平面向量中三点共线

知识梳理

(一）、对平面内任意的两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是：存在唯一的实数

，使ab由该定理可以得到平面内三点共线定理：

（二）、三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O,存在唯一的一对实数x,y使得:OPxOAyOB且

OPxOAyOB。

特别地有:当点P在线段AB上时，x0,y0

当点P在线段AB之外时，xy0

典例剖析

例1、 已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足APxAByAC,x.yR,则

14 的最小值是 xy分析：点P落在ABC的边BC上 B,P,C三点共线

APxAByAC xy1　且x>0,y>0

141414y4xy4x ()1()(xy)　 145xyxyxyxyxyy4xy4xy4x0,0 由基本不等式可知：24，取等号xyxyxyx>0,y>0时合

y4xy24x2y2xxyx0,y0y2x12xy1x,y,符

33所以

14的最小值为9 xy点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.

12例2、在△ABC中，ANNC，点P是BC上的一点，若APmABAC，则

311实数m的值为（ ） A． 分

析

：

B,P,N9532 B. C。 D。 11111111三点共线

m,

8111又

APmAB228ACmAB4ANmABAN111111m3，故选C 11

例3、在△ABC中，点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝ 值为 ．

mAM，AC＝nAN，则m＋n的

：因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：AO1(ABAC) 2AB＝mAM，ACnAN

AOAO1(mAMnAN) 2mnAMAN 22又M,O,N三点共线，

图4 由平面内三点共线定理可得:

mn1 mn2 22

变式、直线l过ABCD的两条对角线AC与BD的交点O,与AD边交于点N，与AB的延长线交于点M。又知AB＝ mAM，AD＝nAN，则m＋n=

分析:因为点O两条对角线AC与BD的交点,所以点O为AC的中点

AO1(ABAD) 2AB＝ mAM,AD＝nAN

AO1mn(mAMnAN)AMAN 又M,O,N三点共线， 222mn1 mn2 22由平面内三点共线的向量式定理可得：

例4、点G是△OAB的重心,P、Q分别是边OA、OB上的动点,且P、G、Q三点共线．设

OPxOA，OQy OB,证明：

11是定值； xy证明:因为G是OAB的重心，

211分析：OG(OAOB)(OAOB)

323OPxOAOA1OP OQyOBxOB1OQ y1111OG(OAOB)(OPOQ)33xyOG11OPOQ 3x3y又P,G,Q三点共线，1111111 3 为定值3 3x3yxyxy

例5、如图所示,在平行四边形ABCD中，AE11AB,AFAD,CE与BF相交34于G点，记ABa，ADb，则AG_______

分析:本题是以平面几何为背景,为载体,求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E，G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

解:

E,G,C三点共线,由平面内三点共线定理可得:存在唯一的一对实数x使

得

AGxAE(1x)AC , AE11ABa,ACab 3312xAGxa(1x)(ab)(1)a(1x)b…………………①

33又F,G,B三点共线,由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得

AGAB(1)AF AF11ADb,， 441AGa(1)b…………………………… ②

462x

x17 AG3a1b 3由①②两式可得：7711x374点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G，C三点在一条直线上）

变式2、在三角形ABC中，AM﹕AB=1﹕3，AN﹕AC=1﹕4,BN

与CM相交于点P，且ABa，ACb，试用a、b表示AP

A

C

N M

P B

解：

N,P,B三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数

x,y使得APxAByAN,xy1 ，

AN

﹕

AC=1

﹕

4,

yy1x11ANACbAPxABACxabxab……①

44444又C,P,M三点共线,由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得

APAMAC,1 ∵AM﹕AB=1﹕3 ∴AMAP11ABa，, 333ab1ab…………………………… ② 331xx311 由①②两式可得：1x2114AP32ab 1111xy1,y8 11 练习：

O1。OAB,点P在边AB上，AB3AP，设OAa,OBb,则OP （ ）

aAPbBA. C.

1221ab B.ab 33331221ab D.ab 33332、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1），B（—1，3），若点C(x， y)满足OC=αOA+βOB，其中α,β∈R且α+β=1，则x， y所满足的关系式为（ ） A．3x+2y-11=0 B．（x—1）2+(y-2)2=5 C．2x—y=0 D．x+2y-5=0

14xy3.已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足APxAByAC,x.yR,则的最小值是

4、在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点,E是BC边的中点，连接DE交AC于点F。已知AB

a,ADb,则OF（ ）

A．

1a311b B．(a641b) C．(a61b) D．a61b 4

5、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形ABCD中,E、F分别

→→

是BC、CD的中点，DE交AF于H，记AB，、BC，分别为a、b，则错误!＝( ）

A．错误!a－错误!b B．错误!a＋错误!b C．－错误!a＋错误!b 错误!a－错误!b

D．－

6、（2008年广东卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，

AE的延长线与CD交于点F．若ACa，BDb，则AF（ ）

A．

112111abB．ab C．ab 423324

D．a132b 3

7、在平行四边形ABCD中，AEADb，则AG＝( ）

A．

11AB,AFAD，CE与BF相交于点G，记ABa，34212331ab B．ab C．ab 777777D．

42ab 77

8、在△ABO中，已知OC11OA,ODOB,,且AD与BC相交于点M，设OAa,OBb,42则OM_________(结果用a与b表示）