研究生数值分析试卷.docx
2005-2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）
科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、 （15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法
（1） 证明对0兀0 w /?,均有lim林，其中T为方程的根.
kT8 （2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.
二、 （12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的 收敛性。
x} + 2X2 - 2X3 = 1,
v 兀］+ 兀2 +兀3 = _1，
2兀］+ 2兀2 +兀3 = °・
(2a a 0、
三、（8分）若矩阵A = 0 a 0 ,说明对任意实数。工0,方程组AX=b都是
0 Q,
非病态的。（范数用||・|L）
四、（15分）已知y = f（x）的数据如下:
0 1 2 2 6 fM •厂（兀） 0 1 求/（%）的Hermite插值多项式H3 （%）,并给出截断误差/?（兀）=f（x） - H3 （x）。
五、（10分）在某个低温过程屮，函数y依赖丁•温度兀（°C）的试验数据为
1 2 1・5 3 1・8 4 2・0 0・8
已知经验公式的形式为『=仮+方兀2 ,试用最小二乘法求出a , b o 六、（12分）确定常数a, b的值，使积分
J(a, /?) = !] 2 [ax 取得最小值。
七、（14分）已知Legendre（勒让德）止交多项式厶（x）有递推关系式:
'L曲（兀）=^77 心（兀）一 -—n-1（兀）
（斤=1, 2,…）
试确定两点的高斯一勒让德（G—L）求积公式
£ f（x）djc = £ f\\x｝） + A2 .f （兀
L2）
的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分
牛\"（3）的单步法:
八、（14分）对于下而求解常微分方程初值问题
go） = y（）
儿+1 =儿+力（^心+-^2） k\\=f（Xn，yJ 忍=fg + h,yn + hk｛）
（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。
2005〜2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）
科目名称：数值分析 学生所在院： ______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解卜列方程组的 收敛性。
二、（15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法
^+i =4 + -COSXA.
(1) 证明对Vx0 G 7? 有lim® =M,其中/为方程的根.
k->8
(2) 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.
'la a O'
三、 (8分)若矩阵0 a O ,说明对任意实数QHO,方程组AX=h都是
、0 0 。丿
非病态的。(范数用||・|L) 四、 (15分)
________________________
1 •广(兀,) 2 4 3 2 ■1 2
fix） 求/(x)的Hermite插值多项式H3(x),并给出截断误差/?(%) = /(%)-W3(x) o 五、(10分)在某个低温过程屮，函数y依赖于温度兀(°C)的试验数据为
x； 1 0. 8 22 1. 5 3 1. 8 4 2. 0 y,
已知经验公式的形式为y = ax^bx，试用最小二乘法求出a , b □ 六、(12分)确定常数a, b的值，使积分
/（6Z, /?） = j f
\\ciX 取得最小值。
2
七、(14分)对于求积公式：J/?(x)/(x)cZr = £人/(忑)，其屮：°(兀)是区间(d,b) k=\\ 上的权函数。
(1) 证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次; (2) 若此公式为Gauss型求积公式，试证明
吕 c
LA =J P（x）dx A=1 a
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题■孚二'。，刃的单步法: 丿（兀0）
h=儿
儿+】=儿+力（*心+*為） k\\二心，儿） 忍=f（n + 人儿 + \\）
Xhk
（3） 验证它是二阶方法； （4） 确定此单步法的绝对稳定域。
2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）
科目名称：数值分析 学生所在院： ______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解卜列方程组的 收敛性。
xx + 2 兀2 一 2 无3 = 1, xx + x2+x3 =_1, 2xl + 2X2 + x3 = 0.
'2a a 0、
二、（8分）若矩阵0
6/ 0
、0 0 d丿
说明对任意实数GH0,方程组AX=b都是
非病态的。（范数用||・|L）
三、（15分）设0（兀）导数连续，迭代格式xk+l =（p（xk） 一阶局部收敛到点构 造
新的迭代格式：
耳+i =几耳+ 〃0（无）
问如何选取常数久及“，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。 四、（15分）
________________________
1 •心） 2 4 3 2 -1 2
fg 求/（x）的Hermite插值多项式比⑴，并给出截断误差尺⑴=/⑴-比（兀）。 五、（10分）在某个低温过程屮，函数y依赖丁•温度兀（°C）的试验数据为
1 2 1・5 23 1. 8 4 0・8
2・0 已知经验公式的形式为y = ax + bx ,试用最小二乘法求出a , b。 六、（12分）确定常数a, b的值，使积分
/(a, b)=j [ [ax? + 方 一 |
二 时]dx
取得最小值。
七、（14分）对于求积公式: p(x)f(x)dx Ak f(xk),其中：p(x)是区间(a,b) k=\\ 上的权函数。
（3） 证明此求积公式的代数精度不超过2叶1次; （4） 若此公式为Gauss型求积公式，试证明
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题
的单步法:
卜（尢0）=儿
儿+】=儿+ 何+㊁心) k\\ =f(xn,yn)
k2 = f(xn + h,yn + hkj
（5） 验证它是二阶方法； （6） 确定此单步法的绝对稳定域。
2006-2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）
科目名称：数值分析学生所在院： ________ 学号： _____________ 姓名： ______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（12分）设方程组Ax = b为
、 ^11
(1)用Doolittle分解法求解方程组;
(2)求矩阵A的条件数Ccmdg
二、(12分)设A为n阶对称正定矩阵，A的n个特征值为人5入5…5人，为 求解方程组Ax = bf建立迭代格式求出常数⑵的取 值范围，使迭代格式收敛。 三、(12分)已知数据
-2 ・1 0 1 2
0 1 2 1 0 试用二次多项式p(x) = ax2 +加+ c拟合这些数据o 四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：
1 2 3 心) 2 4 12
广(兀) 3 (1) 求f(x)的Hermite插值多项式H3 (x)；
3 3
3
(2) 为求^f{x)dx 的值，采用算法：J(
J(x)tZx + R
试导出截断误差R
五、 (12分)确定常数a , b的值，使积分
f! 2
I (a, b) = J 0(czx + b-e') dx
取得最小值。
六、 (12)确定常数人，使求积公式
匸/(兀)心=A』(0) +仏/(1) +人』⑵ 的代数精度尽可能高，并
问是否是Gauss型公式。
七、(12分)设俠劝导数连续，迭代格式x,+I =(p(xk)-阶局部收敛到点对 于常数久，构
造新的迭代格式：
A 1 ,、 X.+]-——-X，+ ——- \"1 + 2 1 + A
问如何选取2,使新迭代格式有更高的收敛阶, 八、并问是儿阶收敛。 (14分)对于下面求解常微分方程初值问题 弓=\"刃的单步法:
儿+】=儿+ 2
hkk\\ =\"“，儿）
kq= f （匚 +打，y,t + ：/必]）
(7) (8)
验证它是二阶方法；
确定此单步法的绝对稳定区域。
2007〜2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题
科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： ________ 姓名： ______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
—> （15 分）给定方程 f（x） = （x-l）e-l=0
(1) 分析该方程存在几个根；
(2) 用迭代法求出这些根，精确至2位有效数;
(3) 说明所用的迭代格式是收敛的. 二、(15分)设线性方程组为
x
a2lx} + a 22x2 = b迭代法和. (1) 证明用JacobiGauss-Seidel迭代法解此方程组要么同时收敛, 要么同
时发散.
(2) 当同时收敛时比较其收敛速度.
三、(10分)设4为非奇异矩阵，方程组Ax = b的系数矩阵人冇扰动AA,受扰 动后的方程组为(A + M)(x + Ax) = &,若 || A'1 ||-||^||<1,试证：
II AY ||^
II % II \"
四、（15分）已矢H y = /（兀）的数据如卜: 0 心） 1 0 2 1 1 广（兀） 1 求/（X）的Hermite插值多项式H3（x）,并给出截断误差7?（兀）=f（x）-H3（x）。 五、（10分）己知数据
■ 1 0 0 3 21 1 2 2 2 4 y, ] = min
2
3 3 7 Xi
ix /(x) = ax + b(x-l),求常数 a , b,使得
/=O
八、（15分）定义内积（于，g） =
必 在H = Span{l ,x ,x2}中求
/（x） =| x |的最佳平方逼近元素.
七、（10分）给定求积公式
r 2/?
J f^dx - Af（-h） + 砂（0） + Cf（h） J 一2h
试确定A,B,C,使此求积公式的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式.
八、（10分）给定微分方程初值问题
dy 2y < y(o)= 2
0 200旷2009学年第一学期硕士研究生期末考试试题 一、（本题共3小题，每题8分，共24分）解答下血各题： 1）卜•表给出了函数f（x）在一些节点上的函数值: X 0.0 0. 1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 f(x) 5 3 -3 -3 3 5 8 6 0 用复化Simpson求积公式近似计算函数f （x）在区间［0, 0. 8］上的积分。 2）已知函数y=f （x）的观察值如下表所示，使用Newton插值法求其插值多项 式。 X 3 0 1 2 y 3 -1 2 0 3）取初值为2,利用Newton迭代法求方程: /（x） = x -2 = 0 在［0, 2］中的近似解。要求迭代两次。（如果计算结果用小数表示，则最后结果 应保留5位小数）。 2二、（本题1 5分）设常数a^O,试求a的取值范围,使得用雅可比（Jacobi） 迭 代法求解下面线性方程组时是收敛的。 三、（本题 0 ，a ' 1 3 、 y = Q + 1 a 1 2 ‘―3 2 °l z 卫+ 2, 丿 X / 16分）利用Hermite插值多项式构造下面的求积公式： (a Z 、 j f（x）dx « y［/（o）+ /（/?）］+ 告沪［厂（0）一 厂（/?）［ 2 I， 并导出其积分余项。 四（14分）己知方程/+10—4 = 0在0.2附近有解，建立用于求解此解的 收敛的迭 代公式。并问如何设置迭代终止条件可以保证计算结果具有4位有效数字 （不计舍入误差）。 五、（15 分）对初值问题一处+ 1 9 表达式，并与准确解y--ax +bx相比较。 导出改进Euler方法的近似解的 I y（o）= o 2 六（15分）设A为n阶对称正定矩阵，从方程组Ar\"的近似解严二兀⑹出 发依次求得）\"使得0（严）=migtyi +©）, i=l,2,...,n,然后令兀（如）=y（/,）。 其屮：©为n阶单位矩阵的第i列，0（尤）二（\\/2）xAx-hx o 请验证这样得到的迭代算法就是Gauss-Seidle迭代法。 TT 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容