最开始的数取7，我们得到下面的序列： 学习文档 仅供参考

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1 其中会有什么奥秘呢？ 二 实验发现问题 师：同学们自由选一个数，按以上要求做一做，你发现了什么？ 请学们来讲一讲自己得来的数列。〔指名让五个孩子来说〕 师：从刚刚同学们的讲解中，你发现了什么？ 生：每一组数列最后都得“1”。 师：到底是不是总会得到1？”这就是我们今天所说的角谷猜想。 角谷静夫在谈到这个猜想的历史时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有 人都着力于解决这个问题，毫无结果。同样的事情好象也在芝加哥大 学发生了。有人猜想，这个问题是苏联克格勃的阴谋，目的是要阻碍 美国数学的发展。”不过我对克格勃有如此远大的数学眼光表示疑心。 这种形式如此简单，解决起来却又如此困难的问题，实在是可遇而不 可求。 数学家们已经发表了不少篇严肃的关于3x+1问题的数论论文，对这个 问题进行了各方面的探讨，在后面我会对这些进展作一些介绍。可是 这个问题的本身始终没有被解决， 的“小题”。这样的“小题”理解起来非常容易，却让无数数学家大 跌眼镜，怎么冥思苦想也不得其解。3x+1问题大概就是其中最著名而 又最简单的一个。它简单到大概任何一个会除2和会乘3的人〔比方说， 没文化但是经常买菜的老奶奶〕都能理解它的意思，但是困难得让数 学家至今也没有找到好好对付它的方法。 在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数。如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数。 比方说我们先取5，首先我们得到3*5+1=16，然后是16/2=8，接下去是4，2和1，由1我们又得到4，于是我们就陷在4→2→1这个循环中了。 再举个例子，最开始的数取7，我们得到下面的序列： 学习文档 仅供参考

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1 这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在4→2→1这个循环中。 随便取一个其他的自然数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你 总会掉到4→2→1这个循环中，或者说，你总会得到1。已经有人对所有小于的自然数进行验算，无一例外。 那么，是否对于所有的自然数都是如此呢？ 这看起来是个多么简单的问题啊！ 厄尔多斯答复说：“数学还没有准备好来答复这样的问题。” 让我们先来定义几个概念，然后再来介绍这些结论。 从一个自然数开始，用上面这个变换，我们可以计算出一串自然数的 序列。为了形象起见，我们把这串数列叫做以最初用来开始计算的那 个自然数命名的“航班”。比方说，第6次航班就是 6→3→10→5→16→8→4→2→1 我们把一个航班里的最大数字，叫做这个航班的“最大飞行高度”。 比方说，第6次航班的最大飞行高度就是16。我们把航班在数字1“着 陆”之前的数字个数〔最初的数字包含在内，但1不包含在内〕，叫 做这个航班的“航程”〔特别定义第1次航班的航程为0〕。第6次航 班的航程就是8。如果真有自然数在此变换下永远达不到1，那么这个 航班的航程就是无穷了。 接下去的概念稍微有点复杂。我们把从起点开始〔但不包括起点〕连 续的不小于起点的数字的个数，叫作“保持高度航程”。举一个例子 来说明这个概念比较方便：第11次航班是 11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1 我们看到从起点开始，34，17，52，26，13，40，20都不小于起点11， 共有7个数字，所以第11次航班的保持高度航程为7。后面的航程中虽 然还有数字16大于起始点11，但是它不被算在保持高度航程里了。一 个最简单的推论就是，偶数次航班的保持高度航程总是0，因为开始就 除以2，跌到较低的高度去了。 学习文档 仅供参考

为什么我们对一个航班的保持高度航程感兴趣？因为如果所有航班的 保持高度航程都是有限的话，3x+1问题就成立了。让我们假设已知所 有航班的保持高度航程都是有限的，用数学归纳法来证明3x+1问题， 也就是所有的航班都在1上“着陆”。我们已经知道第1到第5航班都 是在1上着陆的，现在假设对于所有小于n的数字k，第k次航班都在1 上着陆，我们来看看第n次航班的情况：由于按假设它的保持高度航 程是有限的，所以它迟早会降落在一个比n小的数字上——于是按归 纳假设它就会降落在1上！ 我们可以对开始的30班航班列出一个相关数据表来： 航班 航程 保持高度航程 最大飞行高度 1 0 0 1 2 1 0 2 3 7 5 16 4 2 0 4 5 5 2 16 6 8 0 16 7 16 10 52 8 3 0 8 9 19 2 52 10 6 0 16 11 14 7 52 12 9 0 16 13 9 2 40 14 17 0 52 15 17 10 160 16 4 0 16 17 12 2 52 18 20 0 52 19 20 5 88 学习文档 仅供参考

20 7 0 20 21 7 2 22 15 0 52 23 15 7 160 24 10 0 24 25 23 2 88 26 10 0 40 27 111 95 9232 28 18 0 52 29 18 2 88 30 18 0 160 下面要说说几个记录。在上面我们已经说过，目前3x+1问题已经被检验到，都没有发现反例。 三、理论结果 只要稍微动一下脑筋，我们就知道3x+1问题和下面几个命题都是等价 的： 1)所有的航班的航程都有限； 2)所有的航班的保持高度航程都有限； 3)所有的航班中的偶变换的次数都有限； 4)所有的航班中的奇变换的次数都有限； 5)所有的航班的保持高度航程中偶变换的次数都有限； 5)所有的航班的保持高度航程中奇变换的次数都有限。 就算3x+1问题终于被解决了，看看所有这些变种，也够数学家们自娱自乐上几百年的了。 教学反思： 学习文档 仅供参考

6、《神奇的数字黑洞》

课题：神奇的数字黑洞 设计者：五年级 相关的教材内容：多位数的四则运算 教学形式：谈话法，讲授法 设计目的： 适用年级：五年级 讲授者：周洲 “数字黑洞”作为数学游戏课出现在小学数学课本教材里，其实是教材的延伸和拓展，让学生多了解自然界、了解科学、了解数学与生活的联系，培养学生勇于探索的精神，和猜想——验证——求实的科学态度。 让学生经历发现、验证、探索数学黑洞等学习过程，体验并感受数字黑洞的魅力；认识各种数字黑洞，激发学生探索数学黑洞的兴趣。 活动设计： 课前播放《黑洞的形成》视频。 开场语：欢送大家来到数学大讲堂！遨游数学王国，探寻数学秘密！ 一、情景创设，体验魔术 师：今天周老师给大家带来了一个与数学有关的魔术，大家想参与吗？〔想〕这个魔术是魔术中最难的，叫做“读心术”！接下来需要大家和周老师默契配合，做到耳到、眼到、心到，我才能施展“读心术”。大家准备好了吗？ 师：请同桌两人为一个学习小组，每组想好一个3的倍数，知道什么样的数是3的倍数吗？〔教师根据学生答复解释〕〔课件出示0之外的3的倍数。〕3的倍数有无数个，请每两人的学习小组从中选一个3的倍数，不要告诉周老师，也不要告诉其他学习小组，将其写在本子上，写完了请举手示意。一会儿你们用想的那个3的倍数照屏幕上的方法进行计算，计算后不要告诉周老师和其他学习小组，举手示意，周老师就能用读心术猜出你最后的结果是多少。 课件出示规则： ①先想一个3的倍数〔0除外〕； 学习文档 仅供参考

②把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数; ③再把新数的每一个数位上的数字再立方、求和。 ④不断重复步骤③的做法。 〔课件出示：用“21”举例怎样求立方和，注意正确使用“=”〕 师：明白规则了吗？等下我要用“读心术”说出你们计算较快的一组孩子的最后结果。为了计算方便，我将0~9的立方结果展现在屏幕上。好，现在分组计算开始。 〔课件出示：规则和0至9的立方结果〕学生按规则计算。 老师请算得较快的一组中选一个孩子上台，老师握着孩子的手，看着这个孩子的眼晴，在一张纸片上写出猜的结果，倒扣在讲台上。 请算得较快的那位学生说出刚刚想的那个3的倍数，然后一起在黑板上演算，发现算到153之后，就一直重复着相同的结果153。 师：算出的结果是153，下面是见证奇迹的时刻了，老师要请这个孩子来揭晓老师写的数字。〔153〕 二、形成猜想、揭秘魔术 1、形成猜想 师：魔术最精彩的环节便是魔术揭秘了。谁能大胆猜猜，我的魔术是怎么变的？ 生：所有3的倍数这样计算后都是153。 2、精心验证 师：怎样能知道这个孩子的猜想对不对？ 换不同的3的倍数试试〔课件“21”的例子，投影学生的例子〕，不同的3的倍数经过这样的运算结果都会等于153。 3、揭示主题 师：不同的3的倍数，只要经过这样的计算，结果一定有一个数153在等着它。最后一定会掉到这里来，不管3的倍数怎么换，谁也逃不掉。它让周老师想到了宇宙中的一个天体——黑洞。〔课件：黑洞图片〕 课前我们展现了一段有关黑洞的知识介绍。黑洞有很大的能量，什么东西都能吸进去，连光也会被吸进去。刚刚我们计算得出的153就像黑洞一样，在数学上153被称为数字黑洞。 学习文档 仅供参考

板书课题：神奇的数字黑洞 4、数字黑洞153的性质 师：奇妙的是，数字黑洞153具有一些有趣的性质。153是1~17连续自然数的和，即：1＋2＋3＋……＋17＝153。 课件出示： 153 = 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17 师：153的魔力还远远不止这些。它可用另一种重要方式来表示：153=1＋〔1×2〕＋〔1×2 ×3〕＋〔1×2× 3× 4〕＋〔1×2×3 ×4×5〕。现代数学家会更简练地写出这一等式：153=1！+2！+3！+4！+5！如果一个数后面跟着一个感慨号，你就可以得到从1到该数本身所有整数的乘积，这种运算被称作求阶乘。 课件出示： 153 = 1＋〔1×2〕＋〔1×2 ×3〕＋〔1×2× 3× 4〕＋〔1×2×3 ×4×5〕 阶乘 153 = 1！＋2！＋3！＋4！＋5！ 三、拓展研究 1、师：数字黑洞除153外，还有很多。在本册数学书第31页就有另一个数字黑洞的介绍。〔课件出示第31页“数字黑洞6174”介绍。〕 2、课件介绍同类的数字黑洞——卡普雷卡尔黑洞〔重排求差黑洞〕： 两位数有唯一的黑洞数9， 三位数有唯一的黑洞数495， 四位数有唯一的黑洞数6174， 五位数有一组数字，所有的其他数字最后都要掉入这组数字里面，再也出不去。这组数是：61974-82962-75933-639， 再高位的数字也基本上是一组或几组数字的黑洞。 师：重排求差黑洞是印度数学家卡普雷卡尔发现，因此用其名命名。数字黑洞以人物名对数字黑洞命名的还有很多，如西西弗斯串〔数字黑洞123 〕 3、其他类数字黑洞 课件：西西弗斯串〔数字黑洞123 〕 4、师：数学是一门艺术，是一门美妙的学科，数学是美丽的，所以有人说：〔课件出示〕 学习文档 仅供参考

数学是上帝用来书写宇宙的文字。——伽利略 5、小结 7、 《奇妙的数字宝塔》

相关的教材内容：多位数的四则运算 教学形式：讲授法，自主探索 设计目的： “数字宝塔”作为数学游戏课出现在小学数学课本教材里，其实是教材的延伸和拓展，让学生多了解数学与生活的联系，感受数学的奇妙，养成积极参与学习活动的好习惯，培养学生勇于探索的精神，和猜想——验证——求实的科学态度。 让学生经历发现、验证、探索数字宝塔等学习过程，体验并感受数字宝塔的魅力；认识各种数字宝塔，激发学生探索数字宝塔的兴趣。 活动设计： 一、创设情境，激趣导入。 通过谈话导入：同学们，知道吗？数学王国里充满了奥秘与神奇！传说数学王国里有一座山，山里有一座宝藏，等着人们去挖掘。不过，要想去挖掘宝藏，可得闯过四道关卡。每道关卡都有一组有趣的算式，如果你能找出算式中的规律，就表示你闯关成功！连闯四关，就有时机挖到宝藏。今天淘气和笑笑想去闯一闯，你们愿意与他们同行吗？那我们就一起出发吧！ 二、探索交流，发现规律。 1、出示杨辉三角 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ...... 经常见过这种“数字宝塔”，最明显的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成学习文档 仅供参考

的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。殊不知，它就是我们经常听到的“杨辉三角”。 共同探讨特征、规律 最明显的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。 “杨辉三角”有着多种规律： 奇妙、有序、对称 2、归纳简介 杨辉是南宋末年数学家，这个数表是杨辉收录在他的著作《详解九章算法》里才流传下来的。据他的著作记载，这个数表早在11世纪由北宋数学家贾宪所发现。因此，后人把“杨辉三角”又称为“贾宪三角”；在欧洲，这个数表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的〔Blaise Pascal，1623年～1662年〕，他们把这个表叫做“帕斯卡三角”，帕斯卡在1653年开始应用这个三角形数表，发表则在1665年。这就是说，就发现和应用这个三角形而言, 贾宪比帕斯卡早600年左右，杨辉比帕斯卡早400多年。由此可见，我国古代数学的成就是非常值得我们自豪的。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光芒灿烂的篇章，而“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页。 “数字宝塔”形体各异、千姿百态...... “数字宝塔”中不仅是“乘法”关系，“加法”也可以来插上一手，有些“宝塔”可以一直造下去，让它直插云霄，无边无际，高与天齐...... 3、“乘法”中的数字宝塔 1×1=1 11×11=121 111×111=12321 〔1〕仔细观察这三道算式的答案的规律，它们与算式的两个因数之间又有什么关系。 小组讨论，交流汇报。反馈讨论的结果时，重点是让学生说一说写出结果的依据是什么，教师结合算式说明。 学习文档 仅供参考

教师总结规律：通过观察积与乘数数中1的个数发现每一个乘数中数字1的个数有几个，积的排列次序就从1排到几，再倒回到1，所以每个积就像一座宝塔似的。 〔2〕引导学生根据刚刚发现的规律直接说出得数：1111×1111=？ 〔3〕请学生继续写出几个这样的算式。 〔4〕依据规律直接填得数。 1111×1111=1234321 11111×11111=1234321 学生自主探索： 3 × 7 = 21 33 × 67 = 2211 333 × 667 = 222111 3333 × 6667 = 22221111 33333 × 66667 = 2222211111 ……. 4、“加法”中的数字宝塔 3 ＋ 7 = 10 33 ＋ 67 = 100 333 ＋ 667 = 1000 3333 ＋ 6667 = 10000 33333 ＋ 66667 = 100000 …… 1 × 9 + 2 = 11 12 × 9 + 3 = 111 123 × 9 + 4 = 1111 1234 × 9 + 5 = 11111 12345 × 9 + 6 = 111111 学习文档 仅供参考

…… 三、归纳总结： 8、《黄金分割》

相关的教材内容：教学完比例之后 教学形式：教师讲解、欣赏 设计目的： 学生在学完比、比例之后，引入黄金分割的大讲堂，进一步加深了比照和比例的认识，熟练了比和比例的计算。学生通过经历动手操作，培养了学生的自主探究精神，同时也激发了学生学习数学的兴趣。 黄金分割在建筑、艺术、人体、医学等方面的实例，让学生进一步体会数学与自然及人类社会的密切关系，进一步丰富学生的数学活动经验，促进学生观察、分析、归纳、概括的能力和审美意识的发展。有意识引导学生从文化角度把握“黄金分割”这一数学瑰宝，丰富了学生对数学发展的整体认识，注重表达数学的文化价值，让学生感受到数学与生活的密切联系，对后续课程的学习有着激励作用。

9、《斐波那契数列》

相关的教材内容： 教学形式：教师讲解,小组合作，自主探索。 设计目的： 1、使学生认识“斐波那契数列”及其部分特性。 2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力，形成一定的数感，培养良好的思维品质。 3、在知识结构不断拓展、能力不断提升的过程中，感悟数学文化的广袤和久远，培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。 学习文档 仅供参考

活动设计： 一、导入 师：数学大讲堂,非同一般的数学课堂. 今天的数学大课堂要从一个故事讲起:据说很久以前，有个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后，他便成为一个举世闻名的数学家。这一年到底发生了什么呢？他用一道数学题清楚的告诉了我们，请看大屏幕： 假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 二、初涉规律，引入新课,提出问题 1、请学生读题，分析、理解题意。 齐读，读懂了吗？有人能解释一下这个问题吗？ 重点理解：①一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着生，无死亡； ②小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。 不明白，没有关系，俗话说：书读百遍，其意自现，我们再读一遍。 〔2〕看来这个问题有点难，遇到难题怎么办？ 对啊，遇到难题我们也不能放弃，不能绕道，当然也不能硬拼。遇到难题老师就想起了一个人，他说过一句话对我们解决难题很有帮助！谁呢？ 老子，一个大思想家，一个大智者。他说过一句这样的话！ 天下难事必做于易！〔板书〕知道这句话得意思吗？ 对，就像你理解的这样，从容易的地方入手！ 2、合作探究 〔1〕那对这个问题，同学们认为，是地10,11,12个月容易一些呢？还是地1,2,3，4，5，6个月容易研究一些呢？化繁为简---发现规律----解决问题。这是我们数学中解决问题的一种重要的策略和方法。 〔2〕那我们就从1 ，2 ，3 ，4 ，5，6个月开始，小组合作研究。你可以用文字描述每个月的兔子的状态，也可以画图，列表描述，也可以用字母来表示，也可以用数字等等都可以。然后解决这个问题！ 学习文档 仅供参考

〔3〕我们一起来看看大家的研究成果！ 〔4〕我们一起来研究一下这个兔子的变化状况！用课件展示每个月兔子的状况！并请同学们解释每对兔子的来历！ 总结规律; 本月兔子的总数= 本月小兔的对数+本月大兔的对数 上上个月的兔子总数+上个月的兔子总数 提问:七月：不告诉我们小兔和大兔的对数，你能很快地说出来兔子的总对数？ 3.引导发现规律，完成剩下月份的推导 师：我们一起回忆刚刚的过程。将这种结果以表格形式列出： 〔课件出示〕 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 144 4.请全班一起汇报表中数据。 12个月以后会有144对兔子。这就是历史上著名的兔子数列。 而我们刚刚故事的主人公叫斐波那契,后来这个数列就已他的名字命名为“斐波那契数列”，什么样的数列叫“斐波那契兔子数列”？ 假设一个数列，首两项等于 1，而从第三项起，每一项是之前两项之和，而这个问题正是斐波那契发现的,所以人们以他的名字命名，也可以叫做“斐波那契兔子数列”，数列的中的数字就叫做斐波那契数. 三、介入生活，拓展延伸 〔课件展示图片，〕 你知道吗？ 斐波那契数列在它诞生的近800年间， 在自然界里很容易看到斐波那契神秘的身影。尤其是植物似乎对斐波纳契数着了迷。 1，斐波那契数：花瓣 1片花瓣的马蹄莲，2片花瓣的鸭跖草，兰花的花瓣是3枚，苹果花瓣是5枚；格桑花的花瓣是8枚，雏菊有的是21瓣，还有的是34瓣、55枚或枚，其它数目的花瓣的花则很少。而这些花瓣数目正好是“斐波那契数列”当中的“斐波那契数”， 斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。 学习文档 仅供参考

这究竟是一种巧合，还是存在这某种必然？这些都有待于我们今后去思考、去探索…… 3 海螺中的奥秘 师：瞧！在自然界，有人发现：海螺中的螺纹的半径。就是一个“斐波那契数列。 4大树的分叉 树木的生长，也跟他有着密切的联系。由于新生的枝条，往往需要一段“生长”的时间，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段时间，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“长粗”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“长粗的”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。 5.斐波那契螺旋 一些植物的种子排列对这个数列有着特殊偏好。 瞧!松果的种子排列,顺时针数有8道螺旋,逆时针数却有13导螺旋.再有花菜上的螺旋, 顺时针数有5道螺旋,逆时针数却有8导螺旋,向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针数２１条；反向再数就变成了３４条．这些是不是很有意思呀！向日葵种子的排列，如果沿顺时针旋转螺旋的数目是某个斐波纳契数，则沿逆时针旋转螺旋的数目一定是相邻的另一个斐波纳契数。 菠萝、松果上的鳞片排列，也存在类似的两组螺旋线。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 师: 由于是自然规律、还有具体环境的影响，并不总能找到完美的斐波那契螺旋。所以让我们来欣赏一下由电脑绘制出来的完美的斐波那契螺旋！这是人们不断研究的结果，斐波那契数列背后隐藏着无穷无尽的规律…… 课后反思与建议：

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11《有趣而稀少的完美数》

相关教材内容：因数 教学形式：讲述 设计目的： 创设情境，让学生了解完美数，认识完美数的相关知识，在认知的过程中感受猜想和探究的重要性，让学生获得“乐学”的体验，树立“能学”的信心，促进学生思维品质的提升。 使学生在学习完美数的过程中，进一步学会探索数学规律的方法，领略数学内在的神韵，感受到数学文化的熏陶和洗礼，激发学生对数学的星期，使学生发自内心的去欣赏数学、理解数学、感受数学。 活动设计： 引入 欢送同学们来到数学大讲堂!数学大讲堂,不一样的课堂!.在开始我们的神奇之旅之前，我们先来看看一组这样的数据。 出示1-18的因数 师：请同学们根据表中的数据，想一想，找一找，2-18这几个数中有没有看上去与众不同的数呢？ 学生找到“6”，动画强调。 说一说，他与众不同的理由。 新授 认识完美数、亏数和赢数 在以上的数字中，除了6这个完美数，还有一些数，他们的真因数之和小于本身的这样的数叫做亏数，比方2、3、11等。 也有一些数，他们的真因数之和大于本身的这样的数叫做盈数，例如12、18。 那么像6这样既不盈余，又不亏欠的、也就是所有真分数之和等于它自己的数学习文档 仅供参考

呢？同学们知道数学家们给这样的数取名什么数吗？ 引出课题：有个非常好听的名字叫做完美数，又叫做完全数。 想想看，完美这个词我们平时都是用来形容什么的？在词典中，是这样解释的：完美指完备美好；没有缺陷。在数学家眼里，数本身就是美的，数学整个领域都是极其浪漫的，充满着高维度的美。 6就是最小的完美数。 了解完美数的稀少 这样找下去，第二个数字是28；第三个在百位数的深处，是496 。 第四个数字在千位数的尾部，是8128。 师：同学们猜一猜，第五个数会是几位数呢？〔5位数〕 师：开始，数学家们也是你们这样想的。他们凭借手中的纸笔顽强地演算着，苦苦地寻找。可是一无所获。这种结果可真令人抓狂！直到15世纪初，人们才找到到它，揭开它神秘的面纱。第五位数大的让你难以想象。他居然躲藏在千万位数的深处！他就是33550336。在4千亿里，数学家们又找到了2个完美数。够稀罕了吧？接下来的第八个完美数是个37位数，第九个是个位数，再接下去是65位数。这么大的数写出来都很麻烦。虽然后来有电脑帮助，咱们也可以想象出当时数学家们寻找时是多么艰难。到目前为止，数学家们总共发现了46个完美数。想想看，要从几十亿数中找出这些完美数，数学家们要付出多大的心血？你们觉得什么力量是数学家们去不断努力？ 〔兴趣、好奇心〕 师：是的，对数学的好奇、迷恋，还有执着，促使着千百年来的无数的数学家们在不断探寻，为伊消得人憔悴，衣带渐宽终不悔。 3、【性质】 这十个数现在就摆在我们的面前，他们有哪些奇妙之处让他们配得上完美两个字呢？ 〔少、都是偶数、尾数都是6或者8等、〕 师：如果完美数就这么些特点，可实在算不上奇妙，更称不上完美。同学们，今天的我们是幸福的，因为我们站在巨人的肩膀上。数学家们已经为我们找到了完美数许多有趣的特点，让我们一起来看看吧！ 学习文档 仅供参考

除6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数,那么这个个位数一定是1：〔亦即：除6以外的完全数，被9除都余1。〕 28：2+8=10，1+0=1 496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和： 6=1+2+3 28=1+2+3+4+5+6+7 496=1+2+3+…+30+31 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和〔被加的项共有 每个完全数的所有约数〔包括本身〕的倒数之和，都等于2：〔这可以通分母证得。因此每个完全数都是调和数。〕 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2 它们的二进制表达式也很有趣：〔因为偶完全数形式均如 〕 )： 到: 学习文档 仅供参考

4、【历史】 师：这么稀少而奇妙的数字，想不想知道是谁最早发现的呢？ 公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。 师：同学们听说过中国民间关于6或者28的传说或者习俗吗？ 〔三三不尽、六六无穷；等〕 在中国文化里：有六谷、六畜、战国时期的六国、秦始皇以六为国数、六常〔仁、义、礼、智、信、孝〕、天上四方有二十八宿等等。6和28，在中国历史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它是一个完全数。难怪有的学者说，中国发现完全数比西方还早呢。 5、【扩展】 师：数学家们能通过枯燥的数字本身看到里面的东西，看到内在的神奇和美。人们说，数学是大自然和世界的语言。数学为我们演绎着无限精彩。请看！ 出示各种自然及人文景观与数学的关系。 6、【疑问】 师：同学们，就像我们今天这堂课一样，透过数字蕴藏着大量丰富的规律。我们今天认识的完美数也属于数学皇冠上的一颗明珠，关于这颗明珠，你们还有哪些疑问呢？ 〔究竟还有哪些有趣的特征？第47个48个完美数的尾数还是6和8吗？又比方我们到现在发现的完美数都是偶数，有没有奇完美数？〕 学习文档 仅供参考

师：关于完美数这些神奇的问题老师今天也无法答复你们。在我们周围的世界里，也还有各种各样的神奇的数学问题。他们在等着期待着我们去研究，去探索，同学们有兴趣、有信心吗？ 课后反思与建议： 12、《数学魔方游戏》

游戏名称：数学魔方游戏 游戏设计者：李鹰 相关的教材内容：数独 建议使用形式：学生互动、师生互动 设计目的： 认识“数独”游戏的规则，掌握玩“数独”的方法；通过数学游戏，提高学生数学逻辑推理能力，培养学习数学的信心和兴趣；培养学生全局观念和克服困难、持之以恒的精神，让学生懂得应用解“数独”的思想指导生活。 活动设计： 一、认识“数独” 1．谈话导入，介绍“数独” 师：大家知道“数独”吗？〔玩过“数独”游戏的同学能和大家介绍吗？〕 老师边播放课件边介绍“数独”的价值和对人们的影响。 师：“数独”是一种数字魔方游戏。去年开始，“数独”游戏在西方国家受到几亿人狂热的追求，许多地方都在开展“数独”比赛，英国还把“数独”引进课堂作为锻炼学生脑力的课程。现在世界上“数独”游戏的书有上万种，也有上千种“数独”游戏软件。玩‘数独’能让我们更加的聪明。 师：这就是“数独”。 适用年级：四年级 使用者：李鹰 学习文档 仅供参考

2．发现特点，了解规则 师：我们称这样的九个格子为九宫格，一个游戏由九个小九宫格组成。大家观察每一行，它们都有哪些数字？ 生：都有1-9的数字……〔老师指名其它学生问：有重复的吗？有漏掉吗？〕 师：再观察每一列，是不是一样？ 师：每个小九宫格呢？ 师：像这样“每一行、每一列、每个小九宫格都由1—9数字组成，不重不漏”就是“数独”的填数要求。 3.简单判断与填空，熟悉规则 师：玩“数独”游戏，要求我们要细心观察，老师先考考你们的眼力，看看你们能不能一眼判断这样填可不可以？ 先组织学生用高高地举手或是握拳的方式判断正误，再组织学生口答填数。每组的第一个让学生说理由，之后只进行判断或填空不解释。 师：填对了吗？ 学习文档 仅供参考

判断完后，组织学生即兴口答简单的填空。 师：A处应该填什么？ 二、初玩“数独”，尝试挑战 1．试玩“数独”，掌握简单的方法 师：你们能不能一下子把ABCD都填写了呢？ 出示一张“数独”游戏图，让学生把答案写在练习本上，再交流，完成简单的“数独”。〔指名学生借助实物展台，边填数边解释。〕 ①组织学生谈“怎么推理出A”？〔注重引导学生多角度分析推理过程:从行上可以推出只剩9，从列上可以推出只剩9，从小九宫格上可以推出只剩9……〕 ②尝试让学生通过分析列或是分析九宫格说说“怎么推理出C”？〔老师在此处不进行提升，只引导学生发现这种思路即可:这个小九宫格里只剩3和6，行上有6，所以推出C处只能填3；或者最底行有3，次底行也有3，都排除之后，C处只能填3。〕〔也可能用类似方法先完成D〕 学习文档 仅供参考

设计意图：通过完成此个练习，让学生了解最简单的“数独”玩法。 2．整理情绪，交流感受 组织学生谈初玩“数独”的感受。 师：这是很简单的一个“数独”游戏，咱们挑战成功了，你们有什么感受？ 指名学生说一说，老师针对学生的以下发言进行引导。 三、集体玩“数独”，研究方法 1．找独数 师：学会玩“数独”很容易，要玩好“数独”可不是件简单的事。大家还得掌握一些数学方法。看看你们能不能解答这道填空题。师：知道答案的举行，自信能讲明道理的同学把手再举高一些。习题一： A处只能填〔 〕。 师：如果数字“1”换成在这里呢，A处又应该填几？ “看行，兼顾小九宫格已知数” 师板书： 学习文档 仅供参考

习题二：让学生即兴口答。习题二： A处只能填〔 〕。 “看列，兼顾行已知数” “看九宫格，兼顾行或列已知数” 习题三：将三道练习题材料发到小组里，小组同学讨论答案，建立学习共同体，再组织学生进行汇报交流。 师：这是三个不同的“数独”游戏，看看这个A应该填什么，第二个呢？第三个呢？……孩子们，不急，如果你们找不到解决问题的方法可以问问伙伴，如果你们有主意了也和同伴沟通一下，我们来比一比哪个小组的同学最先统一答案，一致认可A应该填什么？ 在学生研究后，老师根据学生进程灵活调整，“中场休息”一次，以第一个表格为例进行辩论，讨论出具体的解决问题思路，再组织学生继续研究。 老师在这个环节的语言里，多一些“为什么不填这里，为什么不填其它数字”等话，用反例让学生更清晰方法和思维。习题三： A处只能填〔 〕。 学习文档 仅供参考

“利用同组九宫格里已知两个数，推断出第三个数” 老师整理出以下板书： 习题四：只让学生口答，再指名让学生到黑板上进行指着材料说理由，老师不进行总结提升。 习题四： A处只能填〔 〕。 学习文档 仅供参考

2．全班合作玩“数独”，挑战成功 师：研究这些习题是为了让我们形成更加缜密的思维，咱们ΧΧ小学的同学真聪明，我们综合应用这些方法来挑战一题完整的“数独”如何？ 3．小组合作玩“数独”，体验快乐 师：全班一起玩，我发现有些同学还是没有时机上台，那我们小组一起再合作玩一题，如何？ 以小组合作为单位，让学生一起玩“数独”。 老师帮助个别小组进行填数，提前做完的小组思考：“玩‘数独’，我们积累了哪些经验？” 师：有三点要求：①做完的小组要认真思考“玩‘数独’，我们积累了哪些经验”，待会儿老师要请你们来做经验交流；②要分工，每个人都判断思考，由一位同学负责填写；③这次玩“数独”我们要采用竞赛的方式，比一比哪个小组最快，学习文档 仅供参考

比一比哪个小组比听课的老师还快。 师：一般情况下，我们填最后几个数字，只要不出现重复，答案肯定正确，请小组长先收起这张游戏，咱们再来交流一下，我们积累了哪些经验？ 4．整理方法，交流感受 〔1〕组织学生交流玩“数独”的经验 师：如果你们要教家里的爸爸妈妈，你们打算怎么教？比一比谁说得完整。 再次让学生说一说，老师根据学生的答复，整理出以下板书：排除、推导、假设、有序思考〔2〕组织学生谈玩“数独”的感受 师：咱们讨论了这么多的方法，你有什么感受？师：你现在最想干什么？ …… 5．综合应用九宫格、行、列已有数据推导出数字 师：刘老师提醒大家玩“数独”千万不要凭空猜测，更不可以半途而废!大家再看看这个A应该填什么？ 学习文档 仅供参考

组织学生根据已知条件，进行推理判断指定宫位上的数。 师：玩“数独”最关键就是始终要抓住行、列、小九宫格来推导。 师帮助学生完成推导讲解的完整性，表述：从九宫格里可以排除A是的可能性，从行上排除A是，从列上排除A是，只剩下9了。 四、深玩“数独”，享受快乐 学生完成“数独”。 师：我们每个人都来挑战一题如何？完成了，可以选择继续挑战更难的。 五、课堂小结 课后反思与建议： 学习文档 仅供参考

13、 《“数独”游戏》

建议使用形式：学生互动、师生互动 设计目的： 1．认识“数独”游戏的规则，掌握玩“数独”的方法； 2．通过数学游戏，提高学生数学逻辑推理能力，培养学习数学的信心和兴趣； 3．培养学生全局观念和克服困难、持之以恒的精神，让学生懂得应用解“数独”的思想指导生活。 活动设计： 一、激趣引新： 师：孩子们，你们喜欢玩游戏吗？老师也喜欢玩，今天老师将为你们介绍一款全世界的聪明人都在玩的数学游戏——“数独”游戏。为了带你走进这神奇的世界， 待会儿咱们一起进入游戏的王国，跟着老师从最简单的类似数独题入手，好吗？〔板书：开心玩“数独”〕 二、建立数独的模型 1、①第一关“猜一猜” 师：要见到真正的“数独”，咱们还得过三关呢？想不想试试？ a一个大格子平均分成了九个小格子，把红、黄、蓝三种颜色的小方块分别填入九个小格子中，使每一行、每一列都有三种颜色，不重复出现。为了便于表述，我们为每一行，每一列都取上名字。〔课件出示：第 行 第 列〕 师：你准备从哪个格子开始猜？ 师：什么颜色？还有不同的想法吗？ 师：为什么？ 师：观察时，既要看行又要看列，判断时，用排除法，不是……就是……〔板书：行，列，不是……就是……〕 黄 红 蓝 学习文档 仅供参考

b完成后回忆 师：刚刚我们从哪个格子开始猜的？为什么从这个位置开始猜？能不能从别的位置开始猜呢？ 小结：是的，对于这道题来说，因为每一方位提供的信息量都是一样的，所以从任意的格子都可以开始猜。而当我们观察时，既看行又要看列，判断时不是……就是……〕 ②第二关“想一想” a将一个大格子分成16个小格子，现在有苹果，香蕉，草莓和葡萄这四种水果，要放入相应的格子中。要求是每一行，每一列的水果不能重复，还有，再加一个条件，每四个方格为一个区，像这样一个区里的水果也不能重复出现。概括来说，就是，每一行，每一列，每一区的都有四种水果，不重复出现。 师：你准备从哪个格子开始？〔第几行第几列〕多指名学生说 葡萄 草莓 葡萄 草莓 苹果 葡萄 香蕉 苹果 b出示课件：回过头来再看看，怎样观察才能很快的开始呢？ 小结：不仅要观察行，列，还要观察区。而且找到提供信息最多的方位开始。 ③第三关“画一画” 师：看来你们的本领掌握得很不错，老师对你们进入下一关很有信心，那你们自己呢？好，进入第三关画一画。 师：将圆形，三角形，长方形和五角星形画入方格中，每一行，每一列，每一区都不能重复。 要求： 这道题是画一画，请先思考三十秒后再小组内合作完成。 出示学具纸〔二〕 学习文档 仅供参考

一 二 三 四 汇报： 先检查一组，再对照检查。 师：老师对你们的学习能力真是刮目相看，短时间内就掌握了玩“数独”的基本方法。现在，三关已经闯完了，可以向你们正式介绍“数独”，看看它的庐山真面目了。 三、应用“数独”的模型： 1、介绍“数独” 师：〔出示课件〕这就是通常人们玩的“数独”游戏的一种。其实“数独”〔sudoku〕一词来自日语，意思是“单独的数字”或“只出现一次的数字”。概括来说，它就是一种填数字游戏。〔出示课件〕是十八世纪瑞士数学家欧拉发明的。 师：这是一个有三十六个格子的“数独”游戏，将1、2、3、4、5、6这6个数字分别填入行、列、区里，不重复，你会做吗？ 1、同桌合作完成。 2、〔出示6宫格〕接力上台来贴数字卡片。 6 1 2 5 3 2 6 1 6 3 6 2 4 5 1 4 4 5 1 3 学习文档 仅供参考

1 4 5 2 四、拓展提升： “数独”的魅力在于它看似平淡无奇，但却充满着神奇和挑战性。 再介绍一款绝大多数人玩的“数独”游戏。 〔出示课件〕在九个小九宫组成的正方形大九宫的八十一个方格中，玩家将1~9个〔九九共八十一个数〕，剔除题图中已经提供的数字，分别填入剩余的空格内，要求每行、每列及每个小九宫的1~9的九种数字，既不能重复，也不可缺失。在我们国家也称为“九宫阵” ① 一 二 三 四 五 六 七 八 九 2 3 5 4 6 1 8 6 7 8 9 2 4 4 9 2 3 7 5 3 2 4 5 1 5 9 4 1 2 3 7 7 4 1 3 6 5 8 2 8 3 7 1 5 4 6 1 6 2 9 5 3 5 7 4 6 3 8 1 9 2 玩数独不需要付出大的物质成本，只需一本数独书，一支铅笔，一块橡皮。现在老师推荐你们上网在百度里查询“三唐数独游戏”，它的难易程度非常适合你们。 五、全课总结： 玩“数独”小孩子会愿意思考问题，开动脑筋，老年人锻炼脑力，减缓退化。如果你的亲人和朋友还在沉迷于网上游戏，推荐他玩数独吧，如果他问你数独有什么好处，你会怎么介绍呢？数独怎么玩呢？ 课后反思与建议： 学习文档 仅供参考

14、神奇的莫比乌斯圈

相关的教材内容：高年的几何图形研究 建议使用形式：学生互动、师生互动 设计目的： 1.使学生了解并欣赏有趣的莫比乌斯圈,动手制作莫比乌斯圈。 2.通过有效性学习材料的创建,使学生能自主参与,自主探究, 用数学知识的无穷奥秘去吸引学习,激发学生学习数学的兴趣。 3.反复的猜想、验证和探究活动中，深切感受数学的多元化和神奇魅力。 活动设计： 一、谈话铺垫 师：同学们，魔术好玩吗？还想玩吗？数学中也有魔术，相信吗。今天这节课就和一起来感受一下数学的魔力，好不好？ 二、认识莫比乌斯圈 1、做纸圈 师:同学们，会做纸圈吗？〔会〕你桌子上有纸条，用它做一个。 〔学生尝试探索〕 师:谁来说说你是怎么做的？ 其他的同学也是这样做的吗？ 师:请你观察，这个圈和原来的纸条相比，发生了哪些变化？如果从边和面的个数来看呢？ 师:为什么会有这种变化？原来还有的两条边哪去了？ 师：我们把4条边变成了2条边，这只是一个小小的魔术。下面会有更奇妙的。 师：想想看，如果我们沿着圈的中间将圈剪开，会有什么结果？〕好，剪剪看。 师：老师也想剪剪。怎么回事？我的是一个圈？！ 师：有什么不一样？ 师：想不想也有一个这样的圈？自己动手做一个！ 师：没做出来，没关系，失败乃成功之母嘛？ 学习文档 仅供参考

师：是怎么做的呢？〔课件展示〕 师和大家一起做圈。 师：现在会做了吗？你觉得关键在什么地方？ 师：将你们做的纸圈举起来！ 2、验证纸圈 师：最开始我们通过把纸条首尾连接，就把边由4条变成了2条。刚刚我们还把纸条怎么样了？那它的边的条数和面的个数会有变化吗？什么变化呢？ 师：大家都提出了自己的一些猜想， 要想知道猜的对不对，我们应该怎么办？也就是我们要验证一下，对吗？ 分小组验证。 师：你试过了吗？用什么方法？〔用手指沿着边走，用手去摸、去滑〕 我们在来清楚的看一遍。课件展示 师：我们刚刚通过用手指摸，让小球走，验证了这个圈竟然真的只有一条边一个面。真是个怪圈。 这个怪圈是怎么来的，他又叫什么名字呢？请看。 师：这个圈叫——“莫比乌斯圈” 三、剪纸圈 师：刚刚老师利用莫圈变的那个魔术，同学们想不想亲自试一下。试试看。成功了吗？ 师：还想接着剪吗？猜猜，如果我们还是沿着这个大圈的中间剪下去，会有什么结果？ 对！我们就要大胆地猜想！我们动手剪剪看：实践出真知嘛！ 师：剪好了吗，举起来，你们想到了吗？〔没有。是两个圈，连在一起的〕 师：我们有了大胆猜想，还一定要小心求证啊。 四、设计纸圈 师：莫比乌斯发明了“莫比乌斯圈”，同学们想不想自己来设计发明纸圈？〔想〕 师：先看清楚要求 1、你可以选择继续研究莫比乌斯圈，也可以选择自己设计发明一个纸圈。 2、把你的探究过程填入“我是小小数学家”表中。 学习文档 仅供参考

命名 莫比乌斯圈 莫比乌斯圈 旋转的度数 180度 180度 沿着纸的何处剪 沿着纸的 1处剪 2猜测 2个的圈 验证发现 1个大圈 3、小组内交流你的研究结果。 师：接下来，请同学们重新拿一纸条，发挥你的想象，大胆设计吧。 五、总结 师：好，今天我们认识了一个神奇的怪圈，它的名字是？为了研究它我们开展了一些什么活动？你觉得上完这节课后，你有什么收获，或者有什么想法？能说说吗？ 课后反思与建议：

15、《围棋中的数学》

相关的教材内容：植树问题与方阵问题 建议使用形式：小组合作，自主探索。 设计目的：通过重点研究“围棋最外层棋子个数”的问题，使学生认识“方阵问题”。借助动手操作，探讨空心方阵的解决方法，引导学生从多种角度思考问题，运用多种策略、方法来解决问题。初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。让学生感受数学在生活中的广泛应用，培养学生的应用意识和解决问题的能力。 活动设计： 课前谜语激趣 1、猜谜激趣。 学习文档 仅供参考

师激趣：同学们，喜欢猜谜语吗？我有一个谜语，想猜猜吗？ 猜谜：十九乘十九，黑白两对手，有眼看不见，无眼难活久。打一棋类 师：看来你对围棋有所了解。你能简单介绍介绍吗？ 师：我们班哪些孩子会下围棋？请举手。 师：有时机我们一起切磋切磋吧！ 小结：围棋是一种智力游戏，下围棋对于提高我们的计算能力，记忆力都有好处，课余时间我们可多参加此项游戏。 二、“围棋”引出“方阵”，探究计算方法。 1、揭示课题。 师：孩子们，知道我们今天要学的内容与什么有关了吗？ 师：对，这节课我们就研究围棋。师：对于这个课题，你有什么疑问吗？ 师：问得好！你们很善于思考！只要我们敢于思考、勤于探索，就能发现围棋中也藏着许多有趣的数学问题呢！〔板书：围棋中的数学问题〕 2、引出问题。 师：看，我给大家带来了一副围棋。〔出示实物，认识围棋〕谁能说说下围棋时棋子应摆在什么位置？〔教师用课件演示〕 师：棋子是这样摆放的，摆在横竖线的交叉点上，那我们一起来数数，棋盘最上边可摆放多少个棋子？〔生数出是19颗〕左边呢？ 课件出示：每边可摆放19颗棋子。 2、计算棋盘上所有棋子个数。 师：下棋时，有的棋局，棋盘上摆满了棋子也未必能定输赢，那大家算一算，如果棋盘上每个点都摆上棋子，一共有多少个？请把计算过程写到本子上。〔课件出示〕 学生在本子上列算式计算。集体交流方法。 师板书过程：19×19=361〔个〕 师小结：看来，围棋中的数学问题还真难不倒大家。 3、棋盘最外层棋子个数的方法探究。 1、情境导入。 师：这节课，不光咱们班的孩子在研究围棋，小明和爸爸也在研究呢！小明和爸学习文档 仅供参考

爸是围棋爱好者，两人每天都要切磋一局。但每次小明都以失败告终。这不，两人又“开战”了。爸爸说：“今天我们可以不遵守规则，我多让你几个棋子。”小明灵机一动，说：“爸爸，那你就把最外层棋子都让给我吧！” 提问：听到这，你现在最想知道什么？ 师：想要知道谁赢，先得看看：爸爸一共让了多少个棋子给小明？你们能解决吗？ 课件出示：最外层每边能摆放19个棋子，爸爸一共让了多少个棋子给小明？ 2、动手操作，解决问题。 分组探讨解决问题的方法。 师：请同学们以小组合作的方式进行探究，看谁最有方法！先认真读读合作要求。 合作要求： 〔1〕、三人为一学习小组探究：最外层一共有多少个棋子？列出算式进行计算。 〔2〕、在棋盘上画一画，圈一圈，让人一眼就能看出你是怎样想的。 〔3〕、解答完毕后再想想，还有没有其他方法，如果有，也写在答题纸上。 师：看明白了吗？学生分组讨论方法。教师巡视。 3、汇报交流各种方法。 师：请你作代表说说你们的方法。 学生用实物展示平台展示自己的方法。 汇报19×4-4这种方法时，教师适时提问：为什么要减4？ 师：这个方法真不错！谁来取个名？周老师建议我们将这种算法叫“×氏算法”。〔板书：×氏算法19×4-4=72：〕掌声祝贺×氏算法的诞生！还有哪些孩子也是用的×氏算法？ 汇报17×4+4方法时，提问：为什么后面要加4？ 师：听明白了吗？也取个名字〔板书：×氏算法：17×4+4=72〕！ 汇报18×4时：提问：18指的是什么？？ 师：恭喜又一种新算法的诞生。 汇报19×2+17×2时，提问：先算的哪几行，再算的哪几行？ 师：可以这样算吗？自己把这种算法的名字大声说出来！ 〔板书：×氏算法：19×2+17×2=72〕 4、课件演示各种方法。 学习文档 仅供参考

师：我们一起来看课件的演示。先演示前几种方法。 师：老师也想出了一种方法，你们能看明白吗？师用课件演示最后一种方法。 3、探寻最有效方法。 师：同学们动脑筋想出了这么多方法，真了不起！现在我们来观察和比较这些方法，你觉得哪种方法最简便？为什么？ 师：解决问题时，我们应该自觉运用简单的方法。 4、小结：爸爸这一让就让出了72个子，你觉得他还会赢吗？ 师：让我们来看看故事结局！ 〔录音：小明：哈哈，我终于赢了！爸爸：恩，我的儿子有进步！爸爸希望下次我们公平对决你也能赢！〕 4、揭示“方阵”概念。 师：像棋子这样整齐地摆在棋盘上，摆成了一个正方形，就叫“方阵”。〔板书——方阵〕。当361个棋子摆满棋盘成一个正方形时，我们叫它实心方阵。而刚刚研究的只摆最外层，成一个正方形，叫空心方阵。〔边介绍边板书：实心方阵、空心方阵〕〔课件演示〕 师：你们还在哪里见过方阵？ 师：你们真是生活中的有心人，让我们一起来欣赏生活中的方阵！ 生说完后课件出示生活中的“方阵”图片。 课件演示：庄严威武的天安门国庆阅兵方阵朝我们走来，整齐的广场健身舞方阵随着音乐翩翩起舞，学生体操比赛站成的方阵队伍整齐化一，湘潭东方红广场菊展的花卉方阵让人赏心悦目，古代著名的马其顿方阵，运用到作战中，能轻易打败数量上占明显优势但比较杂乱的敌人。 实际运用。 1、基本练习。 师：瞧！学校四年级的孩子在做古诗词操呢！ 课件出示题目：学校四年级学生做古诗词操时排成了方阵，最外层每边站了24个人，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 师引导：这是方阵问题吗？你能解决吗？开始吧！ 生解答。 学习文档 仅供参考

学生汇报方法。师用课件演示，并提问：还有没有别的方法？ 师：这里的最外层每边24人相当于围棋问题中的什么？最外层学生相当于什么？整个方阵有多少名学生是求什么？ 2、逆向练习。 师：刚刚这个问题对于我们班的孩子来说相当简单，那这道题你会解决吗？〔神秘〕 课件出示图片和题目：48名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，每边各有几名学生？ 师：这是方阵问题吗？跟刚刚的问题完全一样吗？ 师：有什么不一样？根据学生答复用课件演示。？ 师：同学们先试着解决，再在小组内交流你的方法。 师小结：利用方阵问题的方法，我们解决了身边的问题。那现在让我们把目光聚焦到学校最近的一个大型活动。 2、运用方阵思想计算五边形。 课件出示：学校积极响应 “创文明城市”的号召，为了美化校园环境，想在同学们中征集设计方案。请看具体要求：学校打算在五边形花坛边摆上花盆，使每一边都有4盆花，一共需要多少盆花？ 师：它是方阵吗？为什么？计算时可用方阵思想来解答吗？那么，请设计师们开始设计！ 学生完成， 集体交流时将自己的设计在展示平台上展示，并说说自己的想法。 师：如果要求至少需要几盆花？应该用哪种方案？ 师：原来不只是正方形可以用方阵问题的方法来解决，五边形也可以，三角形可以吗？六边形呢？ 师：看来，生活中很多问题都可以用方阵的数学思想来解决！ 全课总结。 总结：希望孩子们沿着前人的脚步继续研究，在方阵这一领域研究出新的成果。 课后反思与建议： 学习文档 仅供参考

16、《旋转的奥秘》实验设计

【实验目的】

1、认识旋转的三要素，即旋转中心、旋转方向、旋转角度；

2、通过实验让学生理解到任何图形通过旋转，改变的是图形的位置，而其本身的形状和大小都不变。

3、能在方格纸上正确画出旋转90度后的简单的旋转图形，发展学生的空间观念。 【实验器材】

钉子板；刻度盘〔制作一个直径为10厘米的刻度盘，实际上是制作两个半圆形量角器，在刻度盘的中间钻上小孔，套在钉子板的中心上〕；旋转模型包括各种形状的三角形、长方形、正方形〔同样形状的各两个〕，每个旋转模型的一角上留一个左右的小正方形，在其中心钻上小孔，并在每个角上标好顶点ABC；尺子〔测量各组对应边的长度〕；量角器；橡皮筋。 【实验过程】 一、 引入。

1、课件出示风车、电风扇、旋转木马、旋转门等物体，引导学生观察，初步感知旋转现象，提出问题：它们是怎样旋转的呢？引导学生认识旋转中心、旋转轴，进而概括出旋转的概念〔物体绕一个点或轴运动的过程〕。

2、接着课件出示通过旋转形成的美丽图案，提问：它们是怎样旋转形成的？引导学生认识旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。然后追问旋转前后的图形有什么变化和联系？学生可能说出：图形的大小不变，位置改变。 3、那是不是真的如此呢？我们通过探究，自己去寻找答案，从而开始实验。 二、实验操作过程

我们采用分组实验的方式，先确定好每个小组的操作员、记录员、汇报员，接着各小组选择不同的旋转模型按顺时针或逆时针方向旋转90°，并填表记录数据。 那么在实验之前，先以课件出示实验的要求和步骤〔以长方形顺时针旋转90度为例〕：

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1、将刻度盘固定在演示板的中心；

2、将两个同样的长方形〔上2号，下1号〕固定在刻度盘的中心，旋转刻度盘，使零刻度线与长方形的一条边重合；

3、将上面的2号长方形按顺时针方向旋转90度，让学生清楚的从刻度盘上看出旋转的角度；

4、找出旋转后的长方形的顶点，用彩色橡皮筋固定旋转后的长方形； 5、找出对应点A’、B’、C’、D’； 6、测量各对应边的长度和旋转角的大小；

7、察旋转后图形的大小和形状并记录好表中数据。 8、按以上步骤用不同的模型重复试验。 三、实验现象

老师引导学生观察实验所得的表中数据，同学们会很容易能发现，旋转模型的各边的长度在旋转前后都不变；旋转模型的任意对应点与旋转中心的连线所形成的夹角，即旋转角都相等；各对应点到旋转中心的距离也不变。 四、实验结论

根据各组得到的关于不同旋转模型得到的旋转数据，我们得到探究结果： 1、旋转只改变图形的位置，而不改变图形的大小和形状； 2、旋转后图形各顶点到旋转中心的距离不变；

3、任一对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，旋转角都相等。 五、练习 1、说一说

旋转其中一个图形，使图形变成一个长方形。 2、画一画

让同学们根据已经掌握的旋转的性质练习画出旋转后的图形。

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17、《探秘圆周率π》实验设计

【实验目标】

通过观察、推理、分析、综合、抽象、概括等数学活动，经历探索圆的周长与直径关系的过程；理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值。 【实验器材】

教具：多媒体课件，硬纸板圆片2个，圆形物体，绳子，直尺，圆规，计算器。 学具：圆形物体，圆片，绳子，直尺，计算器。 【实验过程】

我们的实验过程分两步完成：

第一步是明确圆的周长和什么有关系。通过画圆活动，明确圆的周长和直径有关。 第二步，用测量的方法探究周长和直径之间的关系

首先是测量圆的周长和直径。这是分小组完成，提出活动要求：

〔1〕三人为一小组，两人动手操作，一人记录。选择不同的圆形物品，利用手中的工具，想方法测量它的周长和直径。

〔2〕把结果记录在表格中，用毫米为单位，保留整数。 〔3〕用计算器计算它们之间的关系(结果保留两位小数)。 这是记录的表格。

圆的周长和直径的关系测量 数据 物品名称 周 长 直 径 第4列要计算什么我特意没写，留给学生思考：周长和直径之间应该做个什么运算。

这是学生的实验过程，这个实验活动大约需呀10分钟完成。 接下来是汇报。

首先汇报测量圆的周长的方法，学生会讲到有两种方法，一个是围的方法，一个

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是滚动的方法。我把这两种方法总结成绕绳法和滚动法。这是学生在用绕绳法测量圆的周长，这是在用滚动法测量。这两种方法都是用到了化曲为直的数学思想。 然后是小组汇报测量结果，并计算圆的周长和直径之间的关系。学生基本上是算圆的周长÷直径，计算出周长大约是直径的几倍。 这是一份学生完成的表格。 汇报一般是选三个小组完成。

到此时，我用课件演示：约2000年前，中国的古代数学著作《周髀〔bì〕算经》中就有了“周三径一”的说法，意思是指圆的周长是它的直径的3倍。 引出这节课的主题：什么叫圆周率π。

有关圆周率的计算，大约1500年前，中国有一位伟大的数学家和天文学家祖冲之，他计算出圆周率应在和之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人。他的这项伟大成就比国外数学家得出这样精确数值的时间，至少要早1000年。

而在科技这么发达的今天，圆周率已经被计算到了小数点后27000亿位。圆周率是一个无限不循环小数。

我们在平时的计算中，通常将π取为。

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18、《利息与数学》研究性学习设计方案

研究课题名称： 利息与数学 一、课题背景、意义及介绍 1、 背景说明： 生活中都蕴涵着数学，数学的妙用处处都可以表达。而我们粤西山区农村学生见识少、思想闭塞，对是数学知识在生活实际的作用认识不够，因此无心学习，对学习数学不感兴趣，同时他们的动手操作能力都很差。而社会生活中的很多情境提供了学生学习和应用数学的多种多样的途径，让学生通过实践活动来研究学习数学。 2、课题的意义〔为什么要进行本课题的研究〕： 通过来研究学习增长学生的的见识和数学知识，激发学生学习数学的兴趣；提高学生对数学在生活中价值的认识；提高学生动手操作能力、解决简单问题和互相合作学习的能力。 3、课题介绍 本适课题适合小学六年级同学研究，符合小学生的认知特点，而且比较容易去研究学习，研究条件要求较低。 二、研究性学习的教学目的和方法 按照新课程标准的三纬目标阐述进行研究性学习的教学目的。 知识与技能： 1、结合具体的数据，能够认识活期、定期储蓄、利率、利息和本金等名词。 2、能运用学过的百分数、小数乘除法等有关知识去计算利息。 3、通过研究能够掌握利息的计算公式，并能动说明公式各部分的含义。 过程与方法： 1、学会上网查阅、到银行调查等收集对研究学习有用的资料，并能对收集到的资料进行分析。 ２、经历研究学习，初步学会探究学习的方法，能够写出自己的学习体会或者简单的调查报告。 学习文档 仅供参考

３、经过小组调查合作学习，初步学会生活中简单的理财方法。 情感态度与价值观： １、结合具体情境，感受数学在利息中的应用，懂得数学在生活中价值的。 ２、通过活动，感受相互关心、团结协作的作用，增强班级的凝聚力。 ３、通过研究，初步懂得生活中简单的理财方法。思维导图如下： 三、参与者特征分析〔重点分析学生有哪些共性、有哪些差异，尤其对开展研究性学习有影响的因素。〕 1、学生是乡镇学校六年级的学生，活泼好动，对新鲜特别感兴趣； 2、学生已有初步书面表达能力，但也有不少同学较差，发展极不平衡； 3、学生的数学基础知识比一般，有十位同学基础很好，但也有十位同学连基本的数学计算也不会； 4、经过发动，学生能掌握调查访问的基本方法，大部分同学对研究问题有着浓厚的兴趣，当然也有极个别同学完全不感兴趣； ５、学生的动手操作能力比较强； 6、学生对有关利息的数学知识了解不多。 四、研究的目标与内容〔课题研究所要解决的主要问题是什么，通过哪些内容的研究来达成这一目标〕 课题研究所要解决的主要问题： 1、利率、利息和本金的关系； 2、活期与定期储蓄问题； 3、提前支取定期储蓄； 4、存期10年的储蓄； 5、利率的变化时问题； 学习文档 仅供参考

通过以下内容的研究来达成这一目标： 1、通过阅读有关资料了解利率、利息和本金关系； 2、上网查阅活期与定期储蓄的情况； 3、到银行调查怎样提前支取定期储蓄； 4、通过小组合作计算存期10年的储蓄； ５、通过计算利率增加时定期存款的利息变化； 学生可能的选题内容： 1、认识利率、利息和本金； 2、提前支取定期储蓄； 3、如果我有一千元应怎样存； 4、活期与定期储蓄问题； ５、利率增加时定期存款怎么办。 五、研究的预期成果及其表现形式〔研究的最终成果以什么样的形式展现出来，是论文、实验报告、实物、网站、多媒体还是其他形式〕 每个专题都会有一份简单的调查报告，每个学生都会有不同时期的活动体会，每个学生都会得到一份来自自己、组长以及老师评价形成的综合评价。 六、资源准备 1、和储蓄有关的资料。 2、草稿纸、计算器等。 3、学校图书室； 4、评价量表。 ５、电脑室。 七、研究性学习的阶段设计 学习文档 仅供参考

研究性学习的阶学生活动 段 教师活动 起止时间 第一阶段：发动1 互相讨论问题，初步了进行组织发动，激发学和培训〔初步认研究性学习。 生的研究课题。组织学1课时 识研究性学习、2了解本次活动的学习目生就问题谈感受，提问理解研究性学习的。 的研究方法〕 题。发放资料介绍本次3 学习了解本次综合实践综合实践活动的步骤与活动的步骤、方法、要求。 方法。 提出和选一、讨论要和利息有关的1 组织学生讨论。 择课题 数学知识。 2 与学生一起筛选课二、经过师生共同讨论，题，确定研究的课题 以学生最急于了解或最感兴趣的方面，确定研究主第二阶段 课题准备阶段 题比方： 1、认识利率、利息和本金； 2、提前支取定期储蓄； 3、如果我有一千元应怎样存。 4、活期与定期储蓄问题； ５、利率增加时定期存款怎么办。 成立课题1、各小组成立后，选定组1、组长自荐和同学推荐组 长，学习讨论小组合作学后由老师确定，学生自习评价量表。 愿成组的前提下，合理4课时 2、学生根据自己的专长和调配各组成员，以利于喜好确定自己的选题，并各小组顺利完成研究学根据选题形成小组。 习，保证人人参与。 3、根据自己的选题，进行2、制订合作学习规则给小组分工，小组内分工可学生，使研究活动顺利学习文档 仅供参考

以为计算小能手、调查小进行。 队、记录队等。 3、组织、指导学生的小组讨论小组成员分工 形成小组各小组根据分工制定研究1、设计“研究方案”模实施方案 计划，分配研究时间，细版，为学生制订研究方分研究内容，各人的分工，案提供指引。2、设计“调制作调查表，需要准备那查记录表”为学生调查些资源都要列清楚等。 记录提供指引。3、设计成果展示模版，为学生展示研究结果提供指引。 第三阶段：课题一、收集资料活动 实施阶段 １、给学生一些明确的本活动采取的形式多样：调查内容； 到银行调查、上图书室查２、哪些资料要查阅给阅等。活动分两个阶段进学生重点提示； 行，第一阶段各小组利用３、开放电脑室，让学放假时间到银行进行调生准备好笔记本，把有查。第二阶段上网、上图用的内容记录好。 书室等查阅有关资料。 二、整理资料活动 ４、给组长发放“活动记录表”，以用作每次小两周 各小组及时把资料集中起组活动后收集整理信来，在小组长的组织下进息。 行分类处理，并做好记录５、及时跟踪了解各小工作。 组活动进行情况，为学三、各个小组根据自己上生出谋划策，当好参谋网、调查和查阅有关资料指导作用，让学生随着等收集到的数据进行分析活动的开展，不断修改和计算，并把通过分析和活动方案，调整活动方计算得出的结论，以书面式，保证活动的顺利进学习文档 仅供参考

形式写下来。 行。 第四阶段 评价、总结与 反思阶段 1、各小组分组汇报自己将老师根据整个研究活近一个星期的研究成果写动，各小组活动情况，出简单的调查报告等。 利用〔评价表3〕给出教2、各成员参照〔评价表1〕师意见。老师根据整个进行自我评价，由小组长活动过程给出评价意见收集，整理汇报。 3、小组参照〔评价表2〕汇报小组自评。 4、当所有组成果汇报完毕，各小组还要参照〔评价表2〕整理意见，对其他小组的活动成果展开评价。 ５、各成员集成自评、组长评 和教师评价，填写完成〔评价表4〕。 一周 和指导意见。 八、总结与反思〔实践后总结、反思整个研究性学习过程，提出改良意见〕 教师根据教学计划和分析学生特征给学生一个研究性学习的主题，帮助学生拟订好课题，并诱导学生顺利进入研究性学习，从而，让学生真正成为学习的主人，自主地有效地完成学习任务，老师起到指导者、促进者的作用。 在老师的指导下，学生确立了课题：利息与数学的研究，学生通过上网查找资料、调查和到图书馆等方式收集数据和资料，并自主分析数据和资料，从而，知道了数学在生活中的重要性，初步懂得生活中简单的理财方法。 在学习过程中，绝大部分同学很认真积极地参与其中，但也有极少数学生显得不积学习文档 仅供参考

极主动，甚至不想参与，这确实值我们老师反思。这时候需要教师们去鼓励和关心他们，帮助他们融入这样的研究性学习活动过程中来。 学生在这次的研究性学习后，学习积极性增强，热情高涨，思维更活跃，各小组更加团结协助，因此，准备在以后的教学过程中继续开展研究性学习，提供应学生更多的时机。

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