圆锥曲线常用结论[无需记忆,会推导即可]

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x2y2x0xy0y121222P0(x0,y0)P0abab5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

x2y2212P0(x0,y0)6. 若在椭圆ab外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点

x0xy0y212b弦P1P2的直线方程是a.

x2y2212ab7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为

SF1PF2b2tan2.

x2y22128. 椭圆ab（a＞b＞0）的焦半径公式：

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|MF1|aex0|MF2|aex0F1(c,0),(

, F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11.

kOMkABx2y2212abAB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则bKAB2a，即

2b2x02ay0。

12.

x2y2212P0(x0,y0)若在椭圆ab内，则被Po所平分的中点弦的方程是

x0xy0yx02y02222a2bab.

13.

x2y2212P0(x0,y0)ab若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

x2y2x0xy0y2222abab.

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴

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为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

x2y2212P0(x0,y0)5. 若在双曲线ab（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是

x0xy0y21a2b.

x2y2212P0(x0,y0)ab6. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切

x0xy0y212b点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是a.

x2y22127. 双曲线ab（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一

点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为

SF1PF2b2cot2.

x2y2212ab8. 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

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9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11.

x2y2212abAB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB

的中点，则

KOMKABb2x0b2x02KAB2ay0，即ay0。

12.

x2y2212P0(x0,y0)若在双曲线ab（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方

x0xy0yx02y022222abab. 程是

13.

x2y2212P0(x0,y0)若在双曲线ab（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程

x2y2x0xy0y2222abab. 是

椭圆与双曲线推导的经典结论

椭 圆

x2y22121. 椭圆ab（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭x2y2212ab圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.

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x2y22122. 过椭圆ab (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭

圆于B,C两点，则直线BC有定向且

kBCb2x02ay0（常数）.

x2y2212ab（a＞b＞0）3. 若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2,

actancotPF2F122. ，则acx2y22124. 设椭圆ab（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任since意一点，在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有sinsina.

x2y22125. 若椭圆ab（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e

≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2212ab6. P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)2122ab7. 椭圆与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2(Ax0By0C)2.

x2y22128. 已知椭圆ab（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.

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222211114abab22222222S|OP||OQ|ab（（1）;2）|OP|2+|OQ|2的最大值为ab（;3）OPQ的最小值是ab.

x2y22129. 过椭圆ab（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN|PF|e|MN|2. 的垂直平分线交x轴于P，则

10.

x2y2212已知椭圆ab（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平

a2b2a2b2x0P(x0,0)aa. 分线与x轴相交于点, 则

11.

x2y2212ab设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点

2b22|PF||PF|Sbtan12PF1F2F1PF21cos2. 记，则(1).(2)

12.

x2y2212ab（ a＞b＞0）PAB, 设A、B是椭圆的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

2ab2|cos||PA|22accos2.(2) PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)tantan1e2.(3)

SPAB2a2b22cotba2.

13.

x2y2212已知椭圆ab（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F

的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

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14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的经典结论

双曲线

1.

x2y2212ab双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直

x2y2212线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是ab.

2.

x2y2212过双曲线ab（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直

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线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且

kBCb2x02ay0（常数）.

3.

x2y2212若P为双曲线ab（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2

cacatancottancot22（或ca22）. 是焦点, PF1F2, PF2F1，则ca4.

x2y2212ab设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双

曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

since(sinsin)a.

5.

x2y2212ab若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则

当1＜e≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6.

x2y2212abP为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一

定点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

7.

x2y2212ab双曲线（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是

A2a2B2b2C2.

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8.

x2y2212已知双曲线ab（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，

且OPOQ.

2211114ab222222S（1）|OP||OQ|ab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为ba;（3）OPQ的最小值

a2b222ba是.

9.

x2y2212ab过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N

|PF|e|MN|2. 两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

10.

x2y2212已知双曲线ab（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直

a2b2a2b2x0x0P(x0,0)aa. 平分线与x轴相交于点, 则或

11.

x2y2212设P点是双曲线ab（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其

2b22|PF||PF|Sbcot12PF1F21cos.(2) 2. 焦点记F1PF2，则(1)

12.

x2y2212ab设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，

PAB, PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有

2ab2|cos||PA|222|accos|. (1)

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2tantan1e(2) .(3)

SPAB2a2b22cot2ba.

13.

x2y2212已知双曲线ab（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右

焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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