极限求法的研究

极限求法的研究

摘要 极限是高等数学教学中的一个难点，而极限理论又是研究连续、导数等内容的重要工具。为化解这一难点，本文详细介绍了一些典型的极限计算方法，给出解题思路及相应技巧，并辅以典型的例题，最后还强调了求极限的注意事项。

关键词 极限; 类型; 方法

Solutions to Extreme Limit

Abstract Calculating extreme limit is one of the difficult parts in the higher maths. But it plays an important part in derivative and continuous which students will learn later. This paper not only gives a detailed introduction about the types of extreme limit and techniques of solution, but typical examples as well. At last, it emphasizes the points for attention.

Key words extreme limit; types; points for attentio

函数极限和数列极限是极限的两个部分，而极限的概念又是微积分中的最基础的概念，极限理论是研究连续、级数、积分、导数等的重要工具，所以深刻理解和使用极限的概念，学习极限的求法，对学好高等数学是至关重要的。下面总结了若干常用求极限的方法，其他方法依赖于人们去发现和总结。

1

1.利用函数的连续性求极限

引理 ：一切初等函数在它的定义域上连续。若f(x)是初等函数，x0是其定义域内一点，

[1]则有点连续性

x0xx0limfxfx0则

xx0limfxflimxxx0。

x21limsinln2x02xx1 例1求极限

解 由y=sinu ， u=lnv的连续性

x2xx2xlimsinln2sinlnlim2sinln1sin00x0x02xx12xx1

然而，当xx0时，函数在x0点是间断的,就不能直接代入数值计算，这时要根据函数的具体特征，对他进行应有的形式变化；应设法消去分母、分子中不能成为连续函数的量后,把函数恒等变化成新的连续函数，再用性质求极限。

b2xblim(b0)x0x例2 求极限

b2xblimx解 x0

limx0(b2xb)(b2xb)x(b2xb)x1(b0)2bb2xblimx0x

2

2.利用极限的四则运算求极限

使用极限的运算法则求极限，须注意法则适用的条件是每个因子或因式的极限存在。

x33x1lim32例3 求x2xx1

32解 因22130，则

x33x1lim32x2xx123321331 3

000然而,对“0”、“0”、“”、“”、“0”、“1”、“”等各类未定式不能直接用上述

00法则，但其中最基本的类型是0和型其他类型应经变化转化为0或型的未定式。

0求0或型极限的方法有很多种，其中一种技巧是利用因式分解、三角函数有关公式、有

理化分子或分母以及等量变换等方法，设法消去分子，分母中极限为零或的因子，使各项极限都存在，于是转化为可以直接用四则运算法则的情形。

例4 求极限

6cos2xcosx1lim2x2cosxcosx13

3

解

6cos2xcosx1lim2x2cosxcosx13

lim

x3(3cosx1)(2cosx1)(cosx1)(2cosx1)

limx33cosx1cos1

53

3.利用洛必达法则求未定式的极限

0对于求“0”型和“”型未定式的常用洛必达法则。

lim例5

12cosxsin3xx3

3解 因为当

12cos0

sin330

所以应用洛必达法则为

lim312cosx2sinx33limsin3x33xx3cos3x3

000对于“0” “1” “0” “” “”等不是基本未定式“0”和“”的类型

的不定式，则需要用到一些技巧，如结合应用变量替换、等价无穷小因子替换、极限四则运算

4

0法则，有确定非零极限的因子应先求出等方法，化成“0”或“”型，然后再用洛必达法则

运算。

11lim2x0xxtanx 例6 求极限

1sinxxcosx1lim2limx0x0xxtanxx2sinx 解

因为 sinxxx0利用等价无穷小代换定理及洛必达法则得

sinxxcosxx0x2sinxsinxxcosxlimx0x3cosxcosxxsinxlimx03x213

lim4.利用分段函数求极限

求分段函数在连接点处的极限，或函数表达式中含有左右极限不相等的项。分别求左、右极限求得函数极限。

1cosxx2.x0f(x)0.x0ex1.x0limf(x)2x例7 设，求极限x0

5

ex11limf(x)limx0x02x2 解

12x1cosx21limf(x)limlim2x0x0x0xx22

12

所以x0limf(x)5.利用两个重要极限和变量替换求极限

sinx11lim(1)xex利用x0x和x 这两个重要极限求极限时，常常要通过变量代换三角公式、

lim倒代换等方法对函数形式进行变化。把求一个极限转化为求另一个公式的标准形式的极限，问题就解决了。

0sinxlim1x00x5.1．型，当式子中出现三角函数，可以巧用重要极限：，但有时，更多的是

利用它的推广式：

(x)0limsin(x)(x)1。因此，这类题目重要的是对分式的变形，另外如果式中不

是正弦函数的三角函数，应通过恒等变形，使其转化为所需要的正弦函数。

sinx33x2lim24x0例8 求(sinx)x

xsinx333sinx33x203xlimlim3x0(sinx)2x4x0(sinx)210x22x解

6

x2lim例9 求x1cosx

x22()x22122lim2xxxxlimlim2sin2sin222解 x1cosxx

211lim1elim1xxxx0105.2.在做或1型题目时，可以利用重要极限：x

x同时也可以更多地运用推广式：

(x)0lim[1(x)]1(x)lim[1(x)1(x)]e(x)

2lim1xx 例10 求极限

3xx222lim1lim1xxxx解

3x32e6

6.利用等价无穷小因子替换求极限

利用等价无穷小因子替换求极限可以简化函数。

但在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代。而对极限式中的相加或相减部分，不能随意替代。

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x2ln(1x)lim例11 求极限x0tanxsinx

2x2ln(1x)limxln(1x)limx0tanx1cosxx0tanxsinx解

由于当x0时，ln(1x)x,1cosxx22，tanxx

上式由等价代换得

x2ln(1x)x2ln(1x)limlimx0tanxsinxx0tanx1cosxx2x=limx0x2x2=2

7．利用自然对数法求极限

lnyey的对于经过多次乘除或复杂的幂指数函数运算得到的函数等经常会采用自然对数

办法将函数复合，然后根据指数函数的性质求

5lim(arctanx)xxx0limlny。

例12 求x

解 令

55y(arctanx)x则lny=xlnarctanx

8

lnx5limlnylimarctanx1x15x=lim112x511xarctanx2x1x2limxarctanx1x22

lim(arctanx)limyex5x2x

8.用夹逼法求极限

用夹逼定理求极限一般是对数列而言，求极限

znxnyn(n1,2,3,），nlimxn，就是将数列{xn}放大或缩小成：

且极限nlimyn与n相等。

limzn8.1简单的放大与缩小手段

若n个正数之和不超过 其中最大数乘以n 不小于其中最小数乘以n；分子、分母同为正数，为了缩小分数值把分母放大；有限个正数的乘积中 把小于1的因子简略掉 则放大乘积，大于1的因子省略则缩小乘积等。

例13 求极限nlimnn55n n5n5n解 因为5n52n5

9

所以

5nn55n5n2nn55n

由迫敛性定理知

limnn55nx5

8.2利用极限的不定式性质进行放大或缩小

5n例14 求数例极限 nlimn!

5n解 由于0lim3125又n241n0

于是nlim5nn!0

8.3对积分的极限的可利用积分的性质进行放大或缩小

例15 设在0,1上的连续函数f(x),求nlim102xnf(x)dx

10

1解 因m 则

02xndx2n1，并且f(x)在0,1上为连续函数，存在最大值和最小值分别为M和

1112m2Mnnm2xdx2xf(x)dxM2xndx000n1 n12m2Mlim0nn1nn1又

lim故

lim2xnf(x)dx0n01

但应注意在对积分的极限利用积分的性质进行放大或缩小时，函数在闭区间上连续是重要的条件。

9.利用函数极限求数列极限

通过函数极限求数列极限在级数中有重要应用。

若

xlimf(x)A则

xn，有nlimf(xn)A。

根据这一结论，则可以得到一个求数列极限nf(x)在数列xn上的值，即

limyn的方法：若数列yn能够看作某个函数

ynf(xn)(n1,2,3,)且xn，

若

xlimf(x)A，则nlimynlimf(xn)limf(x)Anx.

11

特别地，如果xlimf(x)A，ynf(n)，则limnynA.

在求其他极限过程中也会有类似的结论。

n例16 求数列极限lim(anbn2)n,(a0,b0)

axbx1解

a0,b0，令y(2)x

则

lny1axbxxln2 limln1xx0ylimaxbxx0ln2lim2axlnabxlnbx0axbx(2)=12(lnalnb)lnab

axnlim(bx1x02)xab即有lim(anbn2)nab 例17 求数列极限xlimn(nn1)

limnn1n1解 因为nn1ln(1nn1)nlnn(n)用等价无穷小因子替换得

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11limn(nn1)limnlnnlimlnnnnnnn

12lnxf(x)lnx2(x0)xx令则

nlimn(nn1)limf(n)limf(x)2limnx10xx

10.利用递推数列求极限的方法。

如果数列an满足递推方程an1f(an)(n1,2,3,)已知f是一元连续函数，则称an是递推数列。根据递推方程知，由a1可求出a2，由a2可求出a3，以此类推可求任意an，那么求递推数列的极限方法有：

limxnAann10.1．先求证递推数列收敛（常使用单调有界数列的收敛定理），接着设,再

对递推方程an1f(an)取极限得A=f(A),最后求出A即可。

5(1an)an5an (n1,2,)，求nlim。

例18 设

a10,an1解 由于0an5(n2,3,),因而an有界

205(1x)f'(x)0则an1f(an)2(5x)5x (x0)

令

f(x)因而f(x)在x0单调上升，从而an是单调有界，即存在极限n得

limanA，对递推方程取极限

13

A5(1A)5AA5nliman5

10.2．先假设nlimxnA,对递推方程两边取极限后解出A,然后用某种方法证明:

nlimxnA

x4例19 设

f(x)x2

由如下公式定义的递推公式：x01，xn1f(xn)，(n0,1,2,)

求nlimxn

解 由x01

xxn4n1x212x1nn2 (n0,1,2,)

设nlimxnl

f'(x)2(x2)212(当x1)

xn1xnf(xn)f(xn1)f'()xnxn1

12xnxn1

14

{xn}为压缩数列

l4则

limnxnl 即

ll2

解得： l2l40

l1171174或l4（舍去）

171因此

limnxn4

11.利用积分中值定理求极限

sint例20 求极限nlimntnxdx(t为常数）

解 由积分中值定理知，存在使nntntsinxnt1ntnxdxsinnxdxsinlnn(nnt)nt当n,

lnn0

又

sin1

limntsinxnnnxdxlimsinnlntn0

15

12.利用泰勒公式求未定式的极限

设f(x)与g(x)在xa处的泰勒公式分别是

f(x)B(xa)n(xa)ng(x)A(xa)m(xa)m

其中A0B0 C则

BAmnnnB(xa)(xa)f(x)limlim0nmxag(x)xaA(xa)m(xa)mnm

f(x)g(x)xa当较容易求f(x)与g(x)的泰勒公式,而当f(x)和g(x)的导数计算比较复杂时,则求极限

lim可用泰勒公式。

etsintt(1t)lim3t0t例21 求极限

t2e1t(t2)2!解 因为

tt3sintt(t3)3! t3esinttt(t3)3

t2 16

所以

etlimsintt(1t)t0t3limt013(t3)1t33

13.利用导数的定义求

设f(x)存在，若要求的极限能够化为以下类型：

f(xx)f(x)limx0x

则按导数的定义，则是f(x)根据数列极限和函数极限之间的关系又可知：

f(xxn)f(x)nlimxf'(x)n，其中nlimxn0。

f(sinx2)例22 设f'(0)1且f'(0)0求极限limx01cosx

0解 这是0型极限，但没有假设f(x)在x0时可导，因此不能用洛必达法则limf(sinx2)(f(sinx2)f(0))x01cosxlimx0sinx2sinx21cosxf'(0)limx2x012x22

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1f(b)nlimxf(b)f(x)f(b)0 例23 设在xb处可导，，求极限n解 这是1型极限，应先转化成

1f(b)nef(b)n1lnf(b)lnf(b)n1n

由数列极限与函数极限的关系知：

1lnf(b)ln(b)'nlimlnf(x)|xbx1n

所以

1f(b)nlimexf(b)n1lnf(b)lnf(b)n1nelnf(x)|xbef'(b)f(b)'

以上是总结了求极限的十三种方法，但在实际做题时，很多题是利用多种结合求解的。因此在求极限时，应选择合适的方法，灵活利用才能准确求解极限。

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