数值分析2006第二学期期末考试试题与答案(A)

2006学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟

学号 姓名 年级专业

题号 得分 评阅人 一 二 三 1 2 3 4 5 6 总分 一、判断题（每小题2分，共10分）

10001. 用计算机求

nn115时，应按照n从大到小的顺序相加。 （ ）

2. 插值节点越多，插值函数与原始函数越接近。 （ ） 3. 采用复化的求积分公式计算

baf(x)dx的近似值时，如果节点取得过多，误差反而会增

大。 （ ）

4. 最小二乘法可以求超定方程组的精确解。 （ ） 5. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的数值解时，公式的阶数越高，数值解越精确。（ ）

二、填空题（每空2分，共36分）

1. 已知数a的有效数为0.025，则它与a的相对误差限是___________.

2. 测量一个固定高度的正圆锥形容器的容积时，要使测量值的相对误差限为0.01，则测量

底面半径时允许的相对误差限为 ___________.

32103. 设A022,x4,则A1______，x2______，Ax1201______.

6424. 已知f(x)2x6x5x1,则f[1,1,0] ,f[3,2,1,0,1,2,3] . 5. 为使求积公式

11f(x)dxA1f(1)A2f(0)A3f(1)的代数精度尽量高，应使

A1 ，A2 ，A3 . 6. 求定积分

baf(x)dx的梯形公式为 ，辛普生公式为 .

7. 用于解方程f(x)0的双点弦截法的迭代公式为_____________________________. 8. 利用克劳特消元法解方程组AX=B时，对系数矩阵A做LU分解时u11____； 平方

根方法中l11与u11的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。

429. 对矩阵A使得A=LU. 如果选择l11l222,则L=_________，作LU分解，

21U= __________.

yxy210. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题的数值解，其迭代公式为

y(0)1___________________________.

三、计算题（每小题9分，共54分）

1. （1）证明用牛顿迭代法求解方程x2sinx0的正根是收敛的；

（2）求出这个根（只需给出迭代前两步的值）。（计算结果取到小数点后3位）

2. 已知函数ycosx在如下节点处的函数值。

x y （1） 建立以上数据的差分表； 0 1.00000 0.1 0.99500 0.2 0.98007 （2） 建立牛顿前插公式，并计算y(0.088)的近似值（结果保留四位小数）； （3） 估计（2）中近似值的截断误差。

3. 给定线性方程组

x12x22x31x1x2x31 2x2xx1231（1） 分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；

（2） 试分析以上两种迭代方法的敛散性。

4. 已知函数yf(x)在以下节点处的函数值，试求f(3)和f(3)的近似值。

x y 1 3 3 -1 4 6

5. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列

常微分方程的数值解。

2xyyyy(0)1(0x1,h0.5)

6. 已知如下数据表，试用最小二乘法求它的一次最小平方逼近多项式。 x y

-1 1 0 2 1 2 2 3 华南农业大学期末考试答案及评分标准（A卷）

2006学年第二学期 考试科目： 数值分析 一、判断题：（每小题2分，共10分）

1. √ 2. × 3. × 4. × 5. ×

二、填空题：（每空2分，共36分）

1. 0.02 2. 0.005 3. 6,17,10 4. 3,2 5. 6.

141,, 333ba11f(x)dx(ba)f(a)f(b),

22ba4ab11f(x)dx(ba)f(a)f()f(b)

62667. xn1xn(xnxn1)f(xn)f(xn)f(xn1)n0,1,2, 8. 1,

9. 202123 10. yn1xnynxnynyn,yn0.51201n0,1,2,

三、解答题（每小题9分，共54分） 1. （1）证明：设f(x)x2sinx，由于

55f()20,f()10, 22665(x(,)), b) f(x)12cosx02655(x(,)), 即f(x)在(,)上不变号， c) f(x)2sinx026265d) 选取初值x0，则满足f(x0)f(x0)0,

6a)

所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。 (注：含根区间可有不同解)

………………………………………5分

（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为

xn1xn取初值x0f(xn)x2sinxn xnnf(xn)12cosxn5进行迭代，得 6552sinx2sinx0563.210 x1x006512cosx0612cos6………………………………………2分

x2x1x12sinx13.2102sin3.2103.2102.092,

12cosx112cos3.210………………………………………2分

x3x2x22sinx22.0922sin2.0922.0921.913,

12cosx212cos2.092x32sinx31.9132sin1.9131.9131.896,12cosx312cos1.913x42sinx41.8962sin1.8961.8961.897,

12cosx412cos1.896x4x3x5x4

2. 解：（1）建立差分表 x 00.1 0.2y y 2y 1.000000.99500 0.980070.00500 0.014930.00993 ………………………………………3分 （2）建立牛顿前插公式为

P2(x)1则所求近似值为

0.0050.01xx(x0.1) 21!0.12!0.1y(0.088)P2(0.088)10.0050.010.0880.088(0.0880.1)0.9961 0.10.002 ………………………………………4分

（3）截断误差

R2(0.088)0.088(0.0880.1)(0.0880.2)cos()3!(00.2)

0.000019712sin()1.97121050.5104 ………………………………………2分

3. 解：（1）Jacobi迭代公式为

(k1)(k)(k)x12x22x31(k1)(k)(k)x1x31……………………………3分 x2x(k1)2x(k)2x(k)1123Gauss-Seidel迭代公式为

(k1)(k)(k)x12x22x31(k1)(k1)(k)x1x31……………………………2分 x2x(k1)2x(k1)2x(k1)1123（2）Jacobi迭代矩阵的特征方程为122210，展开得230，解得

21230.因此迭代矩阵的谱半径等于0<1，所以Jacobi迭代法收敛。

……………………………2分

22Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程为10，展开得

22(2)20，解得10,232,迭代矩阵的谱半径等于2>1，所以

Gauss-Seidel迭代法发散。

……………………………2分

4. 解：设P2(x)为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：

x 143 33y 一阶差商 二阶差商 361 P2(3)P2(3)17 P2[3,3]P2[3,3]3P2[4,3,3] P2[3,3,3]……………………………3分

因为二次多项式的二阶差商为常数，又P2(x)是

f(x)的插值函数，故有

P2[4,3,3]P2[3,3,3]3

……………………………2分

而

P2[4,3,3]因此得

P2[3,3]7，

34P2[3,3]4，

……………………………2分

由于

f(k)(x)k!Pn[x,x,x,,x]，

k1从而得

f(3)P2[3,3]4, f(3)2!P2[3,3,3]6.

……………………………2分

5. 解：预估时采用欧拉公式

*yn1ynhf(xn,yn)ynh(yn2xn) yn……………………………3分

校正时采用后退欧拉公式

yn1ynhf(xn1,y)ynh(y*n1*n12xn1*) yn1……………………………2分

由初值x00,y01,h0.5知 当x10.5,

*y1y0h(y02x0)10.5(10)1.5, y0*y1y0h(y12x120.5)10.5(1.5)1.4167 *y11.5……………………………2分

当x21,

*y2y1h(y12x120.5)1.41670.5(1.4167)1.7721, y11.4167*y2y1h(y22x221)1.41670.5(1.7721)1.7384 *y21.7721……………………………2分

6. 解：设所求一次最小平方逼近多项式为P1(x)a0a1x. 根据已知数据，得

11M11则

112a00,A,Y 21a123……………………………2分

428MM,MY 267……………………………2分

建立法方程组为

42a0826a7 1……………………………2分

解得

a01.7,a10.6.

……………………………2分

从而得所求一次最小平方逼近多项式为P1(x)1.70.6x.

……………………………1分