函数及其基本性质-人教A版高中数学必修1课时训练(含答案)

1.2.1函数的概念

双基达标 限时20分钟

1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )． A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1 C．x－2y＝6 D．x＝y

解析 对A，由x＝y2＋1，得y＝±x－1，即当给定一个自变量值(如x＝4)，有两个y值与之对应，不符合函数定义． 答案 A

2．函数y＝1－x＋x的定义域是( )． A．{x|x≥0}

B．{x|x≥1} D．{x|0≤x≤1}

C．{x|x≥1}∪{0}

1－x≥0

解析 由得0≤x≤1，故选D.

x≥0，答案 D

3．与y＝|x|为相等函数的是( )． A．y＝(x)2

B．y＝x2 3

D．y＝x3

x x>0

C．y＝

－x x<0

解析 对A，定义域不同；对C，定义域不同；对D，值域不同． 答案 B

4．给出下列函数：

①y＝x2－x＋2，x>0；②y＝x2－x，x∈R；③y＝t2－t＋2，t∈R；④y＝t2－t＋2，t>0. 其中与函数y＝x2－x＋2，x∈R是相等函数的是________．

解析 对①④定义域不同；对②，对应关系不同，对③，虽然表示自变量的字母不同，但函数三要素相同，故③与该函数是相等函数． 答案 ③

5．如果函数f：A→B，其中A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为________． 解析 由题意知，对a∈A，|a|∈B，

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故函数值域为{1,2,3,4}． 答案 {1,2,3,4}

6．已知函数f(x)＝x2－4x＋5，f(a)＝10，求a的值． 解 由f(a)＝10，得a2－4a＋5＝10， 即a2－4a－5＝0， ∴(a－5)(a＋1)＝0， ∴a＝5或a＝－1.

综合提高 限时25分钟

7．下列各组函数表示相等函数的是( )． x2－9

A．y＝与y＝x＋3

x－3B．y＝x2－1与y＝x－1 C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)

D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z

解析 A中两函数定义域不同，B、D中两函数对应关系不同，C中定义域与对应关系都相同． 答案 C

x2－1f2

8．设f(x)＝2，则1＝( )．

x＋1f233

A．1 B．－1 C.5 D．－5 12

－1

2－13123

解析 ∵f(2)＝2＝5，f2＝1＝－5，

22＋1

2＋1

2

f235

∴1＝5×－3＝－1.



f2答案 B 9．y＝x＋4

的定义域为________． x＋2

x＋4≥0，

解析 依题意知∴x≥－4且x≠－2.

x≠－2，

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答案 {x|x≥－4且x≠－2}

10．集合{x|－1≤x<0或1x＋2

6－2x－1

的定义域，并用区间表示．

解 要使函数式有意义，需满足



x＋2≥0

6－2x≥0⇔2

x≤3－2≤x≤3，且x≠6－2x≠1

x≥－2.

x≠52

⇔5

∴函数的定义域是x|－2≤x≤3，且x≠52

. 用区间表示为－2，52∪52，3

. 12．(创新拓展)若函数f(x)的定义域为[－2,1]，求g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域．解 要使g(x)有意义，必须有 －2≤x≤1，－2≤x≤－2≤－x≤1， 即1，

－1≤x≤2，

∴－1≤x≤1，

∴g(x)的定义域为[－1,1]．

1.2.2函数的表示法

双基达标 限时20分钟

1．若g(x＋2)＝2x＋3，g(3)的值是( )． A．9 B．7 C．5 D．3

解析 令x＋2＝3，则x＝1，∴g(3)＝2×1＋3＝5. 答案 C

2．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( A．y＝1 B．y＝22x 4x

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)． 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

C．y＝

22x D．y＝x 816

2122

解析 正方形的对角线长为4x，从而外接圆半径为y＝2×4x＝8x. 答案 C

3．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是( )．

解析 对C，当x＝0时，有两个不同的值与之对应，不符合函数概念，故C不可能作为函数图象． 答案 C

4．已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为________． 37

解析 ∵f(2x＋1)＝3x－2＝2(2x＋1)－2， 37

∴f(x)＝2x－2，

37

∴f(a)＝4，即2a－2＝4， ∴a＝5. 答案 5

5．已知f(x)与g(x)分别由下表给出

x f(x)

x g(x) 那么f(g(3))＝________.

解析 ∵g(3)＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝1. 答案 1

6．已知函数f(x)是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f(3)＝14，f(－2)＝8＋52，求f(x)的解析式．

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1 4 1 3 2 3 2 1 3 2 3 4 4 1 4 2 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则由题意，得

c＝2，

9a＋3b＋c＝14，2a－2b＋c＝8＋5

2，

c＝2，解得a＝3，

b＝－5.

1

所以f(x)＝3x2－5x＋2.

综合提高 限时25分钟

7．下列表格中的x与y能构成函数的是( )． A.

x y B.

x y C.

x y D.

x y 自然数 1 整数 0 有理数 －1 有理数 1 无理数 －1 奇数 1 0 0 偶数 －1 非负数 非正数 －1 解析 A中，当x＝0时，y＝±1；B中0是偶数，当x＝0时，y＝0或y＝－1；D中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x＝1∈N(Z，Q)，故y的值不唯一，故A、B、D均不正确． 答案 C

8．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是( )． A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1 C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4 解析 令x＋1＝t，则x＝t－1， ∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1， ∴f(x)＝3x－1. 答案 C

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9．下列图形中，可以是函数y＝f(x)图象的是________．

答案：①②③

10．若f(2x)＝4x2＋1，则f(x)的解析式为________． 解析 f(2x)＝4x2＋1＝(2x)2＋1，∴f(x)＝x2＋1. 答案 f(x)＝x2＋1

11．作出下列函数的图象：

(1)f(x)＝x＋x0；(2)f(x)＝1－x(x∈Z，且－2≤x≤2)． 解 (1)如图1 (2)如图2

12．(创新拓展)已知函数f(x)对任意实数a、b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立． (1)求f(0)与f(1)的值； 1

(2)求证：fx＝－f(x)；



(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均为常数)，求f(36)的值． (1)解 令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0； 令a＝1，b＝0，得f(0)＝f(1)＋f(0)，解得f(1)＝0. 11

(2)证明 令a＝x，b＝x，得f(1)＝fx＋f(x)＝0，

1

∴fx＝－f(x)． 

(3)解 令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p， 令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q. 令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.

1.2.2分段函数与映射

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双基达标 限时20分钟

1．下列对应不是映射的是( )．

解析 应满足一对一或多对一，且M中元素无剩余． 答案 D

2．以下几个论断：

①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y＝x－1，x∈Z且x∈(－3,3]的图象是一条线段； ③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D1∩D2＝∅. 其中正确的论断有( )．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

解析 函数是特殊的映射，由此知①正确；②中的定义域为{－2，－1，0,1,2,3}，它的图象是直线y＝x－1上的六个孤立的点，因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确． 答案 C

b a≥b，3．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是( )．

a aB．(－∞，1)

C．(－∞，＋∞) D．(1，＋∞)

2－x x≥1，

解析 由题意知f(x)＝当x≥1时，2－x≤1；当x<1时，x<1，∴f(x)∈(－

x x<1，∞，1]． 答案 A

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x2， x<0

4．下列图形是函数y＝的图象的是________．

x－1，x≥0

解析 由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x<0时，y＝x2，则函数是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分．因此只有图形③符合． 答案 ③

5．已知f(x)＝2x，x<0，

x2，x≥0，

若f(x)＝16，则x的值为________．

解析 当x<0时，2x＝16，无解；当x≥0时，x2＝16，解得x＝4. 答案 4

16．作出函数y＝x

0x x≥1

的图象，并求其值域．

解 当0x的图象是反比例函数图象的一部分． 当x≥1时，图象为直线y＝x的一部分． 如图所示，由此可知，值域y∈[1，＋∞)．

综合提高 限时25分钟

7．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )．

解析 f(x)＝|x－1|＝x－1 x≥1，

1－x x<1，

其图象为B.

答案 B

8．设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下列的对应不表示从P到Q的映射的是(----完整版学习资料分享----

)．

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11

A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x

232

C．f：x→y＝3x D．f：x→y＝x

解析 判断是否是映射，只需判断集合P中任何一个元素能否在集合Q中找到唯一确定的元素与它对应．由于是选择题，可直接找出不是映射的对应．通过对比发现，在对应关系f：228

x→y＝3x的作用下，4×3＝3>2.故选C. 答案 C

x2＋2 x≤2，

9．设函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.

2x x>2，解析 当x>2时，有2x0＝8，得x0＝4；

当x≤2时，有x20＋2＝8，得x0＝－6或6(舍去)． 综上x0＝4或x0＝－6. 答案 4或－6

10．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为________． x－y＝3，

解析 由得

x＋y＝2，15

即对应点坐标是2，－2.

15

答案 2，－2



xx＋4 x≥0，

11．已知f(x)＝若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．

xx－4 x<0，解 f(1)＝1×(1＋4)＝5， ∵f(1)＋f(a＋1)＝5，∴f(a＋1)＝0.

当a＋1≥0，即a≥－1时，有(a＋1)(a＋5)＝0， ∴a＝－1或a＝－5(舍去)，

当a＋1<0，即a<－1时，有(a＋1)(a－3)＝0，无解． 综上可知a＝－1.

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5

x＝2，1y＝－2，

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12．(创新拓展)在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．

解 根据题意可得d＝kv2S.

∵v＝50时，d＝S，代入d＝kv2S中，解得k＝12 500. ∴d＝1S

2 500v2S.当d＝2时，可解得v＝252. S2 0≤v<252

∴d＝

12 500v2

S v≥252

1.3.1函数的单调性

双基达标 限时20分钟

1．函数y＝－x2的单调减区间是( )． A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)

解析 画出y＝－x2在R上的图象，可知函数在[0，＋∞)上递减．

答案 A

2．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有fa－fb

a－b

>0，则必有( A．函数f(x)先增后减 B．函数f(x)先减后增

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C．函数f(x)是R上的增函数 D．函数f(x)是R上的减函数

fa－fb

解析 由>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当aa－b增函数． 答案 C

3．下列说法中正确的有( )．

①若x1，x2∈I，当x1③函数y＝－x在定义域上是增函数； 1

④y＝x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

解析 函数的单调性的定义是指定义在区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而①不对；②y＝x2在x≥0时是增函数，x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单11

调性；③y＝－x在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5而f(－3)>f(5)；④y＝x的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法． 答案 A

4．函数f(x)＝－2x2＋mx＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m的取值范围是________． mm

解析 二次函数f(x)的对称轴是直线x＝4，又二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，则4m

≤1或4≥4，即m≤4或m≥16. 答案 (－∞，4]∪[16，＋∞)

5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为________． 解析 y＝－(x－3)|x|

－x2＋3xx>0，3＝2作出其图象如图，观察图象知递增区间为0，2.

x－3xx≤0，

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3

答案 0，2



6．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)解

－1≤x－1≤1，由题意可得－1≤1－3x≤1，

x－1<1－3x，

0≤x≤2

3，即1x<2，

0≤x≤2，

1

∴0≤x<2.

综合提高 限时25分钟

7．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数y＝f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )．

A．必是增函数 B．必是减函数 C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性

1

解析 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－x在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性． 答案 D

8．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是

( )．

A．(－∞，－3) B．(0，＋∞) C．(3，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

解析 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3. 答案 C

19．已知函数f(x)为区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)

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－1≤x≤1，

解析 由题设得1

x<，21

答案 －1≤x<2

1

即－1≤x<2.

10．已知函数y＝8x2＋ax＋5在[1，＋∞)上递增，那么a的取值范围是________． aa

解析 函数y＝8x2＋ax＋5的对称轴为－16.结合函数图象知－16≤1，即a≥－16. 答案 a≥－16

11．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求实数a的取值范围．

解 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．

由图象可知函数在(－∞，a]和(a，＋∞)上分别单调，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)． 12．(创新拓展)若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0. (1)求b与c的值；

(2)试证明函数y＝f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数． (1)解 ∵f(1)＝0，f(3)＝0，

1＋b＋c＝0，∴解得b＝－4，c＝3. 9＋3b＋c＝0，(2)证明 ∵f(x)＝x2－4x＋3， ∴设x1，x2∈(2，＋∞)且x12

由f(x1)－f(x2)＝(x21－4x1＋3)－(x2＋4x2＋3) 2＝(x21－x2)－4(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2－4)，

∵x1－x2<0，x1>2，x2>2， ∴x1＋x2－4>0.

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)----完整版学习资料分享----

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∴函数y＝f(x)在区间(2，＋∞)上为增函数．

1.3.1函数的最值

双基达标 限时20分钟

1．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是

( )．

A．f(－2)，0 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2

解析 由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值f(－2)；当x＝1时，有最大值2. 答案 C

11

2．函数y＝x2在区间2，2上的最大值是( )．

1

A.4 B．－1 C．4 D．－4

111

解析 显然y＝x在2，2上递增，故y＝x2在2，2上递减，∴ymax＝4.



2

答案 C

3．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( )． 1

A．42,12 B．42，－4 11

C．12，－4 D．无最大值，最小值为－4 31

解析 ∵f(x)＝x＋22－4，x∈(－5,5)，



31

∴当x＝－2时，f(x)有最小值－4，f(x)无最大值． 答案 D

4．函数y＝2x2＋1，x∈N*的最小值为________． 解析 ∵x∈N*，∴y＝2x2＋1≥3.

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答案 3

k

5．若函数y＝x(k>0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为________．

kk

解析 因为k>0，所以函数y＝x在[2,4]上是减函数，所以当x＝4时，y＝4最小，由题意知，k

4＝5，k＝20. 答案 20

2－，x∈－∞，0，

6．画出函数f(x)＝x的图象，并写出函数的单调区间，函数最小

x2＋2x－1，x∈[0，＋∞值．

解 f(x)的图象如图所示，

f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.

综合提高 限时25分钟

2

7．函数y＝x在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )． 111111

A．1，2 B.2，1 C.2，4 D.4，2 21

解析 y＝x在[2,4]上是减函数，∴ymax＝1，ymin＝2. 答案 A

1

8．函数f(x)＝的最大值是( )．

1－x1－x4534A.5 B.4 C.4 D.3 解析 f(x)＝

14

≤.

1233x－2＋4

答案 D

39．已知函数y*f(x)是(0，＋∞)上的减函数，则f(a－a＋1)与f4的大小关系是________．



2

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133

解析 ∵a2－a＋1＝a－22＋≥，

44又f(x)在(0，＋∞)上是减函数 3

∴f(a2－a＋1)≤f4

3

答案 f(a2－a＋1)≤f4



10．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．

解析 由题意知，f(x)在[1，a]内是单调递减的，又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，∴111．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元．

(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解 (1)租金增加了900元．

所以未出租的车有15辆，一共出租了85辆．

(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆，租车公司的月收益为y元． y＝(3 000＋60x)(100－x)－160(100－x)－60x， 其中x∈[0,100]，x∈N，

整理得：y＝－60x2＋3 100x＋284 000 155972 125＝－60x－62＋3，

当x＝26时，ymax＝324 040，

此时，月租金为：3 000＋60×26＝4 560元．

即当每辆车的月租金为4 560元时，租车公司的月收益最大，为324 040元． 12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， ∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1.

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当x＝－5时，f(x)的最大值为37.

(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴方程为x＝－a. ∵f(x)在[－5,5]上是单调的，故－a≤－5，或－a≥5. 即实数a的取值范围是a≤－5，或a≥5.

1.3.2函数奇偶性的概念

双基达标 限时20分钟

1．已知y＝f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为( )． A．5 B．10 C．8 D．不确定 解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－4)＝f(4)＝5， ∴f(4)＋f(－4)＝10. 答案 B

2．对于定义域是R的任意奇函数y＝f(x)，都有( )． A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0 C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0

解析 对任意奇函数f(x)，有f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故选C. 答案 C

3．已知函数f(x)＝A．是奇函数

B．既是奇函数又是偶函数 C．是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数 解析 ∵x≠0，∴f(－x)＝∴f(x)是偶函数． 答案 C

4．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝________. 解析 函数y＝f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)，

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1

(x≠0)，则这个函数( )． x211

＝2＝f(x)， 2x－x

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则f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝1. 答案 1

5．如果定义在区间[2－a,4]上的函数y＝f(x)为偶函数，那么a＝________. 解析 因为奇偶函数的前提是定义域必须关于原点对称，所以2－a＝－4，∴a＝6. 答案 6

6．如图是偶函数y＝f(x)在x≥0时的图象，请作出y＝f(x)在x<0时的图象．

解 偶函数的图象关于y轴对称，由对称性可以作出函数y＝f(x)在x<0时的图象，如图中y轴左边的部分．

综合提高 限时25分钟

7．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于( )． A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析 ∵f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)．

即(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)， ∴x·(a－1)＝x·(1－a)， 故1－a＝0，∴a＝1，故选C. 答案 C

8．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点( )． A．(a，f(－a))

B．(－a，f(a))

1C．(－a，－f(a)) D.a，fa

解析 ∵y＝f(x)是奇函数， ∴f(－a)＝－f(a)．∴选C. 答案 C

9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，则a的值为________．

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解析 ∵偶函数的定义域关于原点对称， 1

∴a－1＝－2a，a＝3. 1

答案 3

10．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)、f(1)、f(－2)从小到大的顺序是________． 解析 因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立， 即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立． 所以m＝0，即f(x)＝－x2＋2.

因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴， 所以f(2)(3)f(x)＝0

－x2－2

x3－x2

(4)f(x)＝.

x－1解

x2＋2

x>0，x<0；

x＝0，

1

(1)定义域为2，不关于原点对称．



该函数既不是奇函数也不是偶函数．

(2)定义域为R，关于原点对称，f(1)＝2，f(－1)＝0，

∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，故其既不是奇函数也不是偶函数． (3)定义域为R，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，

f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，

f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0.故该函数为奇函数．

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(4)函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}，不关于原点对称． x3－x2

所以函数f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数．

x－1

12．(创新拓展)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，求f(6)的值． 解 ∵f(x＋2)＝－f(x)．

∴f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2) ＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)． ∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0，∴f(6)＝0.

1.3.2函数奇偶性的应用

双基达标 限时20分钟

1．若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图象上，则f(1)等于( )． A．0 B．－1 C．3 D．－3

解析 由题知，f(－1)＝3，因为f(x)为奇函数，所以－f(1)＝3，f(1)＝－3. 答案 D

2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )．

A．0 B．1 C．2 D．4

解析 ∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称． 若y轴右侧的两根为x1，x2，则y轴左侧的两根为－x1，－x2，∴四根和为0. 答案 A

3．下面四个结论：

①偶函数的图象一定与y轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点， ③偶函数的图象关于y轴对称；

④既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)＝0. 其中正确命题的个数为( )． A．1 B．2 C．3 D．4

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1

解析 偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝2，故①错，③对；奇函x1

数的图象不一定通过原点，如y＝x，故②错；既奇又偶的函数除了满足f(x)＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A. 答案 A

4．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 解析 设x<0，则－x>0，f(－x)＝－x＋1，又函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－－x－1.

因此，当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝－－x－1. 答案 －－x－1 5．若函数f(x)＝－

x＋a

为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为________． bx＋1

x.bx＋1

解析 f(x)为[－1,1]上的奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(0)＝0，故a＝0，则f(x)＝－－11又f(－1)＝－f(1)，所以－＝，故b＝0，于是f(x)＝－x.

－b＋1b＋1

函数f(x)＝－x在区间[－1,1]上为减函数，当x取区间左端点的值时，函数取得最大值1. 答案 1

6．已知函数f(x)＝

ax＋b12

2＝，求函数f(x)的解析式． 是定义在(－1,1)上的奇函数，且f

51＋x2

解 ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f(0)＝0，即∴b＝0，

21又f2＝1＝5，∴a＝1，



1＋4∴f(x)＝

x. 1＋x21a2

b

＝0， 1＋02

综合提高 限时25分钟

7．函数y＝1－x2＋

9

是( )． 1＋|x|

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A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 1－x2≥0

解析 先求定义域，由⇒－1≤x≤1.

1＋|x|≠0∴定义域为[－1,1]．定义域关于原点对称． 又f(－x)＝1－－x2＋∴f(x)为偶函数． 答案 B

8．设偶函数y＝f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )． A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)解析 因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以有f(2)9．函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)>0，则a＋b________0(填“>”“<”或“＝”)． 解析 由f(a)＋f(b)>0，得f(a)＞－f(b) ∵f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)． ∴f(a)>f(－b)，又f(x)为减函数， ∴a<－b，即a＋b<0. 答案 <

10．若y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)<0的解集为________． 解析 根据题意画出f(x)大致图象：

9

＝f(x)，

1＋|－x|

由图象可知－2----完整版学习资料分享----

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答案 (－2,0)∪(0,2)

x

11．已知奇函数y＝f(x)在[－1,1]上为增函数，解不等式f2＋f(x－1)>0.

x

解 ∵f(x)为奇函数，∴f2>f(1－x)．

又∵f(x)为定义在[－1,1]上的增函数，



∴－1≤1－x≤1，

x2>1－x，

x

－1≤2≤1，

－2≤x≤2，0≤x≤2，解得

2x>3.

22

即3



12．(创新拓展)已知y＝f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2. (1)求f(x)的解析式；

(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间． 解 (1)设x<0，则－x>0，所以

f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2， 又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝x2＋2x－2，又f(0)＝0，

∴f(x)＝0

－x2＋2x＋2

如图所示．

x2＋2x－2

x<0，

x＝0，x>0.

(2)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象

由图可知，其增区间为(－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及(1，＋∞)．

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