浦北中学高二数学综合检测

1、坛子里放有2个白球，3个黑球，从中进行不放回摸球，A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是

（A）互斥事件 （B）独立事件 （C）对立事件 （D）不独立事件

【解】A2的发生受到A1发生的影响（第二次摸到白球的概率取决于第一次摸的什么颜色的球），故不独立，选D

2、有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3轨道上，货车B不能停在第1轨道上，则5列火车的停车方法种数有

（A）78 （B）72 （C）120 （D）96

43【解】A52A4A378，选A 53、在空间，如果x、y、z表示直线或平面，命题“若x⊥y，x⊥z，则y∥z”成立，那么x、y、z所分别表示的元素正确的是

（A）x、y、z都是直线 （B）x、y、z都是平面

（C）x、y为平面，z为直线 （D）x为平面，y、z为直线 【解】选D

4、用1、2、3、4、5这五个数字，可组成比20000大，并且百位数字不是3的无重复数字的五位数，共有

（A）96个 （B）78个 （C）72个 （D）64个

13【解】3在首位，A4424；2或4或5在首位，A1A3A354，故选B 35、二面角—l—的平面角为120，A，B∈l，AC，BD，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，则CD等于

（A）2 （B）3

（C）2 （D）5 【解法二】CDCAABBD，注意CA,BD60，选C.

D E B A C 【解法一】如图，将BD平移至AE，在Rt△CED中，CDCE2ED2CA2AE22CAAEcosCAEED22

4 【解】将甲乙捆在一起，并与丙插入另外四人之间，故有A2A426、七个人排成一排，甲、乙必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有 （A）960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种

2A5种排法，选A

7、平面M内有BOC60，OA是平面M的斜线段，且OA63，OA与BOC的两边所成的角都是45，那么点A到平面M的距离是

（A）9 （B）6 （C）18 （D）2

【解】如图，由cos45＝cos∠AOD cos30，所以cos∠AOD＝2，OD＝62，AD

3A O D

＝6，选B.

8、地球半径为R，在北纬30圆上有两点A、B，A点的经度为东经120，B点的经度为西经60，则A、B两点的球面距离为

（A）

3112R （C）R （D）R R （B）232323B O1 A

O 【解】如图，∠OBO1＝∠OAO1＝30，∠AO1B＝180，所以∠AOB＝120＝故选D.

。

A F C D B

9、矩形ABEF和矩形EFCD不共面，EF＝4，AD＝5，则平行直线AB与CD之间的距离是

（A）5 （B）4 （C）3 （D）12 【解】BD即为AB与CD之间的距离，显然BD＝3，选C.

10、6本不同的图书全部分给2个学生，每个学生最多4本，则不同的分法种数为

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E

（A）35 （B） 50 （C）70 （D）100

3C3C3426C6C2分，故2!【解】先分组，再分配，分组可以3，3分或4，2

2A2，选B

11、已知(1－x＋x2)3(1－2x2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a14x14，则a1＋a3＋a5＋„＋a11＋a13＝－13.

【解】在已知等式中分别取x＝1和－1得，a0＋a1＋a2＋„＋a13＋a14＝1①，a0－a1＋a2－„－a13＋a14＝27②，①－②得，2(a1＋a3＋a5＋…＋a11＋a13)＝－26，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＋a13＝－13.

9a12、已知x【解】Tr1aCxr99x3的展开式中，x的系数为4，则常数a的值为4. 29rrP ax2rr92rC9x2229rr,r9r32，r＝8，所以，

a24C989. 4A C

B 13、三棱锥P－ABC的四个顶点在同一球面上，若PA⊥底面ABC， 底面ABC是直角三角形，PA＝2，AC＝BC＝1，则此球的表面积为6.

【解】PB为球直径，2R＝PB＝PA2AB26， S球4R2.

14、甲乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的队员2号队员再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜．假设每个队员的实力相当，则甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率是

35. 256【解】根据题意，甲方获胜时，双方共有9个人被淘汰，每淘汰1人须比赛一场，而甲方必须获胜五场且最后一场

4448111必胜，其它四个胜场是随机的，故所求概率为PC.下图就是一例： 222甲 乙 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 15、设在一袋子内装有5只白球，5只黑球，从这袋子内任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子中，求在这5次取球中（结果保留两个有效数字）.

（1）取得白球3次的概率；

（2）至少有1次取得白球的概率.

【解】记“取球一次得白球”为事件A，“取球一次得黑球”为事件B，则PAPB51,PAPB1.

102211（1）P53C0.31；因此，取得白球3次的概率为0.31

22353211（2）1P501C0.97因此，至少有一次取得白球的概率为0.97

22050516、在正方体AC1中，E、F分别为BB1、CD的中点. （1）求证：AD⊥D1F；

（2）求AE与D1F所成角的大小； （3）求证：平面AED⊥平面A1FD1.

【解】（本题宜于用坐标法）建立坐标系D－ACD1，

设长方体的棱长为2，则A2,0,0，D10,0,2，E2,2,1，F0,1,0. （1）∵ AD2,0,0，D1F0,1,2，

∵ AE0,2,1,（2）D1F0,1,2，∴

200102AED1FcosAE,D1F0 55AED1FD1 A1 B1 E F B C1

∴ ADD1F2,0,00,1,22001020，故AD⊥D1F.

D A C

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故AED1F，即AE与D1F所成的角为90. （3）由（1）（2）知AD⊥D1F，且AE⊥D1F. ∵ ADAEA，∴ D1F⊥平面AED

又D1F 平面A1FD1，∴ 平面AED⊥平面A1FD1.

17、某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯

11，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概23232率是,若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是,出现绿灯的概率是.问：

355的概率都是

（Ⅰ）第二次闭合后出现红灯的概率是多少？

（Ⅱ）三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少？

【解】（Ⅰ）记第一次出现红灯，则接着又出现红灯为事件A，则PA111；记第一次出现绿灯，接着出现

236红灯为事件B，则PB1332510. 显然，事件A与B相互独立，因此，第二次出现红灯的概率为P111137.

232515

（Ⅱ）由题意，三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式：

①当出现绿、绿、红时的概率为123；②当出现绿、红、绿时的概率为132；③当出现红、绿、绿时的概

25525323525525323575率为122.所以三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率为123＋132＋122＝34.

18、如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN.

（Ⅰ）求证：AMPD；

（Ⅱ）求二面角PAMN的大小；

（Ⅲ）求直线CD与平面AMN.所成角的大小.

（Ⅰ）证明：∵ABCD是正方形， ∴ CD⊥AD ∵ PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD ∴ PA⊥CD ∵ PAADA，∴ CD⊥平面PAD ∵ AM平面PAD， ∴ CD⊥AM

∵ PC⊥平面AMN， AM底面AMN， ∴ PC⊥AM.

P 又PCCDC，∴ AM⊥平面PCD ∵ PD平面PCD，∴ AM⊥平面PD （Ⅱ）『解法一』 ∵AM⊥平面PCD （已证） ∴AMPM,AMNM 故 PMN为二面角PAMN的平面角. ∵ PN平面AMN，∴ PNNM

在Rt△PCD中，∵CD2,PD22,∴PC23

∵ PAAD,AMPD，∴ M为PD的中点，PM1PD2.

2N M A B D C

由Rt△PMN∽Rt△PCD，得 ∴ cosPMN即二面角

CDPMMNPC，

3MNCD23，即PMNarccos 3PMPC3233PAMN的大小为arccos3P .

（Ⅲ）法1，延长NM，CD交于点E ∵ PC平面AMN，

∴ NE为CE在平面AMN内的射影

∴ CEN为CD（即CE）与平面AMN所成的角 ∵ CDPD, ENPN, ∴CENMPN 在Rt△PMN中，sinMPNMN3PM3N M E

3A B C

D 3∵ MPN0,，∴ MPNarcsin 2浦北中学高二数学综合检测第 3 页 共 4 页

∴ CD与平面AMN所成的角的大小为arcsin3. 法2，由已知

PC3为平面AMN的法向量，因此，CD平面AMN所成的角等于CD与PC所成角的余角

CD2PD2tancotPCD，故CD平面AMN所成的角为arctan2.

219、如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1，已知侧面BB1C1C是边长为2的菱形，且∠CBB1＝60，侧面

BB1C1C与底面ABC垂直，∠BCA＝90，二面角A—BB1—C为30.

（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；

M B1 （2）求AB1与平面BB1C1C所成角的大小； B （3）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P—BB1C为正O

三棱锥，并求它的体积. P C1

C （1）【证明】∵ 平面ABC⊥平面BB1C1C且它们交于BC，AC⊥BC，

∴ AC⊥平面BB1C1C.

（2）【解】∵ AC⊥平面BB1C1C，∴ ∠AB1C是AB1与平面BB1C1C所成的角.

∵ △BCB1是正三角形，取BB1的中点M，连结CM，则CM⊥BB1，连结AM，则AM⊥BB1，

∴∠AMC是二面角A—BB1—C的平面角.

在Rt△ACM中AC＝1，∴ tan∠AB1C=AC1.

B1C2A

A1

∴ AB1与平面BB1C1C所成的角为arctan1.

2（3）【解】取正△BB1C的中心O，作OP∥CA交AM于P，则OP⊥平面BB1C，从而P—BB1C是一个正三棱锥，且PO＝1AC＝1，∴VPBBC3311313323439. 20、规定Cmxx(x1)(xm1)m!，其中x∈R，m是正整数，且C0＝1，这是组合数Cm（n、xnm是正整数，且m≤n）的一种推广.

（1）求C5的值； 15nmmm1mm（2）组合数的两个性质：①CmCn；②CnCnCn1，是否都能推广到Cx（x∈R，m是正n整数）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由.

（3）已知组合数Cm是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，CmZ. nx【解】（1）C515(15)(16)(19)5!2C1911628

2125（2）性质①不能推广.例如当x时，C12有定义，但C无意义；

m1m性质②能推广，它的推广形式是CmCxCx1，x∈R，m是正整数，事实上 x1当m＝1时，有C1xC0x1Cx1， x当m≥2时，

CxCxmm1xx1xm1m!xx1xm2m1!xx1xm2xm1xx1xm2x1m1Cx1mm!m1!

（3）证明：当x≥m时，组合数Cm∈Z. x当0≤x＜m时，Cm＝0∈Z. x当x＜0时，∵－x＋m－1＞0，∴ Cmx1mxx1xm1m!m

xm1x1xm!1Cxm1∈Z.

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