数列专题精讲精练

知识梳理

1．求通项公式的常见类型 （1）观察法；

n1S1,（2）利用通项an与前n项和Sn的关系：Sna1a2...an，an，an1Sn1Sn．

SS,n2n1n由Sn求an时，易忽视n＝1的情况．

（3）公式法；

（4）累加法：在已知数列{an}中，递推公式可转化为an＋1－an＝f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解； an＋1

（5）叠乘法：在已知数列{an}中，递推公式可转化为＝f(n)，利用叠乘法(逐商相乘法)求解；

an（6）构造法．

2．等差数列、等比数列的性质（以下m，n，p，q∈N*） 定义 通项 等差数列 等比数列 an＝ ＝am a1(1－qn)a1－anqq＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝ 1－q1－qanan1d(n2)或an1and an＝____________＝am＋____________ n（a1＋an）n（n－1）求和 Sn＝＝na1＋d 22中项 任意两个数a,b的等差中项为__________． 两个数a,b的等比中项为±ab(ab＞0) ①若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ①若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； 性质 ②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列 ②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，(Sm≠0)成等比数列 易错警示：在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q＝1和q≠1进行讨论求解．

3．等差或等比数列的判定方法 ①定义法； ②中项公式法； ③通项公式法； ④前n项和公式法． 注意：①②是证明等差或等比数列的理论依据． 4．数列的求和法 （1）公式法； （2）倒序相加（乘）法； （3）错位相减法； （4）裂项相消法； （5）并项法：S100123499100； （6）拆项组合法（注意对数列项数奇偶性的讨论）． 数列求和的注意事项：①首项：从哪项开始相加；②有多少项求和；③通项的特征决定求和的方法．

典例剖析

题型一 数列的概念与通项公式

2an（n为正奇数），1. (玉溪一中模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是( )

an＋1（n为正偶数），

A．16 B．20 C．33 D．120

2. 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为____

3. （累加法）已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，则an＝_______________.

n－1

4. （累乘法）已知数列{an}满足a1＝1，an＝·an－1(n≥2)，则an＝_____________.

n

1 / 6

5. （消sn法） (大连双基测试)数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n1＋3(n∈N*)，则

＋

数列{an}的通项公式an＝________．

6. （选讲）(年保定调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝3an＋2，则其通项公式为an＝( )

－

A．2×3n1－1 B．3n－2 C．3n－2 D．2n－1

n－1

7. （单调性）已知an＝，那么数列{an}是( )

n＋1

A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列

8. （周期性）（全国高中数学联赛陕西赛区预赛 ★★★☆☆）在数列{an}中，a4＝1，a11＝9，且任意连续

三项的和都是15，则a2016＝________．

9. （最值）数列{an}的通项an＝

n

，则数列{an}中的最大项是( ) n2＋90

110A．310 B．19 C. D.

1960

题型二 等差数列、等比数列

10. 在等差数列{an}中，a3a737，则a2a4a6a8__________．

11. (安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．

12. (课标全国Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于( ) 1719

A. B. C．10 D．12 22

13. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于( ) A．－16 B．16 C．31 D．32

14. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为( ) A．15 B．20 C．25 D．30

S2 018S3

15. （选讲 武汉模拟改编）在等差数列{an}中，a1＝－2 016，其前n项和为Sn，若－＝2 015，则S2 016

20183的值等于( )

A．－2 015 B．2 015 C．－2 016 D．2 016

思维升华：在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(或q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．

课堂练习1：（1）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＋a2＝1，a3＋a4＝3，则log2

a2 013＋a2 014＋a2 015＋a2 016

＝________．

4

2 / 6

（2）(湖南卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________.

题型三 等差数列、等比数列的判定与证明

16. (2014·大纲全国)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.

(I)设bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等差数列； (II)求{an}的通项公式．

35

17. (广东)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1

24

＋Sn－1.

1

(I)求a4的值； (II)证明：an＋1－2an为等比数列； (III)求数列{an}的通项公式．





思维升华：(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法． an＋1(2)＝q和a2n＝an－1an＋1(n≥2)都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零． an

an

课堂练习2：（1）(大庆铁人中学月考)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝，则an＝________.

4an＋1

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2．

(I)设bnan12an，证明：数列{bn}是等比数列； (II)求数列{an}的通项公式．

题型四 数列的求和

18. （公式法）（安徽·文）已知数列{an}中，a11，anan1于 .

19. （分组法）（福建·文）等差数列{an}中，a24，a4a715． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）（拆项）设bn2

an21（n2），则数列{an}的前9项和等2n，求b1b2b3b10的值．

3 / 6

222220. （并项）求和Sn1234(1)n1n2．

nπ

课堂练习3：(辽宁协作联校三模)已知数列{an}的通项公式an＝2014sin，则a1＋a2＋…＋a2014＝( )

2A．2012 B．2013 C．2014 D．2015

221. （裂项法）（新课标1·理）Sn为数列{an}的前n项和．已知an0，an2an4Sn3．

（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn1，求数列{bn}的前n项和． anan1

22. (·山东)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．

4n－

(1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)n1，求数列{bn}的前n项和Tn．

anan＋1

课堂练习4：（安徽·文）已知数列an是递增的等比数列，且a1a49,a2a38．

bn(Ⅰ)求数列an的通项公式； (Ⅱ)设Sn为数列an的前n项和，

an1，求数列bn的前n项和Tn．

SnSn1ax122015)f()... 23. （倒序相加法，数列与函数）设函数f(x)x，其中a．则f(201720172017aaf(

20152016)f()的值为________． 20172017 4 / 6

倒序相加法：这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．

24. （错位相减法）(河南八市质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n，直线x＋y＝2n总是把圆(x－n)2＋(y－Sn)2＝2n2平均分为两部分，各项均为正数的等比数列{bn}中，b6＝b3b4，且b3和b5的等差中项是2a3.

(I)求数列{an}，{bn}的通项公式； (II)若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.

思维升华：(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列；(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为确保结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证．值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．

n－

课堂练习5：设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n1an＝，n∈N*.

3n

(1)求数列{an}的通项； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.

an

题型五 数列中的简单放缩（选讲）

25. （构造型放缩）（新课标Ⅰ·理）已知数列an满足a11，an13an1．

（Ⅰ）证明an1是等比数列，并求an的通项公式； （Ⅱ）证明：11…+13．

2a1a2an2

26. (济南模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝an·an＋1，n∈N*.

1n1

(1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列a2的前n项和为Tn，求证：＜Tn＜.

2n4n＋4

5 / 6

15

迁移：如果将Tn＜改为Tn＜又当如何呢？

212

提示：放缩起点后移．

27. （广东·理）若n是自然数，求证：

11122212317． 2n4家庭作业

1．(成都外国语学校月考)已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则数列{an}( )

A．一定是等差数列 B．一定是等比数列

C．或者是等差数列，或者是等比数列 D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

12n1

2．在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，则数列{bn}的前n项和为( )

n＋1n＋1n＋1anan＋1nn2n4n

A. B. C. D. 2n＋1n＋1n＋1

3．新课标Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( ) A．21 B．42 C．63 D．84

2

4．已知正项数列{an}满足a1＝1，(n＋2)a2n＋1－(n＋1)an＋anan＋1＝0，则an＝________.

5．（消an法）（新课标2理）设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn________． 1

6．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－n，n∈N*，则

2(1)a3＝________；

(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.

1

7．(杭州质检)已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝1－，其中n∈N*.

4an2

(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式；

2an－1

4an1

(2)设cn＝，数列{cncn＋2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn<对于n∈N*恒成立？若存

n＋1cmcm＋1在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

*8．（浙江·文）已知数列an和bn满足，a12，b11，an12an(nN)，b111b2b323

1bnbn11(nN*)． n（1）求an与bn；（2）记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn．

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