随机信号分析报告实验：随机过程的模拟与数字特征

实验二 随机过程的模拟与数字特征

实验目的

1. 学习利用MATLAB模拟产生随机过程的方法。 2. 熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB实现。

实验原理

1.正态分布白噪声序列的产生

MATLAB提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。

函数：randn

用法：x = randn(m,n)

功能：产生m×n的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从N(,)分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。如果

2X~N(0,1)，则X~N(,)。

2.相关函数估计

MATLAB提供了函数xcorr用于自相关函数的估计。 函数：xcorr

用法：c = xcorr(x,y)

c = xcorr(x)

c = xcorr(x,y,'opition') c = xcorr(x,'opition')

功能：xcorr(x,y)计算X(n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X(n)的自相关。 option选项可以设定为： 'biased' 有偏估计。 'unbiased' 无偏估计。

'coeff' m = 0时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。

3.功率谱估计

对于平稳随机序列X(n)，如果它的相关函数满足

mRX(m) （2.1）

那么它的功率谱定义为自相关函数RX(m)的傅里叶变换：

SX()mRX(m)ejm （2.2）

功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。我们实际所能得到的随机信号的长度总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。功率谱估计的方法有很多种，这里我们介绍基于傅里叶分析的两种通用谱估计方法。

（1）自相关法

ˆ(m)，然后对自相关函数做傅里叶变换 先求自相关函数的估计RXˆ()SXm(N1)ˆRN1X(m)ejm （2.3）

其中N表示用于估计样本序列的样本个数。

（2）周期图法

先对样本序列x(n)做傅里叶变换

X()x(n)ejn （2.4）

n0N1其中0nN1，则功率谱估计为

ˆ()1X()2 （2.5） SNMATLAB函数periodogram实现了周期图法的功率谱估计。 函数：periodogram

用法：[Pxx,w] = periodogram(x)

[Pxx,w] = periodogram(x,window) [Pxx,w] = periodogram(x,window,nfft) [Pxx,f] = periodogram(x,window,nfft,fs) periodogram(...)

功能：实现周期图法的功率谱估计。其中： Pxx为输出的功率谱估计值； f为频率向量； w为归一化的频率向量；

window代表窗函数，这种用法种对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差，表2.1列出了产生常用窗函数的MATLAB函数

表2.1 常用窗函数及产生窗函数的MATLAB函数

窗函数 矩形窗 三角窗 Hanning窗 Hamming窗

MATLAB函数 boxcar triang hann hamming

窗函数 Blackman窗 Chebyshev窗 Bartlett窗 Kaiser窗

MATLAB函数 blackman chebwin bartlett kaiser

nfft设定FFT算法的长度； fs表示采样频率；

如果不指定输出参数（最后一种用法），则直接会出功率谱估计的波形。

实验内容

1. 按如下模型产生一组随机序列

x(n)0.8x(n1)(n)

其中(n)是均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。估计过程的自相关函数和功率谱。 MATLAB代码：

注解：

>> w=randn(1001,1); 产生一个标准正态分布 >> x(1)=0; >> for i=2:1001;

x(i)=0.8*x(i-1)+1+2*w(i);

>> end; 产生题目要求的随机序列 >> plot(x); 画出随机序列 >> periodogram(x); 画出功率谱 >> c=xcorr(x); 求出自相关函数

>> n=-1000:1000; 确定自相关函数的图像范围 >> plot(n,c); 画出自相关函数图

实验结果：

随机序列

功率谱

相关函数

实验原理：

本题要求按它所给的公式产生一个伪随机序列，我们采用的方法依然是上次课所学的方法，只是在这里我们利用了randm函数，用它来产生高斯白噪声，方程式为

(n)12randm(1,1001)

这样，我们就可以得到了题目要求均值和方差的高斯白噪声。

然后通过一个循环就产生了题目要求的随机序列。

接着，我们求出了这个随机序列的功率谱密度，方法是使用了periodogram函数，这个函数的作用就是产生随机序列的功率谱，其具体的使用方法已经在上面的描述中给出了。

然后我们画出了它的自相关函数，用的是系统的xcorr函数，并将画出的自相关函数的自变量范围定在了-1000到1000之间，从而得了实验结果中的图。

2. 设信号为

x(n)sin(2f1n)2cos(2f2n)(n), n0,1,,N1

其中f10.05，f20.12，为(n)正态分布白噪声序列，试在N256和N1024点时，分别产生随机序列x(n)，画出x(n)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。 （1）当N=256时 MATLAB代码

>> k=256; >> w=randn(1,k); >> x=randn(1,k); >> for i=1:(k-1); x(i)=sin(0.1*pi*i)+2*cos(0.24*pi*i)+w(i);

end; >> plot(x); >> periodogram(x); >> r=xcorr(x); >> n=-k+1:k-1; >> plot(n,r); 实验结果

注释： 选取点值为256

产生标准高斯分布的高斯白噪声 生成随机序列 画出随机序列图谱 画出功率谱密度 求出自相关函数

选定自相关函数的横坐标范围 画出自相关函数图谱

随机序列

相关函数

功率谱密度

（2）当N=1024时 MATLAB代码：

注释：

>> k=1024; 选取点值为1024

>> w=randn(1,k); 产生标准高斯分布的高斯白噪声 >> x=randn(1,k); >> for i=1:(k-1);

x(i)=sin(0.1*pi*i)+2*cos(0.24*pi*i)+w(i);

end; 生成随机序列 >> plot(x); 画出随机序列图谱 >> periodogram(x); 求出功率谱 >> r=xcorr(x); 求出自相关函数

>> n=-k+1:k-1; 选定自相关函数的横坐标范围 >> plot(n,r); 画出自相关函数图谱 实验结果：

随机序列

自相关函数

功率谱密度

实验原理：

本题的要求是在N256和N1024处分别产生随机序列，并分别画出它们的功率谱密度和自相关函数，这里我们看到(n)是均值为0，方差为1的高斯白噪声，所以我们用生成高斯分布的函数randm直接产生高斯白噪声，然后产生所要求的随机序列，并将其画出。

接下来我们求出了功率谱密度，用的也是这次试验刚学的periodogram函数，它的作用是实现周期图的功率谱估计，这样我们就估计出了它的功率谱密度。

然后再次使用了xcorr函数，实现了对自相关函数的求解。

这两次实验我们使用了类似于C语言中的全局变量性质的变量k，这样可以在不改变源程序的情况下，只需要改变k，就可以求出任意N值处的随机序列，并对他们分析，这给我们带来了巨大的方便。 结果分析：

我们可以比较一下两次实验结果，在不同的N处，我们得到了两组不同的图，在两组图中，我们可以看出，在N较大时，我们的图比较密集，我们将它放大后可以看出，当N较大时，我们得到的结果精度较高，但是，图的整体形状基本不变的，只有一些细小的差别由于N小的时候精度不够而没有体现出来，但是从总体上看，两图还是基本上是一致的，都表示出了这个随机序列的特性。

实验心得体会：

本次实验的目的是进行特征估计，而实验中我们主要是研究了功率谱密度和自相关函数的估计，我们分别使用了系统中相关的求解函数并画出了他们的图，这样我们就观察到了我们所生成的随机序列，通过本次实验，我们可以清晰地观察到随机序列的功率谱和自相关函数的图形，从而对随机信号这部分内容有了更加深刻的了解与认识，对我随机信号的学习产生了巨大的帮助。