2020届高考总复习(数学)15 导数与函数的极值、最值

第15讲 导数与函数的极值、最值

考纲要求: 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭

区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

命题趋势: 利用导数求函数的极值、最值，热点问题、高频考点，题型有求函数的极值、最值和已知函数

的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大．

探 究 案

探究一 利用导数研究函数的极值 【例1】 求下列函数的极值：

3

(1) f(x)＝x2－2x－4ln x； (2 )f(x)＝ax3－3x2＋1－ (a∈R且a≠0).

a

【跟踪训练1】已知函数f (x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1) 求a，b的值； (2) 讨论 f (x)的单调性，并求f (x)的极值．

2020届高考总复习导学案

【例2】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex

－1

的极值点，则f(x)的极小值为________．

(2)(2017·浙江金华十校联考)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是 ．

1【跟踪训练2】(1)[2017·辽宁沈阳模拟]设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a2的取值范围为________．

(2)设函数f(x)＝ax－2x＋x＋c.若f(x)在R上无极值点，则实数a的取值范围为________.

(3)设a∈R，若函数y＝e＋3x，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围为________.

(4)函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________.

探究二 利用导数研究函数的最值

1

【例3】 设函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．

2

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数f(x)在,e上的最大值．

e

ax3

2

12020届高考总复习导学案

【跟踪训练3】已知函数f(x)＝(ax－2)e在x＝1处取得极值.

(1)求a的值；

(2)求函数在区间[m，m＋1]上的最小值.

【例4】 (2018·湖北武昌实验中学月考)设f(x)＝ax－ln x，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

x

2020届高考总复习导学案

易错警示

易错点 分类不完全，混淆概念 错因分析：对参数的分类讨论不完全．

【例】 已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)x，其中a<0.

(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．

【跟踪训练】 设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由．