压轴题训练(一)(解析版)-2020-2021学年七年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版)

2021年七下期中考试金牌压轴题训练（一）

（时间：60分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、单选题

1．在矩形ABCD内将两张边长分别为a和bab的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当

ADAB4时，S2S1的值为（ ）

A．4a 【答案】B 【分析】

B．4b C．4a4b D．5b

利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】

解：S1(ABa)a(CDb)(ADa)(ABa)a(ABb)(ADa)，

S2AB(ADa)(ab)(ABa)，

S2S1AB(ADa)(ab)(ABa)(ABa)a(ABb)(ADa)bADabABa

bADabbABab

b(ADAB)

4b．

故选：B． 【点睛】

本题考查了整式的混合运算，熟悉相关运算法则是解题的关键．

1

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2．一副直角三角尺叠放如图所示，现将30°的三角尺ABC固定不动，将45°的三角尺BDE绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线AB的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，则ABE所有符合条件的度数为（ ）

A．45°，75°，120°，165° C．15°，60°，105°，135° 【答案】A 【分析】

B．45°，60°，105°，135° D．30°，60°，90°，120°

分DE∥AB，DE∥AC，BE∥AC，AC∥BD，分别画出图形，根据平行线的性质和三角板的特点求解． 【详解】 解：如图， ∥DE∥AB， ∥∥D+∥ABD=180° ∥∥ABD=90° ∥∥ABE=45°；

∥DE∥AC， ∥∥D=∥C=90°， ∥B，C，D共线，

∥∥ABE=∥CBE+∥ABC=180°-45°+30°=165°；

2

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∥BE∥AC， ∥∥C=∥CBE=90°，

∥∥ABE=∥ABC+∥CBE=120°；

∥AC∥BD，

∥∥ABD=180°-∥A=120°， ∥∥ABE=∥ABD-∥DBE=75°，

综上：∥ABE的度数为：45°或75°或120°或165°． 【点睛】

本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，解题的关键是注意分类讨论，做到不重不漏．

3．星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）

3

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A． B． C．

【答案】B 【解析】

D．

试题分析：观察s关于t的函数图象，发现：

在图象AB段，该时间段蕊蕊妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，∥可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B．故选B． 考点：函数的图象．

二、填空题

4．观察等式：222232；22223242；2222324252已知按一定

规律排列的一组数：250、251、252、、299、2100．若250a，用含a的式子表示这组数的和是____． 【答案】2a2a 【分析】

由等式：222232；22223242；2222324252，得出规律：

222232n2n12，那么2502512522992100(222232100)(22223249)，将规律代入计算即可．

【详解】 解：

222232；

22223242；

4

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2222324252；



225022251232522n2n29912，

2100

(2(210122232)(2502100)(22)

2223249)

2101250250，

a，

2101(250)222a2，

原式2a2a，

故答案是：2a2a． 【点睛】

本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．

5．已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．

QC同时开始旋转，PB'与QC'的位置关系为_____； （1）若射线PB、当旋转时间30秒时，（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．

【答案】PB′∥QC′ 15秒或63秒或135秒． 【分析】

（1）求出旋转30秒时，∥BPB′和∥CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∥PEF和∥QEF的度数，进而得结论；

5

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（2）分三种情况：∥当0s＜t≤45时，∥当45s＜t≤67.5s时，∥当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间． 【详解】

（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∥BPB′＝4°×30＝120°，∥CQC′＝30°，

过E作EF∥AB，则EF∥CD，

∥∥PEF＝180°﹣∥BPB′＝60°，∥QEF＝∥CQC′＝30°， ∥∥PEQ＝90°， ∥PB′∥QC′，

故答案为：PB′∥QC′；

（2）∥当0s＜t≤45时，如图2，则∥BPB′＝4t°，∥CQC′＝45°+t°， ∥AB∥CD，PB′∥QC′， ∥∥BPB′＝∥PEC＝∥CQC′， 即4t＝45+t， 解得，t＝15（s）；

∥当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∥APB′＝4t﹣180°，∥CQC'＝t+45°， ∥AB∥CD，PB′∥QC′，

∥∥APB′＝∥PED＝180°﹣∥CQC′， 即4t﹣180＝180﹣（45+t）， 解得，t＝63（s）；

6

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∥当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∥BPB′＝4t﹣360°，∥CQC′＝t+45°，

∥AB∥CD，PB′∥QC′， ∥∥BPB′＝∥PEC＝∥CQC′， 即4t﹣360＝t+45， 解得，t＝135（s）；

综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′． 故答案为：15秒或63秒或135秒． 【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．

6．甲地宏达物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度沿快速通道向乙地匀速行驶， 快递车到达乙地后，卸完物资并另装货物共用了 45 分钟，然后按原路以另一速度返回，直至与货车相遇．已知货车行驶速度为 60 km/h，两车间的距离 y(km) 与货车行驶时间 x(h) 之间的函数图象如图所示：

7

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给出以下四个结论：

∥ 快递车从甲地到乙地的速度是 100 km/h； ∥ 甲、乙两地之间的距离是 80 km； ∥ 图中点 B 的坐标为 (234 , 35)；

∥ 快递车从乙地返回时的速度为 90 km/h． 其中正确的是_____（填序号）． 【答案】∥∥∥ 【解析】

（1）设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，由题意可得：

2(x-60)=80，解得：x=100，即快递车从甲到乙的速度为100km/时，故∥正确； （2）由（1）可知，快递车从甲到乙行驶了2小时，其行驶速度为100km/时， ∥甲地到乙地的距离为：100×2=200（km），故∥错误；

（3）由题意可知，图中B点的坐标表示快递车开始从乙地返回甲地时的出发时间和此时两车间的距离，

∥B点的横坐标为：2+45÷60=2345=35，故∥正确； ，B点的纵坐标为：80-60×

460（4）设快递车返回时的速度为a千米/时，由图中信息和（3）中结论可得：

(259452)(a60)35，解得：a90，故∥正确； 6060综上所述，正确的结论是∥∥∥， 故答案为：∥∥∥.

三、解答题

7．找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100

8

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…

（1）按规律填空）

13+23+33+43+…+103＝ ； 13+23+33+43+…+n3＝ ．

（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）

n；

【答案】（1）552；（2）1622600；（3）812752 (n1)2【分析】

（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题；

（2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可；

（3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有23，逆用乘法分配律即可解决问题． 【详解】

解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝552；

2n；

13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝(n1)2（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）

25050+110101＝

22＝1622600；

（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）

225050+12＝23×＝81275．

2【点睛】

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本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率．

8．梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心．

（1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间；

（2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∥PMQ；

（3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？

【答案】（1）P、Q两灯照射一次各需要的时间分别为18秒、45秒；（2）PMQ（3）当开启15s或【分析】

（1）直接利用180除以两灯的速度即可求得结果；

（2）过点M作FM//AB，利用平行线的相关性质求解即可；

108 ；

225135s或s后，两灯的光束互相垂直． 77（3）分三种情况：∥当两灯开启时间小于18秒时，∥当两灯开启时间大于18秒，小于36秒时，PM返回时，第一次与DM相遇，∥当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，PM返回时，第二次与DM相遇，分别根据两灯的光束互相垂直，利用平行线的相关性质，找准等量关系，列出方程求解即可． 【详解】

解：（1）∥灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，

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∥P灯照射一次需要的时间是：Q灯照射一次需要的时间是：

1801018（秒）

18045（秒）； 4（2）∥转动12秒时，两光束恰好在M点汇聚， ∥APMDQM1041212120, 48，

如下图示，过点M作FM//AB，

则有FM//AB//CD ∥APM∥PMF∥PMQPMF180PMF180， APMFMQFMQDQM48，

180601204860， 108；

（3）∥当两灯开启时间小于18秒时， 如图1所示，

过点M作FM//AB， 则有FM//AB//CD ∥APM∥PMF10t，FMQ180APMDQM4t，

18010t，

∥两灯的光束互相垂直，

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∥依题意可得：180解之得：t15；

10t4t90

∥当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，

PM返回时，第一次与DM相遇，则如图2所示，

过点M作FM//AB，

则有FM//AB//CD ∥PMFBPM10t180，

FMQDQM4t，

∥两灯的光束互相垂直， ∥依题意可得：10t180解之得：t135； 74t90

∥当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，

PM返回时，第二次与DM相遇，则如图3所示，

过点M作FM//AB，

则有FM//AB//CD ∥BPM∥PMF10t180，DQM180BPM3604t，

10t，

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FMQ180DQM1804t

∥两灯的光束互相垂直， ∥依题意可得：360解之得：t225； 710t1804t90

综上所述，当开启15s或【点睛】

225135s或s后，两灯的光束互相垂直． 77本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，熟悉相关性质是解题的关键．

9．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数之和为x.

探究一：图中∥—∥的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表： 多边形的序号 多边形的面积S 各边上格点的个数和x

∥ 2 4 ∥ 2.5 5 ∥ 3 6 ∥ 4 8 … … … S与x之间的关系式为：________.

探究二：图中∥—∥的格点多边形内部都只有2个格点，请你先完善下表格的空格部分（即分别计算出对应格点多边形的面积S）：

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多边形的序号 多边形的面积S 各边上格点的个数和x

∥ 4 ∥ 5 ∥ 6 ∥ 8 … … … S与x之间的关系式为：________.

猜想：当格点多边形内部有且只有n个格点时，S与x之间的关系式为：_______. 【答案】探究一：S0.5x；探究二：完整的表格信息见详解，S0.5x1；猜想：

0.5xn1.

【分析】

探究一：通过观察可以看出多边形的面积等于各边上格点个数的一半，即S0.5x； 探究二：用“切割法”将∥—∥中图形分割成几个三角形或者矩形即可求出其面积， 通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点的个数和的一半加1，即

S0.5x1，

猜想：观察可发现∥—∥多边形内部都有2个格点，面积在探究一的基础上加1，结合探究一、二可得出解析式 【详解】

探究一：当S=2时，x=4；当S=2.5时，x=5；…..通过观察多边形的面积等于各边上格点个数的一半，即S0.5x； 探究二：表格填写如下 多边形的序号 多边形的面积S 各边上格点的个数和x

通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点个数的一半再加1，即S0.5x1； 猜想：比较探究二与探究一，图形面积加1，图形内部格点个数加2，也就是多边形内部格点数每增加n个，面积就比原来多了n-1，故S与x的关系式为S0.5xn1. 【点睛】

∥ 3 4 ∥ 3.5 5 ∥ 4 6 ∥ 5 8 … … … 14

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本题主要考查变量之间的关系中的用表格表示变量之间的关系和用关系式表示变量之间的关系，解答本题的关键是要理解原图（表格）的变化规律，然后将它用关系式表示出来.

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