石楼县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷

一、选择题

1． 高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

2． 若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α相交但不垂直

3． 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） A．512个

B．256个

C．128个

D．64个

4． 执行如图所示的程序框图，则输出结果S=（ ）

A．15 5． 记

B．25 C．50 D．100

,那么

ABC

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D

+2α）=（ ）

6． 已知tanα=3，α∈（0，π），则cos（A．

B．

C．

x D．

7． 函数fxalogax1有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）

A．1,10 B．1, C．0,1 D．10, 8． 已知a，b是实数，则“a2b＞ab2”是“＜”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9． 集合Mx|x4k2,kZ，Nx|x2k,kZ，Px|x4k2,kZ，则M，

N，P的关系（ ）

A．MPN B．NPM C．MNP D．MPN 10．a2,b4,c25，则（ ）

A．bac B．abc C．bca D．cab

432513二、填空题

11．设函数f(x)x3(1a)x2ax有两个不同的极值点x1，x2，且对不等式f(x1)f(x2)0 恒成立，则实数的取值范围是 ．

12．设幂函数fxkx的图象经过点4,2，则k= ▲ ． 13．设α为锐角， =（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=

，则sin（α+

）= ．

314．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数fxx2x，若曲线fx在点1,f1处的切线经2过圆C:xya2的圆心，则实数a的值为__________．

215．圆心在原点且与直线xy2相切的圆的方程为_____ .

【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题. 16．已知变量x，y，满足

，则z=log4（2x+y+4）的最大值为

．

三、解答题

17．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试．

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（Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率； （Ⅱ）若设选出男生的人数为X，求X的分布列和EX．

18．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元） （1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．

19．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a的值；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；

（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

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20．某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一 次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指 数不低于70，说明孩子幸福感强）．

（1）根据茎叶图中的数据完成22列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留 守儿童有关？ 留守儿童 非留守儿童 总计 幸福感强 幸福感弱 总计 1111] （2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访， 求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．

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n(adbc)2参考公式：K

(ab)(cd)(ac)(bd)2附表：

P(K2k0) k0

21．（本小题满分12分）

0.050 3.841 0.010 6.635 112xyx2y222设椭圆C:221(ab0)的离心率e，圆xy与直线1相切，O为坐标原

27abab点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q(4,0)任作一直线交椭圆C于M,N两点，记MQQN，若在线段MN上取一点R,使 得MRRN，试判断当直线运动时，点R是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方 程；若不是，请说明理由.

22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．

（1）求证：BD⊥平面AA1C1C； （2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．

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石楼县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】 D

，乙射中的概率为，

【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为故两人都击不中的概率为（1﹣故目标被击中的概率为1﹣故选：D． 属于基础题． 2． 【答案】B

【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4）， ∴=﹣2， ∴∥， 因此l⊥α． 故选：B．

3． 【答案】D

=

）（1﹣）=，

，

【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，

=6次，

【解析】解：经过2个小时，总共分裂了故选：D．

6

则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到2=64个．

【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．

4． 【答案】C 故选：C．

【解析】解：根据程序框图，S=（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣97+99）=50，输出的S为50．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．

5． 【答案】B 【解析】【解析1】

,

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所以【解析2】

，

6． 【答案】C 【解析】解：∵tanα=3， ∴cos（=cos（=﹣sin2α =﹣2sinαcosα =﹣=﹣=﹣=﹣=﹣． 故选：C．

7． 【答案】B 【解析】

+2α） +2α）

1试题分析：函数fx有两个零点等价于y与ylogax的图象有两个交点，当0a1时同一坐标

a系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当a1时同一坐标系中做出两函数图象如图

（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.

x第 8 页，共 16 页

y22y11-3-2-1-1O123x-4-3-2-1-1O1234x-2-2

（1） （2）

考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.

【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方法：函数yfx零点个数就是方程fx0根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周程yfx零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数ygx,yhx的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为ya,ygx的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 8． 【答案】C

【解析】解：由a2b＞ab2得ab（a﹣b）＞0， 若a﹣b＞0，即a＞b，则ab＞0，则＜成立，

若a﹣b＜0，即a＜b，则ab＜0，则a＜0，b＞0，则＜成立， 若＜则

，即ab（a﹣b）＞0，即a2b＞ab2成立，

即“a2b＞ab2”是“＜”的充要条件， 故选：C

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．

9． 【答案】A 【解析】

试题分析：通过列举可知MP2,6考点：两个集合相等、子集．1 10．【答案】A 【解析】

试题分析：a4,b4,c5，由于y4为增函数，所以ab.应为yx为增函数，所以ca，故

23252323,N0,2,4,6，所以MPN.

x第 9 页，共 16 页

bac.

考点：比较大小．

二、填空题

11．【答案】(,1]【解析】

3322试题分析：因为f(x1)f(x2)0,故得不等式x1x21ax1x2ax1x20,即

1,2 2xxx1x21223x1x21ax1x22x1x2ax1x20,由于

f'x3x221axa,令f'x0得方程3x221axa0,因4a2a10 , 故

22xx1a11232，代入前面不等式,并化简得1a2a5a20,解不等式得a1或a2，2xxa12311因此, 当a1或a2时, 不等式fx1fx20成立,故答案为(,1],2.

22考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.

【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数fx的到函数，令f'x0考虑判别式大于零，根据韦达定理求出数的取值范围.111] 312．【答案】

2【解析】

x1x2,x1x2的值，代入不等式f(x1)f(x2)0，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实

13试题分析：由题意得k1,42k

22考点：幂函数定义 13．【答案】：

【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=∴1﹣sin2α=，得sin2α=， ∵α为锐角，cosα﹣sinα=∴cos2α=

=

⇒α∈（0，，

），从而cos2α取正值， ，

．

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∵α为锐角，sin（α+∴sin（α+

）

）＞0，

=

．

故答案为：14．【答案】2

．

===

【解析】结合函数的解析式可得：f11211，

3对函数求导可得：f'x3x2，故切线的斜率为kf'13121，

22则切线方程为：y11x1，即yx2，

22圆C：xya2的圆心为0,a，则：a022.

15．【答案】x2y22

【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线xy2的距离，所以rd|002|2，故圆的方程为2x2y22.

16．【答案】 【解析】解：作

易知可行域为一个三角形， 验证知在点A（1，2）时， z1=2x+y+4取得最大值8， ∴z=log4（2x+y+4）最大是， 故答案为：．

的可行域如图：

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【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

三、解答题

17．【答案】

44

【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C7=35种情况；若4人全是男生，共有C8=70种情况；

故全为女生的概率为=．…

4

（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C15，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4… P（X=0）=

=

；P（X=1）=

=

；P（X=2）=

=

；

P（X=3）==；P（X=4）==．…

故X的分布列为 X 0 1 2 P EX=0×

+1×

+2×

3 +3×

4 +4×

=

．…

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．

18．【答案】

【解析】解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元， 由题设f（x）=k1x，g（x）=k2由图知f（1）=，∴k1= 又g（4）=，∴k2=

，（k1，k2≠0；x≥0）

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从而f（x）=，g（x）=（x≥0）

（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业的利润为y万元 y=f（x）+g（10﹣x）=令

，∴

，（0≤x≤10），

（0≤t≤

）

当t=，ymax≈4，此时x=3.75

∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．

【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得： 10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1， 解得a=0.03．

（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：

=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．

（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B， 数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F， 若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生， 则所有的基本事件有：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E）， （B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个， 如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内， 则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，

则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，

所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=图和列举法的合理运用．

20．【答案】（1）有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；（2）

．

【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方

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【解析】

试题解析：（1）列联表如下： 幸福感强 留守儿童 非留守儿童 总计 2

幸福感弱 9 7 16 总计 15 25 40 6 18 24 40(67918)243.841． ∴K15252416∴有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关．

（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：a1，a2；幸福感强的孩子3人，记作：b1，b2，

b3．

“抽取2人”包含的基本事件有(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(b1,b2)，

(b1,b3)，(b2,b3)共10个．

事件A：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)共6个． 故P(A)63． 105考点：1、 茎叶图及独立性检验的应用；2、古典概型概率公式.

x2y21；（2）点R在定直线x1上. 21．【答案】（1）43【解析】

试

题解析：

ab1e2122122（1）由e，∴2，∴3a4b，又， 222a47ab第 14 页，共 16 页

x2y21. 解得a2,b3，所以椭圆C的方程为43设点R的坐标为(x0,y0)，则由MRRN，得x0x1(x2x0)， 解得x0

x1x21x1x14x2x242xx4(x1x2)12

x14(xx)8121x2464k21232k2244又2x1x24(x1x2)2，

34k234k234k232k2242x1x24(x1x2)(x1x2)88，从而x1， 02234k34k(x1x2)8故点R在定直线x1上.

考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 22．【答案】

【解析】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1， ∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，

∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形， 同理△ABC1是等边三角形，

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∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1， ∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，

平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1， ∴BD⊥平面AA1C1C．

（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 平面ABC1的一个法向量为由题意可得

，

，1，1），

，设平面ABC的法向量为

，则

， ，

所以平面ABC的一个法向量为=（∴cosθ=

．

即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于

．

【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．

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