(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(答案解析)

一、选择题

1．已知log2a1log2b24，则ab的最小值为（ ） A．8

B．7

C．6

D．3

xy202．已知x，y满足约束条件xym0，若z3x4y的最大值为9，则m的值为

x30（ ） A．32

B．28

C．2

D．3

2xy03．已知实数x,y满足条件x2y0，则z2xy的最大值是（ ）

3xy5A．0

B．3

C．4

D．5

xy404．若实数x，y满足约束条件3xy40，则z3x2y的最大值是（ ）

xy0A．1

B．20

C．28

D．32

5．已知正实数a，b满足2a3b1，则A．15

B．823 12的最小值为（ ） abC．16

D．843 x2y406．己知x，y满足3xy30a0，且zx2y2，若z的最大值是其最小值的

2xay2065倍，则a的值为（ ） 4A．1

B．2

C．3

D．4

7．某校的一个者愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和.若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为（ ） A．15人

B．16人

C．17人

D．18人

xy108．设x，y满足约束条件3xy0，则zxy的最小值为（ ）

y30A．-1

B．2

C．4

D．5

x2y209．设x，y满足约束条件3x2y60，若目标函数zaxbya0,b0的最大

x0,y0值为12，则a2b2的最小值为（ ） A．

25 4B．

49 9C．

144 25D．

225 4910．已知maA．m＝n C．m＞n

21（a2）,n22b（b0），则m，n之间的大小关系是 a2B．m＜n D．不确定

x211．若实数x,y满足约束条件xy2，则zxy的最大值为（ ）

yxA．5

B．4

C．3

D．2

12．已知正数a，b满足ab2，则3A．36

B．42

228的最小值为( ) abC．49

D．60

二、填空题

13．已知xyx22xy1(y1)4x2，则42的最小值为_________

x4y30x2y214．已知变量x，y满足xy40，则点x,y对应的区域的的最大值为

2xyx1______．

xy10y15．已知实数x,y满足x2y80，则的最大值为_______．

x3x116．已知a0，b0，若a，1，b依次成等差数列，则17．已知正实数x,y满足xyxy，则

41的最小值为________． ab3x2y的最小值为______． x1y1y20y18．已知实数x,y满足不等式组xy10，则的取值范围为__________．

xxy3019．已知f(x)ex1e1x2a只有一个零点，则a____________． 20．某港口的水深y（米）随着时间t（小时）呈现周期性变化，经研究可用

yasin6tbcos6tc来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则ab的取值范围为_______．

三、解答题

21．已知mR，命题p：对任意x0,1，不等式2x2m23m恒成立；命题q：存在x1,1，使得max成立．

（1）若p为真命题，求m的取值范围；

（2）当a1时，若pq为真，pq为假，求m的取值范围．

1122．（1）若x0，y0，xy1，求证：4.

xyab（xy）()m，对任意的正实（2）已知实数a0，b0，且ab1，若不等式

xy数x,y恒成立，求实数m的取值范围．

23．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)

24．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售

4006x,0x40收入为R(x)万美元，且R(x)740040000，

,x40x2x（1）写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；

（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

25．已知a0，b0且ab3．

11log()的最大值及此时a，b的值； （Ⅰ）求3ab2a23b2（Ⅱ）求的最小值及此时a，b的值． ab126．已知a0，b0.

（1）求证：a3b2bab；

22（2）若ab2ab，求ab的最小值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

由对数运算可得出a1b216，利用基本不等式可求得ab的最小值. 【详解】

因为log2a1log2b24，即log2a1b24， 所以，a1b216且有a10，b20， 由基本不等式可得a1b22a1b28，所以，ab7，

所以(a1)(b2)16，且a10，b20， 当且仅当a1b24时等号成立. 因此，ab的最小值为7. 故选：B. 【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

2．D

解析：D 【分析】

xy20作出x，y满足约束条件xym0，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形

x30结合分析得zmax334m39，解得参数即可. 【详解】

xy20作出x，y满足约束条件xym0，表示的可行域如图中阴影部分所示，

x30由z＝3x-4y得y3z3zx，它表示斜率为纵截距为的一系列直线， 4444z最小，z最大. 4当直线经过点A时，直线的纵截距

由xym0，解得A(3，m－3)，

x3故zmax334m39，解得m3. 故选：D. 【点睛】

方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量x,y； （2）列出线性约束条件；

（3）确定线性目标函数zf(x,y)；

（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系yf(x)(z为参数).

3．C

解析：C 【分析】

画出满足条件的目标区域，将目标函数化为斜截式y2xz，由直线方程可知，要使z最大，则直线y2xz的截距要最大，结合可行域可知当直线y2xz过点A时截距最大，因此，解出A点坐标，代入目标函数，即可得到最大值. 【详解】

2xy0画出满足约束条件x2y0的目标区域，如图所示:

3xy5

由z2xy,得y2xz，

要使z最大，则直线y2xz的截距要最大，由图可知,当直线y2xz过点A时截距最大，

2xy0,解得A(1,2)， 联立3xy50所以z2xy的最大值为：1224， 故选:：C. 【点睛】

方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；

（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；

（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

4．C

解析：C 【分析】

画出可行域，向上平移基准直线3x2y0到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】

在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由xy40得点A(4,8)，

3xy40由图得当目标函数z=3x+2y经过平面区域的点A(4,8)时，z=3x+2y取最大值

zmax342828.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；

（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；

（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

5．D

解析：D 【分析】

妙用“1”的代换，利用【详解】

正实数a，b满足2a3b1， 则

12122a3b拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. abab12123b4a3b4a2a3b8828212843，当且abababab3b4a123133的最小值为843. ，即a时等号成立，故,babab46仅当

故选：D. 【点睛】 思路点睛：

利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用xy2xy，求和的最小值；

xy（2）和定，利用xy46．A

解析：A 【分析】

2，求积的最大值；

（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.

作出不等式组表示的图象，zxy可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】

根据不等式组作出图象，

22

则阴影部分即为可行域，

x2y40x2由解得，即A(2,3)，

3xy30y32xay20恒过(1,0)且a0，

因为zxy， z的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方， 由图点A(2,3)到原点的距离的平方最大，

22zmax223213，

z的最小值为原点到直线BC的距离的平方，

zmin24， 224a4a2zmax根据题意可得zmin故选：A. 【点睛】

136544，整理得4a25，解得a1或a1（舍去）. 4a2本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.

7．D

解析：D 【分析】

设高二学生人数为x，高三学生人数为y，根据题意列不等式组，画出不等式组表示的平面区域，根据不等式的解为整数，可得结果. 【详解】

设高二学生人数为x，高三学生人数为y，

yx7则，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，

3y7x

根据不等式的解为整数，则阴影部分只有A6,5满足，x6,y5， 该志愿者服务队总人数为76518人. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查二元一次不等式组的解的问题，于基础题.

8．B

解析：B 【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】

xy10解：由约束条件3xy0作出可行域如图，

y30

化目标函数zxy为yxz，由图可知，当直线yxz过点A时， 直线在y轴上的截距最小，z有最小值． 联立xy1013，解得A(，)．

223xy01232z的最小值为2．

故选：B． 【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．

9．C

解析：C 【分析】

根据z的最大值求得a,b的关系式，结合点到直线的距离公式，求得a2b2的最小值. 【详解】 由x2y20x4. 解得3x2y60y3画出可行域如下图所示，由于a0,b0，所以目标函数zaxbya0,b0在点

4,3取得最大值4a3b12.

a2b2的最小值等价于原点到直线4x3y120的距离的平方，

原点到直线4x3y120的距离为12324212， 512144.

所以a2b2的最小值为

255故选：C

2

【点睛】

本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

10．C

解析：C 【解析】

因为a＞2，所以a－2＞0，所以ma11a22 a2a222a214，当且仅当a＝3时取等号，故m[4，)．由b≠0得b2＞a220，所以2－b2＜2，所以22b＜4，即n＜4，故n0,4．综 上可得m＞n，故选C．

11．B

解析：B 【分析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值． 【详解】

解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由zxy得yxz，平移直线yxz，

由图象可知当直线yxz经过点B时，直线yxz的截距最大， 此时z最大．由x2解得B(2,2)． yx代入目标函数zxy得z224． 即目标函数zxy的最大值为4． 故选：B． 【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题．

12．C

解析：C 【分析】

22ba9b4a由已知可得(3)(8)(4)(9)37，然后结合基本不等式即可求解．

ababab【详解】

解：因为正数a，b满足ab2，

22ba9b4a9b4a37249， 所以(3)(8)(4)(9)37abababab当且仅当a故选：C． 【点睛】

64，b时取等号． 55本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．

二、填空题

13．【分析】依题意可得再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为所以

所以所以所以所以所以所以当且仅当即时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正——各项均为正 解析：22

【分析】

依题意可得2xy1，再利用基本不等式计算可得； 【详解】 解：因为xy所以x221(y1)4x2，

x221(y1)4x2xy，

2222(y1)4x2xyx22x2xyxy， 所以x122所以4xy2y14x4xy， 所以2xy22xy10， 所以2xy10， 所以2xy1，

所以4x2y24x2y222xy22，当且仅当4x2y，即x故答案为：22 【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

222211

，y时取等号；

2414．【分析】作出可行域令所以利用函数的单调性即可求最值【详解】由解得：所以由解得：所以表示可行域内的点与原点连线的斜率所以令所以在单调递减在单调递增当时当时所以的最大值为故答案为：【点睛】思路点睛：非线

5解析：

3【分析】 作出可行域，令

yy7t，kOAkOB，所以t,3，

xx13y11t，利用函数的单调性即可求最值. x2tx2y21x2xy2y【详解】

13xx4y301375由解得：，所以A,，

55xy40y75x1x1由解得：，所以B1,3，

y3xy40yy表示可行域内的点与原点连线的斜率，所以kOAkOB, xxkOA70y73075，kOB3，令t,3，

13x10130135x2y21x所以

2xy2yy11t， x2t17yt在,1单调递减，在1,3单调递增，

t131713109y当t3时，， 213791当t75时，y1153， 233x2y25所以的最大值为，

2xy3故答案为：【点睛】 思路点睛：

非线性目标函数的常见类型及解题思路：

5. 3baybaaac0表示的是可行域内的点x,y与点d,b1.斜率型：zcxdcxdcaca连线所在直线的斜率的倍；

cy2.距离型：（1）zxayb表示的是可行域内的点x,y与a,b之间距离的

22平方；

（2）zAxByCA2B2AxByCAB22表示的是可行域内的点x,y到直线

AxByC0的距离的A2B2倍.

15．【分析】根据约束条件画出可行域目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率从而找到最大值时的最优解得到最大值【详解】根据约束条件可以画出可行域如下图阴影部分所示目标函数可以看成是可行域内的点和的连线

7解析：

8【分析】

根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点x,y和3,0的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值. 【详解】

xy10根据约束条件x2y80可以画出可行域，

x1如下图阴影部分所示，

y可以看成是可行域内的点x,y和3,0的连线的斜率， x3因此可得，当在点A时，斜率最大

目标函数

x1x2y80联立，得7

x1y2即A1,

72707 2所以此时斜率为，

138故答案为

7. 8

【点睛】

本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题.

16．【分析】由a1b依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定

9解析：

2【分析】

由a，1，b依次成等差数列，可得ab2，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案． 【详解】

a0，b0，且a，1，b依次成等差数列， ab2，

4114114ba14ba9ab41(52)， ab2ab2ab2ab244ba2，即a，b，取等号， ab33当且仅当故

914

的最小值为． ab29． 2故答案为：【点睛】

本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．

17．【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才

解析：526. 【详解】

111xy113x2y32x,yxyxy 正实数满足，11111xyx1y1111xyxy113121y3x2y3211x故得到（）（）=5++5+26

11x1y11111xy11xyxy等号成立的条件为2111=31-. xy点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

18．【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单的线性规

1

解析：,2

2

【分析】 作出可行域，即可求解. 【详解】

y表示x,y与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值x

y20y如图，不等式组xy10表示的平面区域ABC（包括边界），所以表示x,yxxy30与（0，0）连线的斜率，因为A1,2，B2,1，所以kOA2，kOB【点睛】

y11，故,2.

x22本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.

19．【分析】由函数只有一个零点转化为方程有唯一的实数解结合基本不等式求得得到即可求解【详解】由题意函数只有一个零点即有唯一的实数根即方程有唯一的实数解令因为所以当且仅当时即等号成立因为方程有唯一的实数解 解析：1

【分析】 由函数f(x)e解，

结合基本不等式，求得ex1e1x2ex1e1x2，得到2a2，即可求解. 【详解】

由题意，函数f(x)ex1x1e1x2a只有一个零点，转化为方程ex1e1x2a有唯一的实数

e1x2a只有一个零点，

即fx0有唯一的实数根，即方程ex1e1x2a有唯一的实数解， 令gxe因为ex1x1e1x

0,e1x0，所以gxex1e1x2ex1e1x2，

当且仅当ex1e1x时，即x1等号成立，

因为方程ex1e1x2a有唯一的实数解，所以2a2，即a1. 故答案为：1. 【点睛】

本题主要考查了根据函数的零点公式求解参数问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把函数的零点个数转化为方程解得个数，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

20．【分析】由已知结合辅助角公式可求然后结合基本不等式即可求解【详解】由题意可知（为辅助角）由题意可得故由解得故答案为【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用属于中档题

3232,解析： 22【分析】

9aba2b2由已知结合辅助角公式可求ab，然后结合基本不等式即可求422222解. 【详解】

由题意可知yasin6tbcostca2b2sintc，（为辅助角） 6622由题意可得2a2b23，故ab29， 4aba2b293232由，解得， ab222823232,故答案为. 22【点睛】

本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题.

三、解答题

21．（1）1,2；（2）,1【分析】

2（1）由p为真命题，若fx2x2x0,1，只需fxminm3m恒成立，即

1,2．

可求m的取值范围；

（2）若q为真时m1，结合已知条件：讨论p真q假、p假q真，分别求得m的范围，取并集即可. 【详解】

解：（1）对任意x0,1，不等式2x2m23m恒成立，

2令fx2x2x0,1，则fxminm3m，

当x0,1时，fxminf02，即m23m2，解得1m2． 因此，当p为真命题时，m的取值范围是1,2．

（2）当a1时，若q为真命题，则存在x1,1，使得mx成立，所以m1；故当命题q为真时，m1．

又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题． 当p真q假时，由1m2，得1m2；

m1当p假q真时，有m1或m2，且m1，得m1． 综上所述，m的取值范围为,1【点睛】 关键点点睛：

（1）函数不等式在闭区间内恒成立，有fxminm3m求参数范围.

21,2．

（2）由复合命题的真假讨论简单命题的真假组合，并求对应参数范围取并集即可.

22．（1）见解析；（2）(,4). 【详解】

试题分析：（1）第（1）问，利用常量代换和基本不等式证明. （2）第（2）问，利用基本不等式求解. 试题

（1）证明：∵xy1,x0,y0

yx11xyxyyx0,022214 ∴ ∴xyxyxyxy1时，等号成立. 2（2）因为a,b,x,y为正实数，

当且仅当xyabaybxxy所以abab2ab2ab2ab 4ab4，

xyxy当且仅当ab，

aybx，即ab，xy时等号成立，故只要m4即可，所以实数xym的取值范围是,4

23．(1)3. (2)5. 【解析】 试题分析：

（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 试题

（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为则由∵

,可得

万元，

，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；

（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出， ∴二手车出售后,小张的年平均利润为当且仅当

时，等号成立

，

∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式

6x2384x40,0x4024．（1）W40000；（2）当x＝32时，W取得最大值为6104

16x7360,x40x万美元. 【分析】

（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式； （2）分段求出函数的最大值，比较可得结论． 【详解】

（1）利用利润等于收入减去成本，可得

当0x40时，WxR(x)(16x40)6x2384x40； 当x40时，WxR(x)(16x40)4000016x7360 x6x2384x40,0x40W40000；

16x7360,x40x（2）当0x40时，W6x2384x406(x32)26104，

x32时，WmaxW(32)6104；

当x40时，W当且仅当

400004000016x7360216x7360， xx4000016x，即x50时，WmaxW(50)5760 x61045760

x32时，W的最大值为6104万美元． 【点睛】

本题考查分段函数模型的构建，考查利用均值不等式求最值，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题. 25．（Ⅰ）ab113时，log3取得最大值为2；（Ⅱ）a623，ab22b323，最小值为33； 2【分析】

（Ⅰ）利用“乘1法”与基本不等式的性质，对数函数的单调性即可得出； （Ⅱ）先对已知式子进行化简，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】 解：（Ⅰ）当且仅当log1133abab2baab3a3b3a3b33a3b2ba42， 33a3b33ba且ab3，即ab时取等号， 3a3b2411log2即最大值为2， 33ab322（Ⅱ）ab3，

a23b2313131a(b1)ab12

ab1ab1ab1ab131ab13(b1)a3(b1)a32()()3323，

ab1444a4(b1)4a4(b1)2当且仅当

3(b1)a且ab3，即a623，b323时取等号， 4a4(b1)【点睛】

本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．（1）证明见解析；（2）1. 【分析】

（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证. （2）根据ab2ab，可得2abab2ab，从而得到ab1，进而求得

ab1，注意等号成立的条件，得到结果.

【详解】

证明：（1）∵a23b22baba22abb2ab0， ∴a3b2bab.

222（2）∵a0，b0，

∴2abab2ab，即2ab2ab， ∴

ab1，∴ab1.

当且仅当ab1时取等号，此时ab取最小值1. 【点睛】

该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.