高等数学竞赛题库.不定积分与定积分

高等数学竞赛 不定积分

不定积分的概念与性质

1、设

f(sin2x)cos2xtan2x(0x1)，求f(x) 2、设f(lnx)1x，求f(x)

3、已知f(x)x[f(x)1]，试求函数f(x)

利用基本积分法求不定积分

一、 利用凑微分法求不定积分

1、 求下列不定分;

cos2xsinxcosx(1)1sinxcosxdx（2）1x22x5dx（3）dxsin2x2cos2x（4）(cosxsinx)5dx2、求下列不定积分

3（1）(x2x)ex(x23x1)exdx （2）(xlnx)2(lnx1)dx

arctan1x（3）

1x2dxcos2xsinx （4）cosx(1cosxesinx)dx （5）lnx2xlnx(1xln2x)dx

1

二、利用第二换元积分法求不定积分

1、三角代换求下列积分

xdx3xdx3x29dx（1）

(x21)1x2 （2）(1x2)2 （3）x2dx （4）11x2

2、倒代换（即令

x1t）求下列积分

dx（1）

x2a2x2(a0) （2）dxx(x72)

3、指数代换（令axt,则

dx1dtlnat）

2xdx（1）dx （2）xxx12x4x1e2e3e6

4、利用分部积分法求不定积分

（1）

(x21)e2xdx （2）

(x32x5)cos2xdx

（3）

x2arccosxdx （4）

x3(lnx)2dx

（5）excosxdx

2

5、建立下列不定积分的递推公式

1（1）

In(x2a2)ndx （2）Intannxdx

有理函数的积分

1、求下列不定积分

x2（1）x24x3dx （2）dxx(x1)2 （3）dx(12x)(1x2)

2、求下列不定积分

dxx2n12x31（1）x(2x10) （2）xn1dx （3）(x1)100dx （4）

x11dxx83x简单无理函数积分

x1)1、

1x3xdx 2、

x(xx1dx

三角有理式积分

1、1sinxdx1 2、sin3xdx 3、sinx1sinxdx

3

xsinx4、1cosxdx 5、sin4xcos2xcos3xdx 6、sin5xcos6xdx

含有反三角函数的不定积分

x21、1x2arctanxdx 2、arccosx(1x2)3dx

抽象函数的不定积分

1、f(x)f2(x)f(x)f(lnx)f(x)[f(x)]3dx 2、xf(lnx)dx 分段函数的不定积分

1x0;f(x),x1,0x1;例如：设

2x,x1 求f(x)dx.

高等数学竞赛 定积分

比较定积分大小

221、 比较定积分1lnxdx和1(lnx)2dx的大小

112、 比较定积分0ln(1x)dxarctanx和01xdx的大小

4

利用积分估值定理解题

一、估值问题

541、试估计定积分

(1sin2x)dx4的值

2、试估计定积分

33xarctanxdx3的值

二、不等式证明

121、证明不等式：

10exdxe

182、证明不等式：

211x4dx3

三、求极限

12xnn1x2dx 2、nlim1xnex1、

lim001exdx关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题

1、求下列导数：

dt（1）

F(x)x3x21t4；

5

x2（2）由方程

y0edtt2sintt0dt1dy确定的隐函数yf(x)的导数dx

2、设f(x)在[0,)上连续且满足0x2(1x)f(t)dtx，求f(2)

3、设f(x)为关于x的连续函数，且满足方程常数C.

x0x16x18f(t)dttf(t)dtCx89，求f(x)及

124、求下列极限：

（1）x0limx20tesintdtxe6xt （2）

x0limx0(1cost2)dtx52

5、设f(x)是连续函数，且

f(x)x2f(t)dt01，求f(x).

6、已知

f(x)f(x)dx808且f(0)0，求02f(x)dx及f(x)

定积分的计算

一、分段函数的定积分

lkx,0x2;f(x)lxc,xl,(x)f(t)dt201、设求

6

22、求定积分2max(x,x2)dx

二、被积函数带有绝对值符号的积分

1、求下列定积分：

（1）

e1elnxdx （2）01ttxdt

2、求定积分

2cosxcos3xdx2的值

三、对称区间上的积分

sin3xx(x)dx1f(x)[a,a]1cosx1、设在上连续，计算

122、设f(x)在(,)上连续，且对任何x,y有f(xy)f(x)f(y)，计算11(x21)f(x)dx

3、计算积分

sin2xIdx1ex44

4、设f(x),g(x)在区间[a,a](a0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件

f(x)f(x)A（A为常数）.

（1）证明：aaf(x)g(x)dxAg(x)dx0a

7

2sinxarctanexdx(2) 利用（1）的结论计算定积分

2

四、换元积分法

1、求下列定积分：

1arcsinx10（1）

124x(1x)dx （2）ln22x01edx （3）

2sinxcos10x04sinxcosxdx五、分部积分

sinx1、设f(x)有一个原函数为x，求xf(x)dx2

2、

30arcsinxx1xdx

1ln(1x)3、0(2x)2dx

积分等式的证明

一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件）

1、若函数f(x)连续，证明：

8

（1）

a01a2xf(x)dxxf(x)dx20

32（2）abf(x)dx(ba)f[a(ba)x]dx01

11xdxdxx1x211x2（3）

112、设f(x)连续，求证0xf(sinx)dx20f(sinx)dx，并计算

0xsin3xdx21cosx

3、设f(x)连续，且关于xT对称，aTb，z证明：

baf(x)dx2f(x)dxTb2Tbaf(x)dx

（提示：f(x)关于T对称，即f(Tx)f(Tx)）

二、分部积分法（适用于被积函数中含有f(x)或变上限积分的命题）

例：设f(x)连续，

F(x)f(t)f(2at)dt0x，证明：

2F(2a)2F(a)f(a)f(0)f(2a)

三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点或x0使等式成立的命题）

解题思路：（1）将或x0改成x，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数

9

F(x)或F(x)。

（2）验证F(x)满足介值定理或微分中值定理的条件。

（3）由介值定理或微分中值定理，即可证得命题。

1、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明：至少存在一点(a,b)，使得：

f()g(x)dxg()f(x)dxab

b2、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，至少存在一点使f()f()1

f(a)a,f(x)dxa12(ba2)2.求证：在(a,b)内

四、积分不等式的证明

常用的证明积分不等式的定理有：定积分的比较定理，估值定理，函数的单调性，积分与微分中值定理。

1、设f(x)在[a,b]上连续，且严格递增，证明：

(ab)f(x)dx2xf(x)dxaabb

2、设f(x)在[0,)上连续且单调减少，0ab，求证：

af(x)dxbf(x)dx00ba

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3、设f(x)在[a,b]上可导，且f(x)M,f(a)0.证明：

M(ba)22

baf(x)dx广义积分

1、求下列广义积分

dxdx2 （2）x4x9

（1）0xex2（3）

e1x1(lnx)21dx （4）

20dx(1x)2

2、证明：无穷积分

1dx(p0)px当p1时收敛，当0p1时发散.

dxp3、当p0时，0x是以x0为瑕点的瑕积分，证明它在0p1时收敛，在p1时发

1散.

高等数学竞赛 导数与微分练习

利用导数定义解题

1(x2)2sin,x2;g(x)x20,x2.1、 设函数 又f(t)在t0处可导，求复合函数

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yf(g(x))在x2处的导数。

2limx[f(x)f(x0)]0x0f(x)xx2、 已知在处可导，求

23x,x1,f(x)3x2x1,3、 设 求f(x)在点x1处的导数f(1)

1f(a)n]nlim[nf(a)4、 设函数f(x)在xa处可导，且f(a)0,试求

12f(ex)1f(1sin2x)limf(1)0,f(1)a,lncosx5、 设求极限x0

2yxf(xy)f(x)ef(y)ef(x)f(0)1,R6、 设在上有定义，且又，求f(x)

导数在几何上的应用

2xyecos(xy)e1确定，求曲线yf(x)在(0,1)处的法线方yf(x)1、 设函数由方程

程

2、 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x0的某个领域内有关系式

f(1sinx)3f(1sinx)8x(x),

其中(x)是当x0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x1处可导，求曲线yf(x)在点

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f(6))处的切线方程.

利用导数公式及求导法则求导

1、已知

y(xx1x)，求y 2、若

f(t)limxt(11x)2tx，求f(t) 13、若

yf(2x1x1),f(x)lnx3,求dydx dy4、设函数yy(x)由方程ln(x2y)x3ysinx确定。求dxx0

xarctantdy5、设函数yy(x)由2yty2et5所确定，求dx

d2y6、设函数yf(xy)，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求dx2求高阶导数

常用方法：（1）将函数变形。利用已知函数的n阶导数公式；

（2）利用莱布尼兹公式求某些积的n阶导数。

(6,

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1、设函数

f(x)1(12x)(1x)，求f(n)(0)

2(50)yln(x3x2)y2、设函数，求

3、设函数f(x)arctanx,求f(n)(0)

22x(20)4、设函数yxe，求y

xyesinx 5、设函数

可导、连续与极限存在的关系

g(x)ex,x0;f(x)x0x0.1、 设其中g(x)具有二阶连续导数，且g(0)1,g(0)1.求

f(x),并讨论f(x),在(,)内的连续性。

1xsin,x0;f(x)x0x0.2、设其中0,讨论在什么条件下f(x)在x0处连续。

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