湖南省醴陵、攸县、浏阳一中2013届高三第五次月考数学理 (2)

2013年元月醴陵一中、攸县一中、浏阳一中联合考试试题

理科数学

时量：150分 分值：150分

参考公式：（1）柱体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高。 （2）球的表面积公式S=4πR2，其中R为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1．若

a1iabi,a,bR,则的值是 ( )

b1iA. 1 B. 0 C. 1 D. 2 2．全集UR,且A{x|x12},B{x|x26x80},则(CUA)B（ ） A．[1,4) B. (2,3) C. (2,3] D. (1,4) 3．命题“xR,xx A．xR,xx2210\" 的否定是（ ） 4110 B．xR,x2x0 441122 C．xR,xx0 D．xR,xx0

444．给定性质: ①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，

3同时具有性质①、②的是（ ） A．y = sin(2x－5．设

x) B．y = sin(+) C．y = sin(2x+) D．y = sin|x|

2666{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai,ai1的矩形面积（i1,2,）{A}，则n{an}是等比数列。 B．a1,a3,,a2n1,或a2,a4,,a2n,是等比数列。 a1,a3,,a2n1,和a2,a4,,a2n,均是等比数列。

a1,a3,,a2n1,和a2,a4,,a2n,均是等比数列，且公比相同。

为等比数列的充要条件为

A．C．D．

6．已知函数f(x)是(,)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且 当x[0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2011)f(2012)（ ） A．1log23 B．1log23 C．1 D．1

yx7.设m>1，在约束条件ymx下，目标函数z=x+my的最大值大于2，则m的取值范围为

xy1第 1 页 共 10 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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A．(1,12) B．(12,) C．（1，3） D．(3,)

8．定义域为[a,b]的函数yf(x)图像的两个端点为A、B，M(x，y)是f(x)图象上任意一点，其中xa(1)b,0,1．已知向量ONOA1OB，若不等式 则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”．若函数yxMNk恒成立，

[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( ) A．[0，+∞) B．

二.填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

(一)、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

9． 在极坐标系中，点P2， 0与点Q关于直线cos(1在x133, C．2, D．2, 12224)22对称，

PQ ．

10．如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC 的延长线上，AD是⊙0的切线，若∠B=30°，

AC=2，则OD的长为 ．

11．已知：x+2y+3z=1,则x2y2z2的最小值是 .

(二)、必做题（12~16题）

1111

12. 如图给出的是计算＋＋＋„＋的值的一个程序框图，则判断框内2462 012

应填入的条件是 . 13、已知向量a, b，其中|a|2,|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是 .

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x2y21的左、右焦点，点P是双曲线上的点，且|P 14、已知F1、F2分别是双曲线F1|=3，412则|PF2|的值为 .

15．已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的

切线与x轴交点的横坐标为xn,则log2012x1log2012x2log2012x2011的值为 ．

16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色：先染1，再染两个偶数2、4；再染4后面最邻近的三个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的四个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的五个连续奇数17、19、21、23、25；按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，„„．则在这个红色子数列中，由1开始的第2011个数是_____________.

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点租车骑游。各租一车一次。设甲、乙不

1111,,超过两小时还车的概率分别为42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为24；

两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E.

18. （本小题满分12分）

已知数列{an}满足条件：a1t,an12an1 （1）判断数列{an1}是否为等比数列；

2n（2）若t1，令cn, 记Tnc1c2c3...cn

anan1证明：Tn1

19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P--ABCD中，PB底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=PB=3，BC=6．点

P第 3 页 共 10 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com ECB

DA金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

E在棱PA上，且PE=2EA.

(1)求异面直线PA与CD所成的角； (2)求证：PC∥平面EBD；

(3)求二面角A—BE--D的余弦值．

20(本小题满分13分).某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容

80器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为3立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元，设该容器的建造费用为y千元．

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．

21.(本小题满分13分) 设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4,点M（2，2）在椭圆上，。 （1）求椭圆E的方程；

（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且OAOB，求△OAB的面积的取值范围。

12x2x． 2（Ⅰ）设h(x)f(x1)g(x)（其中g(x)是g(x)的导函数），求h(x)的最大值；

ba（Ⅱ）求证: 当0ba时，有f(ab)f(2a)；

2a（Ⅲ）设kZ,当x1时,不等式k(x1)xf(x)3g(x)4恒成立，求k的最大值.

22.（本小题满分13分）已知函数f(x)lnx，g(x)第 4 页 共 10 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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数学参考答案（理科）

一．选择题 BCDA D CBD

二．填空题

9．22； 10.4； 11．12. i<1007？ 13.

1 14； 14.7； 415.-1； 16.3959

三．解答题

17. (本小题满分12分)

解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为

P2111111P3248，付4元为4416

PP1P2P3516……………………………..4分

P1111428，付2元为

则所付费用相同的概率为

（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,8…………….5分

P(0)P(P(P(P(18111152)44221611111154)44242416111136)4424161118)4416……………………………………………….10分

分布列



P

0 18

2 4 6 316

8 116

516 516

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E5591784822………………………………………………………….12分

18. （本小题满分12分）

解:（1）证明：由题意得an112an22(an1) „„„„„2分 又a11t1, 所以，当t1时，{an1}不是等比数列

当t1时，{an1}是以t1为首项，2为公比的等比数列． „„„„5分 (2)解：由⑴知an2n1， „„„„„7分

112n2n11故cn „„„„„9分 nanan1anan1(21)(2n11)2n12n1111111111Tnc1c2c3cn1nn1n1213372121„„„„12分

P19．(本小题满分12分)

解： (1)∵PB⊥底面ABCD，在直角梯形ABCD中AB=AD=3，∴BC=6 取BC的中点F，连结AF，则AF∥CD.

∴异面直线PA和CD所成的角就是PA和AF所成的角∠PAF

E（或其补角），在△PAF中，AF=PA=PF=32， CB∴∠PAF=60° „„„„„„3分 （2）连结AC交BD于G，连结EG，∵∴

AGAEGCEPAE1AGAD1,,又

EP2GCBC2DA∴PC∥EG

又EG平面EBD，PC⊄平面EBD.∴PC∥平面EBD „„„„„7分

（3）∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.又∵AD⊥AB,∴AD⊥平面EAB.

作AH⊥BE,垂足为H,连结DH,则DH⊥BE,

∴∠AHD是二面角A-BE-D的平面角.在△ABE中,BE=AH=ABAEsin45BE5

35,5 AD5AH∴tan∠AHD=

, 所以，二面角A-BE-D的余弦值为

6 „„„„„12分 6

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20. （本小题满分13分） 解：（I）设容器的容积为V，

480Vr2lr3,又V,33 由题意知

4Vr38044203lr(r)r23r233r2故

由于l2r

因此0r2.……………………………………………………………………………………………….3分

420y2rl34r2c2r(2r)34r2c,3r所以建造费用

160y4(c2)r2,0r2.r因此……………………………………………………..5分

（II）由（I）得

由于c3,所以c20,

当

y'8(c2)r1608(c2)320(r),0r2.22rrc2

r3320200时,r3.c2c2

20m,则c2m0 令8(c2)y'(rm)(r2rmm2).2r所以……………………………………………………….7分

90m2即c2时， （1）当

当r=m时,y'=0;当r(0,m)时,y'<0;当r(m,2)时,y'>0.

所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点。……………………….10分

93c2时， （2）当m2即

当r(0,2)时,y'0,函数单调递减，

所以r=2是函数y的最小值点，

93c2时，建造费用最小时r2; 综上所述，当

9c202时，建造费用最小时r3当…………………………………13分

c2

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21、(本小题满分13分)

x2y2解:（1）因为椭圆E: 221（a>b>0）过M（2，2） ，2b=4

ab故可求得

b=2,a=2

2

椭圆E的方程为

x2y21„„„2分 84

（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2），当直线L斜率存在时设方程为ykxm，

解方程组

ykxm2xy2148得

x22(kxm)28,即

(12k2)x24kmx2m280,

则△=16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0, 即8k2m240（*）„„„„„„„„„„„4分

4kmxx1212k22xx2m81212k222,

k2(2m28)4k2m2m28k22y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2km(x1x2)mm2212k12k12k22m28m28k20, 要使OAOB,需使x1x2y1y20,即

12k212k28k28所以3m8k80, 即m ①„„„„„„„„„„„7分

3222将它代入（*）式可得k2[0,)„„„„„„„„„„„8分 P到L的距离为d|m|1k2

11|m|S|AB|d1k2|x1x2|2221k又 1m2[(x1x2)24x1x2]2第 8 页 共 10 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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8k28m32及韦达定理代入可得

将

8k2„„„„„„„„10分 S1434k4k21

8k281一、 当k0时S 1412134k4k134k224k由4k21818[4,)S1(,22]„„„„„12分 故21k34k2243k 

8当k0时, S

38当AB的斜率不存在时, S ,

38综上S,22„„„„„„„„„„„13分 3 22、（本小题满分13分）

解:（Ⅰ）h(x)f(x1)g/(x)ln(x1)x2,x1所以 h(x)1x． 1x1x1当1x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0．

因此，h(x)在(1,0)上单调递增，在(0,)上单调递减．

因此，当x0时，h(x)取得最大值h(0)2； „„„„„„3分 （Ⅱ）当0ba时，1bah(x)2，1(nl)xx．由（1）知：当1x0时，即 0．

2aabbabaln1因此，有f(ab)f(2a)ln．„„„„„„7分 2a2a2axlnxx2所以 （Ⅲ）不等式k(x1)xf(x)3g/(x)4化为kx1xxlnxxxlnxk2对任意x1恒成立．令gx2，则

x1x1gxxlnxx122，

1x10，所以函数hx在1,上xx令hxxlnx2x1，则hx1单调递增．

因为h31ln30,h422ln20，

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所以方程hx0在1,上存在唯一实根x0，且满足x03,4． 当1xx0时，h(x)0，即g(x)0，当xx0时，h(x)0，即g(x)0，

xxlnx2在1,x0上单调递减，在x0,上单调递增． 所以函数gxx1x01lnx0x01x02所以gxgx22x025,6． 0minx1x100所以kgxminx025,6．故整数k的最大值是5. „„„„„13分

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