用Doolittle分解法

试题A:

1242861x1214x252310886x一、 用Doolittle

分解法，求解四元方程组412103x41000124121000422110解：A=LU=3002341210060………………7

分

1000y1212100yy1252y2110110y3792由

LY=B：3y64121y482得

3y424………4分

124104x12x1221x10x1200232由UX=Y:

00062x36x3x424得

3x44………..4分

1 7982（15分）

nxR二、 设，证明：x的三种基本范数满足不等式

x2x1nx2 （15分）

证明：1.因为

x1x1x2xn22x1x222xn2

所以

x2x1 ……. 7分

2.又

x21x122x1x22xn1xnnxii1n2

所以

x1nx2……7分

综合1和2原命题成立。…..1分

10099A9998，求矩阵A的条件数cond(A)（10分） 三、 已知

9899A199100……….3分 解：

2

A＝199………….3分

A1＝199…………3分

cond(A)＝AA1＝39601………….1分

211x111x2111112x13 四、 对于方程组1) 给出方程组的雅科比迭代矩阵，并判断迭代是否收敛（10分）

001101/21/21/20BD1(LU)010101101001/21101/21/20…..4解：

分

IB(2),(B)54512 ………………..4

分

发散……………………….2分

3

2) 给出方程组的高斯－赛德尔迭代矩阵，并判断迭代是否收敛（10分）

10122000111B(DL)1U1100010211200000解：121212

IB()2,(B)12112 ………………..4

分

收敛…………………..2分

五、 已知f(0)1,f(1)2,f(2)4，求f(x)的Lagrange多项式,并求

3f()2的值。（15分）

解：

l0(x1)(x2)1(2) ………..3分

l1x(x2)1(1) ………..3分

4

l2x(x1)21 ………..3

分

Lxl0f0l1f1l2f20.5x20.5x1 ………..3分

所以L(1.5)2.875 ………..3分

111x121x21123的最小二乘解。六、 用法方程组求方程组（10

分）

111x1121121111211112x1123ATAxATy…….5解：由得：

分

62x18230x2……3即

分

3x14x124…….2解出

分

5

yx2100y2,0x1y(0)0七、 使用欧拉方法计算初值问题的解y(x)在x=0.4时的近似值

（取h=0.1,小数点后至少保留3位）（15分）

解：欧拉方法公式为：yk1ykhfxk,yk 又h0.1……… 3分

所以y(0.1)00.100 ……… 3分

y(0.2)00.10.10.01……… 3分

y(0.3)0.010.1(0.040.01)0.015……… 3分

y(0.4)0.0150.1(0.090.0225)0.02625……… 3分

TEST B:

6

一、 用Doolittle

11215230分解法求解四元方程组04x11450x21112x31526x417（15分）

100021001104403551000解：A=LU=13171414000112………………7

分

二、 证明Rn上l2向量范数的导出矩阵范数是Rnn 上矩阵2范数

200100A1151151三、 已知00051，求矩阵A的范数A1和A（10分）

解：由定义：

A1＝25 ……. 5分

A＝10 ……. 5分

7

15分）

（

302x11021x20212x13 四、 对于方程组1) 给出方程组的雅科比迭代矩阵，并判断迭代是否收敛（10分）

00BD1(LU)00112解：23120…….4

分

IB(21111),(B)11212 ………………..4

分

收敛……………………….2分

2) 给出方程组的高斯－赛德尔迭代矩阵，并判断迭代是否收敛（10分）

8

200133000021B(DL)1U020001002212000110012 IB2(1111),(B)11212 ………………..4

分

收敛…………………..2分

五、 已知f(1)3,f(1)0,f(2)4，求f(x)的Lagrange多项式,并求

3f()2的值。（15

分）

解

l0(x1)(x2)1(2) ………..3分

l1x(x2)1(1) ………..3

分

l2x(x1)21 ………..3

分

9

Lxl0f0l1f1l2f20.5x0.5x12 ………..3分

所以L(1.5)2.875 ………..3分

111x121x22113的最小二乘解。六、 用法方程组求方程组（10

分）

111x1121121111211112x1123ATAxATy…….5解：由得：

分

62x18230x2……3即分

3x14x124…….2解出

分

yx2y2,0x1y(0)1七、 使用欧拉方法计算初值问题的解y(x)在x=0.4时的近似值（取

10

h=0.1,小数点后至少保留3位）（15分）

TEST C:

一、 用Doolittle

4111分解法求解四元方程组840x112543x29472x35x93024（15分）

二、 证明R上l向量范数的导出矩阵范数是Rnnn 上矩阵范数

 （15分）

1121A5230三、 已知04501226，求矩阵A的范数A1和A（10分）

122x11111x21221x13 四、 对于方程组1) 给出方程组的雅科比迭代矩阵，并判断迭代是否收敛（10分）

11

100022022BD1(LU)010101101001220220

IB3,(B)01

收敛

2) 给出方程组的高斯－赛德尔迭代矩阵，并判断迭代是否收敛（10分）

1021000221B(DL)1U11000102221000001121212

IB(2)2,(B)21 ………………..4分

发散…………………..2分

五、 已知f(1)5,f(0)1,f(2)1，求

f(x)的Lagrange多项式,并求f(1)的值。

（15分）

12

111x121x21123的最小二乘解。六、 用法方程组求方程组（10

分）

yxy,0x1七、 使用欧拉方法计算初值问题小数点后至少保留3位）（15分）

y(0)113 的解y(x)在x=0.4时的近似值（取

h=0.1,