4年级-15-图形计数-难版

第15讲 图形计数 知识梳理

几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。

在几何图形的计数问题中，各种图形的基本概念及其相关性质是计数过程中寻找规律的基础。

掌握图形的规律和方法多种多样，常用的有按顺序数和分类数两种。分类方法如：按点分类，按边分类，按块分类等等还要注意分类的合理性，只有当所分的类型包含所有情况并且相互不重叠，这样才有可能做到不重复、不遗漏。

典型例题

【例1】★数一数图1中有多少条线段？

【解析】第一种可以按端点进行分类，如图1中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF共五条；以B为左端点的线段有BC、BD、BE、BF共四条；以C为左端点的线段有CD、CE、CF，共三条；以D为左端点的线段有DE、DF共二条；以E为左端点的线段有EF，一条。这些线段的和就是图形中线段的条数。

第二种可以按含基本线段多少的顺序去数。在此题中最长的线段AF上有四个分点，将AF分成了5条小线段，这每条小线段就是基本线段。首先有5条基本线段，其次是包含有

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两条基本线段的有4条，然后是包含有三条基本线段的有3条，包含有四条基本线段的有2条，包含有五条基本线段的有1条。则线段AF上的线段条数可求。 5+4+3+2+1=15（条）

【例2】★数一数，右图中共有多少个角?

【解析】我们规定：把相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们可以这样分类数： 由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF共5个． 由2个基本角构成的角有：∠AOC、∠BOD、∠COE、∠DOF共4个． 由3个基本角构成的角有：∠AOD、∠BOE、∠COF共3个． 由4个基本角构成的角有：∠AOE、∠BOF共2个． 由5个基本角构成的角有：∠AOF共1个． 角总数5+4+3+2+1=15(个)．

【小试牛刀】数出图2中总共有多少个角？

【解析】10个

【例3】★数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？

【解析】

1个三角形组成的：△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF共5个；

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2个三角形组成的：△AOC、△BOD、△COE、△DOF共4个； 3个三角形组成的：△AOD、△BOE、△COF共3个； 4个三角形组成的：△AOE、△BOF共2个； 5个三角形组成的：△AOF共1个； 共有5+4+3+2+1=15（个）.

【例4】★★数一数：下面三个图中长方形分别有多少个？

【解析】先数一数AB边上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的长，再数一数AD上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的宽，每一条长与一条宽搭配，就确定了一个长方形，这样就容易得出一共有多少个长方形了．

先来看图(1)，AB边上包含着的10条线段中的每一条(想一想为什么)，都可与线段AD对应，惟一确定一个长方形，所以图(1)中共有10×1=lO个长方形．

再来看图(2)，与图(1)不同的是在AD上增加了一个分点，这样就有3条线段时，这3条线段分别与AB边上不同的线段构成长方形，所以图(2)中共有10×3=30个长方形．

最后看图(3)，与上面的思路相同，由于AD边上有3+2+1=6条线段，所以图(3)中共有10×6=60个长方形．即：(1)(4+3+2+1)×1=10(个)；(2)(4+3+2+1)×(2+1)=30(个)；(3)(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个)．

【小试牛刀】数一数图4中长方形的个数。

【解析】图中AB边上有线段：4+3+2+l=10（条）

BC边上有线段：5+4+3+2+1=15（条）

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所以共有长方形：10×15=150（个） 答：图4中长方形的个数为150个。

【例5】★★数一数：右图中有几个正方形？

【解析】边长为1的正方形有12个，边长为2的正方形有6个，边长为3的正方形有2个，共20个．即4×3+3×2+2×1=20

【小试牛刀】数一数图5中有多少个正方形（其中每一个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）？

【解析】由于正方形是长与宽相等的矩形，数正方形与数长方形相类似。由于长=宽，那么只需考虑一边的长，按一边的长进行分类，由于图中BC边长大于AB边，因此从AB边开始分类，AB边长为8个单位长度，那么图5中有八类正方形。

①边长为1的正方形个数：14×8=112（个） ②边长为2的正方形个数：13×7=91（个） ③边长为3的正方形个数：12×6=72（个） ④边长为4的正方形个数：11×5=55（个） ⑤边长为5的正方形个数：10×4=40（个） ⑥边长为6的正方形个数：9×3=27（个） ⑦边长为7的正方形个数：8×2=16（个） ⑧边长为8的正方形个数：7×1=7（个） 那么图5中正方形个数和可求。 正方形总数为：

14×8+13×7+12×6+11×5+10×4+9×3+8×2+7×1 =112+91+72+55+40+27+16+7

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=420（个）

【例6】★★数一数，右图中三角形共有几个？

【解析】27个．

【小试牛刀】数一数图6中三角形的个数（图中每一个小三角形是边长为1的正三角形）。

【解析】第一种方法：从图6中易将三角形分为两类，一类是顶角朝上的，一类是顶角朝下的三角形。先来考虑顶角朝上的三角形，再将它们分成5种，①在△AB1C1中有1个三角形；②在AB2C2中有2+l=3个三角形；③在

AB3C3中有3+2+1=6（个）三角形；④在

AB4C4中有4+3+2+l=10（个）三角形；⑤在△ABC中有5+4+3+2+l=15（个）三角形。

再来考虑顶角朝下的三角形。①在CBB4C4中有4个三角形；②在

CBB3C3中有3+2=5

（个）三角形；③在CBB2C2有2+l=3（个）；④在CBB1C1中有1个三角形。综合以上的各种情况，图中三角形的个数可求。

第二种方法：类似于正方形的分类方法。将三角形分成五类。①边长为1的三角形有：25个；②边长为2的三角形有10+3=13（个），其中10个顶角朝上，3个顶角朝下；③边长为3的三角形有6个，都是顶角朝上的；④边长为4的三角形有3个，都是顶角朝上的；⑤边长为5的三角形有1个，是△ABC。那么图中三角形个数为此五类三角形的和。

解答过程：

①按第一种方法划分三角形的总数为： l+3+6+10+15+4+5+3+1=48（个） ②按第二种方法划分三角形的总数为： 25+13+6+3+l=48（个）

【例7】★★★数一数：右图中有几个正方形？

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【解析】形如ABED的正方形有12个；形如AHIC的正方形有5个；形如EPOQ的正方形有12个；形如BDOF 的正方形有5个；形如BGKJ的正方形有12个； 【例8】★★★如图，其中同时包括两个☆的长方形有 个．

【解析】先找出同时包括两个☆的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方形．根据乘法原理2×2×2×3=24（种）不同的长方形． 【小试牛刀】在下图中，不包含☆的长方形有________个．

【例9】★★★如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?

【解析】图中共有三角形（1+2+3+4）×4=40个．梯形（1+2+3+4）×（2+4）=60；所以梯形比三角形多60-40=20个．

【例10】★★如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？

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【解析】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出：

（1）最小的正方形有6个；

（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个； （3）中间还可围成2个正方形。 所以共有6＋2＋2=10个。

【例11】★★（选做题）如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?

【解析】横放需1996×4根，竖放需1997×3根

共需1996×4+1997×3=13975根．

课后作业

1．数一数图7中共有多少条线段？共有多少个三角形？

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【解析】先找出图中线段的基本图形，即一条线段上有几个分点。这样的线段有：AB、AD、AE、AF、AC、GH、KL、MN、BC点共8条线段，而且每条线段上有三个分点，说明在这样的每条线段上有4+3+2+l＝10（条）线段，那么图形中总共有线段：10×8=80（条）。

三角形求法，同上，先找出基本三角形4个，每个基本三角形中有三角形为4+3+2+1=10（个），故，图中共有三角形：10×4=40（个）。

答：在图形中共有80条线段，40个三角形。 2．数一数图8中有多少个三角形？

【解析】由于五边形ABCDE是一个正五边形，是对称的图形，在这个图形中有很多大小形状都相等的三角形，因此分类时按三角形大小进行分类。①与AD1C1大小相等的三角形有5个；②与AEC1大小相等的三角形有5个；③与AED1大小相等的三角形有10个；④与△ACD大小相等的三角形有5个；⑤与BEA1大小相等的三角形有5个；⑥与△ACD大小相等的三角形有5个。图中三角形的个数：5×5+10=35（个）。

3．数一数图9中有多少个正方形包含阴影方格？（图中每一个小格是边长为1的正方形。）

【解析】由于图中的阴影方格是长为2，宽为1的长方形。那么包含它的正方形的边长至少是2。那么包含阴影方格的：①边长为2的正方形有2个；②边长为3的正方形有4个；③边长为4的正方形有1个。

总共有：2+4+l＝7（个）。

答：总共有7个正方形包含阴影方格。 4．数一数图10中有多少个三角形？

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【解析】如图1，将此图形按大三角形进行分类△ADE、△ADC、△ABC、△EDC、△BDC在DE、DC、BC边上各有四个分点，则在△ADE、△ADC、△ABC中各有5+4+3+2+1=15（个）三角形。在△EDC与△BDC中各有5个三角形。

因此共有：15×3+5×2＝55（个） 5．数一数图11中共有多少个长方形？

【解析】如图2，在大矩形ABCD和小矩形A1B1C1D1中各有长方形：（4+3+2+l）×（2+l）＝30（个），在图形的中间部分矩形EHJG中含有的未被数到的长方形：

①含有1个基本长方形的有4个， ②含有2个基本长方形的有2个， ③含有3个基本长方形的有4个， ④含有6个基本长方形的有2个， 总共有：30×2+4+2+4+2＝72（个）。 答：图2中共有72个长方形。

6．数一数图12中正方形的个数。图中每个小格都是边长为1的正方形。

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【解析】图形中①边长为1的正方形有6×6＝36（个）

②边长为2的正方形有5×5＝25（个） ③边长为3的正方形有4×4=16（个） ④边长为4的正方形有3×3=9（个） ⑤边长为5的正方形有2×2＝4（个） ⑥边长为6的正方形有l×l=1（个）

图形中正方形总数：36+25+16+9+4+l=91（个） 答：图中共有91个正方形。 7．数一数图13中有多少个三角形？

【解析】如图3，以BC为分界，在△ABC和△BCD中各有三角形：5+4+3+2+l=15（个）；以AD为分界，AD的左侧有3个三角形，AD的右侧有2个三角形。

总共有：15×2+3+2=35（个）。 答：图3中总共有35个三角形。

8.下面图形中有多少个正方形？

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【解析】图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6×3=18个，2×2的正方形有5×2=10个，3×3的正方形有4×1=4个。因此图中共有18＋10＋4=32个正方形。

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