2021新高考数学专项训练题--函数综合问题(含解析)

函数综合问题

一、单选题（共21题；共42分）

1.（2020·长春模拟）下列与函数 A.

B.

定义域和单调性都相同的函数是（ ） C. 的定义域为 C. 的定义域是

，则

D. 的定义域为

2.（2019·黄冈模拟）已知函数 A.

B.

D. ，求函数

3.（2020高一上·利辛期中）已知 的定义域（ ）

A. [−1，5] B. [2，5] C. [−7，5] D. [−2，10] 4.（2020高一上·怀宁期中）函数 A.

B.

C.

；②

的定义域为（ ）

D. ；③

；④

，其中定义域

5.（2021·榆林模拟）下列四个函数：① 与值域相同的函数的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.（2020·泰安模拟）已知函数 A.

B.

C.

，则函数

的定义域为（ ） D.

的定义域为A，则

或

C.

，则

（ ） D. 的定义域为

，则不

7.（2019·山西模拟）已知函数 A.

或

B.

8.（2019·黄冈模拟）已知函数 A.

B.

是

的定义域为 C. 上的奇函数，且

D. 在

上是减函数，又

9.（2021·张家口模拟）设 等式 A.

B.

的解集是（ ）

C.

，则

单调递减 单调递增 单调递减 单调递增

D. （ ）

10.（2021·甘肃模拟）已知函数 A. 是奇函数，且在 B. 是奇函数，且在 C. 是偶函数，且在 D. 是偶函数，且在

1

11.（2021·甘肃模拟）设实数 小值为（ ） A. B. 12.（2021·韶关模拟）已知函数

，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最

C. D.

，若

，

，

，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）

A.

B.

C. ，记

C.

是定义在

，则不等式 C. 是定义在

D.

13.（2021·安徽模拟）已知 A.

B.

，则（ ）

D. 上的奇函数，

是

的导函数，

14.（2021·安庆模拟）已知

，且满足 A.

B.

的解集为（ ）

D.

时， 成立，则

，且满足当

的最大值为（ ）

上有

15.（2021·湖北模拟）已知函数

时， A.

上的奇函数，当

，

，若对任意

B. C. 上的奇函数

满足

D.

，且在

16.（2021·淄博零模）已知定义在

，则

（ ）

，都有

A. 2 B. C. -2 D. 17.（2021·江西一模）已知函数

，记

A.

B.

是定义在 ，

上的奇函数，对任意两个不相等的正数

，

，则（ ） D.

C.

，则

18.（2021·贵阳二模）若 A. 2 B.

的最小值为（ ）

C. 4 D.

19.（2021·贵阳二模）设函数 A.

B.

C.

，则满足 D. ，则函数

的 的取值范围为（ ）

零点的个数为（ ）

20.（2021·淮北模拟）已知函数

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 21.（2021·八省联考）已知 A.

B.

且

且

C.

且

D.

，则（ ）

二、多选题（共7题；共21分）

2

22.（2021·张家口模拟）已知函数 A. B. C. D.

的图象关于原点对称 在R上单调递增 是 在

的一个周期

上的最小值为

，若

，其导函数为 ，设 ，则（ ）

23.（2021·深圳模拟）已知函数 A.

B.

上的函数

，则下列不等式一定成立的有（ ）

D. ，且当

时，

.

C. 满足

24.（2021·天河模拟）定义在 若

，则实数 的取值可能是（ ）

A. B. C. D. 25.（2021·湖北模拟）已知函数 A.

B.

C.

，若

，则（ ）

D.

26.（2021·高州一模）已知函数 A. C.

有且只有一个极值点 B. 设 有且只有两个零点 D.

，则下列说法正确的是（ ）

，则

在

上单调递增

与

的单调性相同

27.（2021·高州一模）若 A.

28.（2021·八省联考）已知函数 A.

在

，则下列结论正确的是（ ） B.

C.

，

D.

，则（ ）

有两个零点 D.

是偶函数

单调递增 B. 在点

处切线的斜率为

C. 曲线

三、填空题（共2题；共2分）

29.（2021·湛江模拟）已知y=f(x)的图象关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，f(x+2)=f(-x)恒成立，当

时，f(x)=2x ， 则f(2021)=________.

30.（2021·吉安模拟）定义在

，若

上的函数

满足： ，则

，函数

________．

3

答案解析部分

一、单选题 1.【答案】 C 【解析】【解答】函数 A选项， B选项， C选项， D选项， 故答案为：C 【分析】分析函数 确选项.

2.【答案】 C 【解析】【解答】解： 即 即

，

的定义域为

．

的定义域为 ．

，

的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正

的定义域为

的定义域为 的定义域为 的定义域为

的定义域为

，在 ，不符合.

，在 ，不符合.

上为减函数，符合. ，在

上为减函数.

上为增函数，不符合.

故答案为：C．

【分析】由已知抽象函数的定义域列式，解出x的范围，即可求出3.【答案】 B 【解析】【解答】因为 所以 所以 故答案为：B 【分析】根据 求得答案. 4.【答案】 C

【解析】【解答】要使函数有意义，需满足

故答案为：C

，解不等式得

或

，所以定义域为

的定义域可得

，根据抽象函数定义域求法可得：

，即可

的定义域是

， ，

的定义域为[2，5]，

，即可得： ，即函数

的定义域.

4

【分析】要使函数有意义，需满足 5.【答案】 C ①函数 【解析】【解答】的定义域为

的定义域为 ，值域也为

故答案为：C.

【分析】根据基本初等函数的性质，逐个判断函数的定义域和值域，即可得出答案。 6.【答案】 D 【解析】【解答】令 若

有意义，则

即

即

，解得

.

.

，值域为

的定义域为 ，值域也为

，值域也为

；即定义域和值域相同；②函数 ；即定义域和值域相同；③指数函数

的定义域为

， 解关于的不等式组即为函数的定义域。

，即定义域和值域不同；④幂函数

，即定义域和值域相同；

故答案为：D. 【分析】根据 7.【答案】 D

【解析】【解答】已知函数 即 故选D

【分析】先求集合 8.【答案】 C 【解析】【解答】

函数

的定义域为

的定义域为

． ．

，

，即

，

，则

由

，得

的定义域为

故答案为：C．

【分析】利用构造法和换元法用复合函数的定义域求出函数f(x)的定义域，再利用换元法求出复合函数的定义域。 9.【答案】 B 【解析】【解答】因为 由于函数

在 ，则

是

上的奇函数，则

，

上也为减函数， 的大致图象如下图所示：

上是减函数，则该函数在

，作出函数

，再由补集运算即可得

.

，故

的定义域为

.

，所以

，得

，

定义域以及分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.

5

由 由 由

因此，不等式 故答案为：B.

，可得 ，可得

，可得

或

或

，

，此时 ，解得 .

；

.

的解集是

【分析】 由已知可得f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（4）=0，作出f（x）的大致图象，由函数的奇偶性可将不等式转化为10.【答案】 D 【解析】【解答】因为 且 所以 当 所以

是偶函数， 时， 在

单调递增，

， ，

，

,定义域关于原点对称，

，结合函数图象即可求解不等式的解集．

故答案为：D

【分析】 根据奇偶性的定义即可判断奇偶性，然后结合指数函数的性质可判断单调性． 11.【答案】 A

【解析】【解答】解：由题意 可得 所以函数

与

互为反函数，且 （或

与

得

的图像关于

，设

对称，

相切时 的值是不等式

，

，可得

，联恒成立

，

，

）的图像与直线 与直线 ，同时对

时 的最小值，设函数 可得

可得

相切的切点为 求导可得：

立可得 ，解得： ，

6

则 的最小值为 故答案为：A.

【分析】 设

，

， ，可得 与 互为反函数，且 与 的图像关于

对称，可得不等式调性、最值，可得t的范围． 12.【答案】 B

【解析】【解答】由题可知：

恒成立，只需不等式恒成立，运用参数分离和构造函数，求得导数和单

的定义域为 ，且

，

则 为偶函数， 上单调递增.又由

，当 时， ， 在

所以 故答案为：B

， ，故 .

【分析】 先判断函数的奇偶性及单调性，然后结合单调性及奇偶性即可比较大小。 13.【答案】 C

【解析】【解答】解：因为当 所以

，

时，

，当

时，

，

所以 所以 故答案为：C.

。

，

【分析】利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，再利用已知条件 代入法，进而求出a,b,c的值，从而比较出a,b,c的大小。 14.【答案】 D 【解析】【解答】

在

∴在 ∴在

上 上

，

为减函数，而

；在

，又函数

上 为奇函数，

，

，

；而

，

，

结合

7

∴在 不等式 ∴

故答案为：D.

上 . 等价于

.

或

，

【分析】函数g(x)=f(x)lnx,求出函数的导数，结合函数的单调性得到在(0,+∞)上，f(x)<0,在（-∞，0）上，f(x）>0,求出不等式的解集即可． 15.【答案】 B

【解析】【解答】由题意，函数 当

时，

时，

，可画出函数图象，如图所示.

是定义在

上的奇函数，当

，即

时，

， ，又由当

由图知，当 则当 当 若对任意 故答案为：B.

时， 时， 时，令

，

，解得 成立，所以

的最大值为

.

；

；

(舍去)，

【分析】由函数的奇偶性和题设条件求得函数图像，结合图像即可求解。 16.【答案】 D

【解析】【解答】解：因为定义在 所以 所以 又 所以 故答案为：D.

时有

，

，

，即函数

上的奇函数

满足

， 再根据， 画出

，

是周期为4的周期函数，

8

【分析】已知条件可得函数

是周期为4的周期函数，由

。

17.【答案】 A

【解析】【解答】解：不妨设 因为 即

在 因为函数

单调递减， 是定义在

，

是

上的偶函数 ，

所以 故答案为：A

【分析】 对任意两个不相等的正数 减，再证明

18.【答案】 C 【解析】【解答】因为 所以 则 故

， ，当且仅当

的最小值为4，

时等号成立，

，

是

，都有

，判断

在

单调递

，

上的奇函数， ，所以

，则

， ，

时有

， 可得

上的偶函数，根据单调性判断即可。

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，从而结合对数函数的定义域，进而求出

，从而利用均值不等式求最值的方法，进而求出

19.【答案】 B

【解析】【解答】由题意，

，

的最小值。

9

所以 ，

①当 解得 ②当 解得 综上所述，

时， ，所以 时， ，所以

，即 ； ，即

；

时 的取值范围为

，

，

，

故答案为：B。

【分析】利用分类讨论的方法结合分类讨论的解析式，从而结合并集的运算法则求出满足 的取值范围。 20.【答案】 A 【解析】【解答】因为 当 当 所以 所以 又因为当 所以 当 当 所以 所以 又当 所以 作出

在 在

时， 时，

时，

时， 在 在

时， 时，

，所以 ，当

上单调递减，在 上的最小值为

，当

时， ，

，

时， 上单调递增，

，

时，

时，

，所以

，当

上单调递减，在 上的最小值为

，且

；

，

，

， 的零点个数

， 时， 上单调递增，

， ， 与

图象的交点个数，

的

的函数图象如下图所示：

由图象可知 有 个交点，所以 有 个零点，

10

故答案为：A.

【分析】利用绝对值的定义结合函数 分段函数y=

的解析式画出分段函数y=

， 求出分段函数y=

的解析式，再利用

的图像，再画出函数y=1的图象，再利用函数的零点与

和y=1的图象，进而得出函数

两函数交点的横坐标的等价关系，从而结合两函数y=

零点的个数。

21.【答案】 D 【解析】【解答】因为 令 当 故 因为 故 因为 所以

故答案为：D．

【分析】因为

，故

，同理

，同理 在

时，

，则

，当

，故 ， 时， 为增函数， ，即

， ，故 ，

，

， ，

，同理 ，

为减函数，在

，故

，而 ，

，

，令 ，从而结合求导

的单调

的方法结合分类讨论的方法判断出函数的单调性，从而利用已知条件结合函数性，从比较出a,b，c的大小。 二、多选题 22.【答案】 A,C 【解析】【解答】 且 所以 由

是奇函数，所以

，得

恒成立，所以

递增，B项错误； 由

，得函数

的定义域是

的图象关于原点对称，A项正确；

，则 在

．

的定义域是

，其定义域关于坐标原点对称， ，

上单调递增，并不是在R上单调

，C项正确；

设

，当

时，

，

11

此时 ， ，D项错误.

，根据对勾函数的单调性， 在 上单调递减，

故答案为：AC．

【分析】 根据函数的奇偶性判断A，求出函数的导数，根据函数的单调性判断B，结合三角函数的性质判断C，通过换元思想以及三角函数的性质判断D． 23.【答案】 B,D 【解析】【解答】易知

时，

与 同样

是 成立，

上的增函数，

成立，BD一定成立；

的大小关系不确定，A不一定成立； 与

的大小关系也不确定，如

时，

，C也不一定成立．

故答案为：BD．

【分析】 根据题意，分析可得f（x）在R上为增函数，由此分析选项，可得答案． 24.【答案】 A,B 【解析】【解答】设 由

是偶函数， 又

在

，而

递增，则其在

化为

，解得

故答案为：AB．

【分析】设

从而选出实数 的可能取值 。 25.【答案】 B,D 【解析】【解答】因为 由 又因为函数 由于二次函数

可得

，所以

，函数在

不是单调函数，所以当

，所以

，所以B符合题意； 上单调递增，所以

时，

，所以D符合题意； 在

上单调递增，

， 再利用偶函数的定义判断出函数g(x)为偶函数，再利用求导的方法判

断函数的单调性，再利用偶函数的性质结合函数的单调性，进而解绝对值不等式求出实数t的取值范围，

，A、B均满足。

时，

，所以

上递减，

，即

，所以

，

得

，

，即

，

不一定成立，所以A不符合题意；

12

由于函数 以C不符合题意. 故答案为：BD

，不是单调函数，所以当 时， 不一定成立.所

【分析】 利用导数判断函数的单调性，结合f（x1）＞f（x2），即可判断x1 ， x2的大小关系，然后逐个选项判断即可． 26.【答案】 A,C,D 【解析】【解答】解：由题知， 上单调递增，当

，使得

单调递增，所以 因为

时，

；当

，所以函数

有且只有一个极值点，A符合题意；

，所以

所以

的单调性不相同，B不符合题意； 因为

有且只有一个极值点

，

，且

，所以

在

和

，故

，所以

的一个极值点为 ，所以

与

，

时，

在

，所以

，所以存在

上单调递减，在

上在

上各有一个零点，所以 因为 题意．

故答案为：ACD．

与

在

有且只有两个零点，C符合题意；

上都是单调递增，所以

在

上单调递增，D符合

【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用零点存在性定理求出零点的个数，进而找出说法正确的选项。 27.【答案】 A,B,C 【解析】【解答】因为

，所以

，

，所以

，

所以 因为 因为 因为 所以

故答案为：ABC．

，所以 ，所以 ，所以

，D不符合题意．

，所以 ，

，

，A符合题意；

，B符合题意； ，C符合题意；

，

13

【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质和均值不等式求最值的方法结合对数函数的单调性，从而利用对数的运算法则推出A正确；再利用已知条件结合不等式的基本性质和指数 函数的单调性，从而推出B正确；再利用已知条件结合幂函数图象的单调性，从而推出C正确；再利用已知条件结合对数函数的单调性和与特殊值对应的对数大小关系比较，从而推出D错误，进而选出结论正确的选项。 28.【答案】 A,C 【解析】【解答】由

，

当 故 由 当 令

，

，C符合题意；

由函数的定义域为 故答案为：AC。

【分析】利用求导的方法判断函数的单调性；利用已知条件结合零点存在性定理，从而推出函数的零点个数；再利用求导的方法求出曲线在切点处的斜率；再利用偶函数定义判断出函数的奇偶性，进而找出正确选项。 三、填空题 29.【答案】

，即

故答案为：

【分析】 根据题意，由奇函数的定义可得y=f（x）是奇函数，则有f（-x）=-f（x），由此可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，进而可得f（2021）=f（1）=-f（-1），结合函数的解析式计算可得答案． 30.【答案】 2ln2 【解析】【解答】∵ 令

，则

，∴ ，

，故

；

的周期为

，不关于原点对称知，

不是偶函数，D不符合题意.

在

，当

时，

，

，

知函数的定义域为

，

单调递增，A符合题意；

时， ，所以

，

只有0一个零点，B不符合题意；

，故曲线

在点

处切线的斜率为

【解析】【解答】y=f(x)的图象关于坐标原点对称，则 又

，可得

14

而 故 又∵

故答案为：2ln2.

【分析】由已知可得

，即 ，该函数是奇函数 ，故 ； ，

，∴ .

， 令 是奇函数可求得

，则 的值。

，进而得出

， 结合函数

15