高一数学必修一复习资料

1. 关于集合的元素的特征

（1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流） （2）互异性 （3）无序性

集合相等：构成两个集合的元素完全一样

(1)若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.

(2)AB,BAAB

例：已知A={1,1+d，1+2d}，B={1，q，q2}，若A=B，求的，d，q的值。 解：d=－，q=－

2. 元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作aA

子集与真子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB或BA.

若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，或Q不包含P.记作

PQ

若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集. AB或BA.

子集与真子集的性质：传递性：若AB，BC，则AC 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

3. 常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R

4. 集合的表示方法

（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

（2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}

内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或

变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；

（3） 自然语言描述法：小于10的所有正偶数组成的集合。

（{2,4,6,8}）

问：1、{1，3，5，7，9}如何用自然语言描述法表示2、用例举法表示集合A{xN|1x8}

练习：（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（ ）

A直角三角形 B 锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 5. 集合间的基本运算

并集（∪）：一般的由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，成为集合A与B的并集，记作A∪B，即： AB{x|xA,或xB},韦恩图如下：

交集（∩）：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集

合，称为A与B的交集，记作A∩B，即：

AB{x|xA,且xB}.韦恩图如下：

全集（U）：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元

素，那么就成这个集合为全集，记为U。

补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称

为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即

CUA ={x xU且 xA}，韦恩图如下： U A CUA 练习：

1、若A={0，2，4}，CUA={-1，2}， CUB={-1，0，2}，求B= 。 2、设A={x|x>-2},B={x|x<0},求A∩B.

3、若A={x|x=4n,n∈Z}，B={x|x=6n,n∈Z}，求A∩B.

4、A={x|a≤x≤a+3},B={x|x＜-1或x＞5} ， 分别求出满足下列条件的a的取值范围 : (1) A∩B= (2) A∩B=A

5、已知A={x|-1＜x＜2}, B= {x|1＜x＜3}求A∪B.

nm16、集合A{n|Z}，B{m|Z}，则AB__________

227、已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且 XA,XBX，试求p、q；

8、已知集合A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，且1∈A，求实数a 的值

9、已知集合A={x|x2－5x＋6=0}，B={x|mx＋1=0}，A∪B=A，求实数m的值组成的集合。

10、集合A={x||x－2|≤2，x∈R}，B={y|y=－x2，－1≤x≤2}，则CR(A∩B)等于（）

B.{x|x∈R，x≠0} C.{0} D. Φ（空集）

11、已知{a，b}A，且A为{a，b，c，d，e}的真子集，则满足条件的集合A的个数是（）

12、记函数f（x）=lg（2x－3）的定义域为集合M，函数g（x）=义域为集合N，求：（1）集合M、N；（2）集合m∩N，M∪N

13、已知集合A={x||x－a|≤1}，B={x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B=Φ，则实数a的取值范围是（）

的定

§ 函数

函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。 记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域

区间：（1）、开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）、无穷区间；区间的数轴表示

1例1：已知函数f (x) = x3+，求函数的定义域。

x2例2：设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域。 函数的定义域小结：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .

（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义.

例3：下列函数中哪个与函数y=x相等

（1）y = (x)2 ; （2）y = (3x3) ;

x22

（3）y =x; （4）y=

x练习：1.求下列函数的定义域 （1）y= （2） y=

＋

（3）已知f（x）的定义域为（－1,1），求函数F（x）=f（1－x）＋f（）的定义域。

2.已知A={1,2,3，k}，B={4,7，a4，a2＋3a}，a∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B。 解：a=2，k=5，A={1,2,3,5}，B={4,7,16,10}

映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 记作“f：A→B”

说明：

（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．

（2）“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．

例：1.已知A={x，y}，B={a，b，c}，从集合A到集合B的所有不同的映射有（）个。

2. 已知A={x，y}，B={a，b，c}，从集合B到集合A的所有不同的映射有（）个。

函数的表示方法：解析法、列表法、图像法

练习：1.已知f（x－2）=2x2－9x＋13，求f（x）——配凑法 答案：f（x）=2x2－x＋3

2.已知f（＋1）=x＋2，求f（x＋1），f（x2）——换元法

答案：f（x＋1）=x2＋2x，（x≥0）；f（x2）=x4－1，（x≤－1或x≥1） 3.已知f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=9x＋8，求f（x）——待定系数法 答案：f（x）=3x＋2或f（x）=－3x－4

4.设f（x）满足关系式f（x）＋2f（）=3x，求f（x）——消元法 答案：f（x）=－x，x∈{x|x∈R，x≠0}

6.已知x≠0，函数f（x）满足f（x－）=x2＋，则f（x）的表达式为（）

（x）=x＋ （x）=x2＋2 （x）=x2 （x）=（x－）2 7.已知函数f（x）=

，那么f（5）的值为（）

8.若函数f（2x＋1）x2－2x，则f（3）=（） 9.已知函数f（x）=

，则f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋

f（4）＋f（）的值为（）

10.已知f（＋1）=lgx，求f（x）

11.已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x＋1）=f（x）＋x＋1，求f（x）

12.定义在（－1,1）内的函数f（x）满足：2f（x）－f（－x）=lg（x＋1），求函数f（x）的解析式.

§ 函数的基本性质

增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1(1) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； (2) 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x1)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

k例1：物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气

V体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。（设V1＞V2＞0）

判断函数单调性的方法步骤:

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）. 练习：

1、 用函数单调性的定义证明f（x）=x＋在（，＋∞）上是增函数。 2、 若3x－3－y≥5－x－5y成立，则（）

A、x＋y﹥0 B、x＋y﹤0 C、x＋y≥0 D、x＋y≤0

2

3、函数y=log1/2（4＋3x－x）的一个单调递增区间是（）

A.（－∞，） B. [，＋∞﹚ C.（－1，） D. [，4﹚ 4.下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（） =－x＋1 =

=x2－4x＋5 =

5.函数f（x）=（x∈R）的值域是（）

A.（0,1） B，（0,1] C. [0,1） D. [0,1]

6.已知函数f（x）ax2＋2ax＋1，x∈[－3,2]的最大值为4，求其最小值.

函数的奇偶性和周期性： 函数的奇偶性定义： 1．偶函数：

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2．奇函数：

一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3．具有奇偶性的函数的图象的特征：

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 练习：

1.已知函数f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）=x－x4，则当x∈（0，＋∞）时，f（x）=

2.已知f（x）是定义在R上的偶函数.且在[0，＋∞﹚上为增函数，若 f（a）≥f（2），则实数a的取值范围是： 3.函数f（x）对任意实数x满足条件f（x＋2）=f（f（5））=

，若f（1）=－5，则

第二章 基本初等函数

§指数函数

一、指数和指数幂的运算

1、 n次方根的含义

一般地，若xna，则x叫做a的n次方根，其中n ＞1，且n∈Ｎ＊

2、 n次方根的写法

nn为奇数, a的n次方根有一个,为aa为正数:

nn为偶数, a的n次方根有两个,为a

n为奇数, a的n次方根只有一个,为na a为负数:n为偶数, a的n次方根不存在.零的n次方根为零，记为n00

小结：正数的偶次方根有两个，并且互为相反数；负数没有偶次方根；零的任何次方根为零。

【例1】写出下列数的n次方根

(1)16的四次方根；（２）－２７的五次方根；（３）９的六次方根 解：（１）4162 （２）527

（３）6933 ３、n次方根的性质

归纳：n次方根的运算性质为 （１）(na)na （２）n为奇数，nana

n为偶数, nan|a|【例2】求下列各式的值 （1）(1)解： (1)3a,a0

a,a04(8)3 (2)3(10)2 (3)(3)4 (4)(ab)2（a>b）

(8)3＝－８；

(2)(3)4(10)2＝10 ＝１０；

(3)4＝33；

(4)(ab)2＝abab.

[随堂练习]

1. 求出下列各式的值

(1)7(2)77(2)3(3a3)3(a1)(3)(3a3)4(a>1)

4解：（1）722； （2）33a33a3

3（3）43a33a33a-3

4【例3】：求值：

(1)526743642;(2)231.51236

分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解：

(1)526743642(3)223•2(2)222223(3)222222(2)2((32))2(23)2(22)2|32||23||22|3223(22)22注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。(2)2331.5612＝2336336223223＝23626223 223＝26322232＝2363

[随堂练习]

2．若a22a1a1,求a的取值范围。 解：a1

3．计算3(8)34(32)43(23)3 解：-9+3 第二节

1、分数指数幂

规定：（1）、正数的正分数指数幂的意义为：

anam(a0,m,nN*)

正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：amnmn1amn(a0,m,nN*)

（2）、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 2、分数指数幂的运算性质

整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂同样适用，即：

（1）arasars(a0,r,sQ)

（2）(ar)Sars(a0,r,sQ)

（3）abarbr(a0,b0,rQ） ３、无理指数幂

思考：若a＞0，P是一个无理数，则ap该如何理解 自主学习：学生阅读教材第６２页中的相关内容

r归纳得出：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2。所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，52的近似值从小于52的方向逼近52.

当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，52的近似值从大于52的方向逼近52，(如课本图所示) 所以，52是一个确定的实数.

总结：一般来说，无理数指数幂ap(a0,p是一个无理数)是一个确定的实数，有理

数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂. 这样幂的性质就推广到了实数范围

arasars(a0,rR,sR) (ar)sars(a0,rR,sR)

(ab)rarbr(a0,rR)

练习： [轻松过关]

１、下列式子中计算正确的是（ D ） A x2x2 Bx3x6 Cx3•x2x6 D3a22下列式子中计算正确的有（ A ） （１）a３、

31a44329a4

1n1na；（２）

3aa （３）ab16aan1

A 0 B 1 C 2 D 3

2•22的值是（ Ｂ）

3Ａ ２ Ｂ 2 Ｃ22 Ｄ ８ ４、下列说法正确的是（ Ｃ ）

Ａ5无意义 Ｂ5122225 Ｃ51.415251.42 Ｄ525

５、用计算器算10６、已知aa７、计算(

12101.414０．０１２８；（保留４个有效数字）

9253 ，则aa1＝ ７ ；

329)(10)1002的值

1323解：原式＝9

[适度拓展] ８、化简：

10115

e33e33243e33e324 （e=）

解：原式＝ee + ee3e= ２

9、已知aa13,求a3a3的值

解原式＝32，提示： a3a3(aa1)(a2aa1a2）

[综合提高]

１０、已知：a27，b52，

求

ab29b3234324343ab26ab9b2解：由ab6ab3413b3a3b43345334的值.

2323234139b(ab13b)，

53341又13b，

23a9b23343232103b3453=

a9b533210334b2a3b3453

3bab1a3b =

3ba(a9b)b210332103b2(52)250.

9ba二、指数函数及其性质

定义：一般地，函数yax（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数

的定义域为R.

当a＞1时，函数的图象为：

y y=2x

-

-

- - - - - - - - - -

0 - - x

当0＜a＜1时，函数的图象为：

- - 1y 2xy - - - - - - - - - -

0 - - x 图象特征 函数性质 a＞1 0＜a＜1 向x轴正负方向无限延伸 图象关于原点和y轴不对称 函数图象都在x轴上方 函数图象都过定点（0，1） 自左向右， 自左向右， 图象逐渐上升 图象逐渐下降 在第一象限内的图 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 象纵坐标都大于1 a＞1 0＜a＜1 函数的定义域为R 非奇非偶函数 函数的值域为R+ a0=1 减函数 增函数 x＞0，ax＞1 x＞0，ax＜1 x＜0，ax＜1 x＜0，ax＞1 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a,b]上,f(x)=ax（a＞0且a≠1）值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]; （2）若x0,则f(x)1;f(x)取遍所有正数当且仅当xR; （3）对于指数函数f(x)ax（a＞0且a≠1），总有f(1)a; （4）当a＞1时，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)； 练习：

1、函数f(x)()x的定义域和值域分别是多少?xR,y0 2、当x[1,1]时,函数f(x)3x2的值域是多少?（－

125，１） 3

§对数函数

对数与对数运算

对数：一般地，若axN(a0,且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN

a叫做对数的底数，N叫做真数.

2、对数式与指数式的互化 在对数的概念中，要注意：

（1）底数的限制a＞0，且a≠1 （2）axNlogaNx

指数式对数式

幂底数←a→对数底数 指 数←x→对数 幂 ←N→真数 恒等式：alogaN=N 负数和零没有对数。 Loga1=0；logaa=1 两类对数：

① 以10为底的对数称为常用对数，log10N常记为lgN. ② 以无理数e=…为底的对数称为自然对数，logeN常记为lnN. 例：求下列各式中x的值

（1）log64x （2）logx86 （3）lg100x （4）lne2x

分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：（1）x(64)6232323()323(4)166341642136121 16（2）x8,所以(x)(8)(2)22 （3）10x100102,于是x2

（4）由lne2x,得xlne2,即e-xe2，所以x2

对数的运算

运算性质： 如果a0，且a1，M0，N0，那么：

○ loga(M·N)logaM＋logaN； MlogaM－logaN； N○ logaMnnlogaM (nR)． ○ loga 换底公式 logablogcb logca（a0，且a1；c0，且c1；b0）．

证明：设ax=b，所以logcax=logcb，因为logcax=xlogca；所以

X=logca/logca=logcb/logca=logab 换底公式推论

x

nlogab； m1（2）logab．

logba（1）logambn对数函数的图象 （1） ylog2x （2） ylog1x

2（3） ylog3x （4） ylog1x

3

图象特征 函数性质 a1 0a1 a1 0a1 函数图象都在y轴右侧 图象关于原点和y轴不对称 向y轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点（1，1） 自左向右看， 自左向右看， 图象逐渐上升 图象逐渐下降 第一象限的图象第一象限的图象纵坐标都大于0 纵坐标都大于0 第二象限的图象第二象限的图象纵坐标都小于0 纵坐标都小于0

函数的定义域为（0，＋∞） 非奇非偶函数 函数的值域为R 11 增函数 减函数 x1,logax0 0x1,logax0 0x1,logax0 x1,logax0

§幂函数

定义：一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数.

如yx,yx,yx是基本初等函数. 五种基本幂函数： yx2 421314等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都

yx yx 122y=x3 y=x-1 51015-5-2-4-6 定义域 奇偶性 -8yx -10yx2 R 奇 yx3 R 奇 yx 12yx1 R 奇 x|x0 x|x0 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限单调增减性 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增 单调递减 定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） 幂函数性质：

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1x1）；

（2）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.

特别地，当x＞1，x＞1时，x∈（0，1），yx2的图象都在yx图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗）

当∠α＜1时，x∈（0，1），yx2的图象都在yx的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗）

（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.

例题：

证明幂函数f(x)x在[0,]上是增函数

证：任取x1,x2[0,),且x1＜x2则 f(x1)f(x2) = =x1x2 (x1x2)(x1x2)x1x2

x1x2 x1x2x在[0,]上是增函数.

因x1x2＜0，x1x2＞0 所以f(x1)f(x2)，即f(x)

第三章 函数的应用 § 函数与方程

零点定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点． 函数零点的意义：

函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标．

即：

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

函数零点的求法：

求函数yf(x)的零点：

①（代数法）求方程f(x)0的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 二次函数的零点：

二次函数

yax2bxc(a0)． （１）△＞０，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（２）△＝０，方程ax2bxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（３）△＜０，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数f(x)x22x3的图象： ① 在区间[2,1]上有零点______； f(2)_______，f(1)_______, f(2)·f(1)_____0（＜或＞＝）． ② 在区间[2,4]上有零点______； f(2)·f(4)____0（＜或＞＝）． （Ⅱ）观察下面函数yf(x)的图象

① 在区间[a,b]上______(有/无)零点； f(a)·f(b)_____0（＜或＞＝）． ② 在区间[b,c]上______(有/无)零点；

f(b)·f(c)_____0（＜或＞＝）． ③ 在区间[c,d]上______(有/无)零点； f(c)·f(d)_____0（＜或＞＝）．

§ 二分法

概念：对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 求二分法步骤：

1. 确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε； 2. 求区间（a，b）的中点c； 3. 计算f（c）；

（1） 若f（c）=0，则c就是函数的零点；

（2） 若f（a）·f（b）＜0，则令b=c（此时零点x0∈（a，c））； （3） 若f（c）·f（b）＜0，则令a=c（此时零点x0∈（c，b））；

4. 判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则

重复2到4.