计算方法习题

计算方法Newly compiled on November 23, 2020

题

习

《计算方法》练习题一

练习题第1套参考答案 一、填空题

1．3.14159的近似值，准确数位是（ 102 ）。

f()(xa)(xb) ）。 2!2 3．设{Pk(x)}为勒让德多项式，则(P2(x),P2(x))（ ）。

5 2．满足f(a)c,f(b)d的插值余项R(x)（

4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ [2,0]）。 二、单选题

1．已知近似数a,b,的误差限(a),(b)，则(ab)（Ｃ ）。

A．(a)(b) Ｂ．(a)(b) Ｃ．a(a)b(b) Ｄ．a(b)b(a) 2．设f(x)x2x，则f[1,2,3]（ Ａ ）。

Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４

31

3．设Ａ＝，则化Ａ为对角阵的平面旋转（ Ｃ ）． 13

Ａ．

 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 23464．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速．

Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.

A．o(h) Ｂ．o(h2) Ｃ．o(h3) Ｄ．o(h4) 三、计算题

x1x231．求矛盾方程组：x12x24的最小二乘解。

xx221 (x1,x2)(x1x23)2(x12x24)2(x1x22)2，

由

3x2x290,0得：1， x1x22x6x921189,x2。 71421解得x12．用n4的复化梯形公式计算积分 211dx，并估计误差。 xdx18881[1]0.697， x85672R(x)M21。 1216962x15x23x363．用列主元消元法解方程组：2x14x23x35。

4x6x2x4231 回代得：x(1,1,1)T

4．用雅可比迭代法解方程组：（求出x(1)）。 因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。

1(m1)(m)x(1x)124(m1)1(m)雅可比迭代公式为：x2(3x1(m)x3),m0,1,。

41(m1)(m)x3(1x2)4取x(0)(1,1,1)T计算得： x(1)(0.5,1.25,0.5)T。

5．用切线法求x34x10最小正根（求出x1）。

．因为f(0)10,f(0.5)0.8750，所以x*[0,0.5]，在[0,0.5]上，

f(x)3x240,f(x)6x0。由f(x0)f(x)0，选x00，由迭代公式：

计算得：x10.25。 四、证明题

1．证明：若f(x)存在，则线性插值余项为：

R(x)f()(xx0)(xx1),x0x1。 2!y10y2. 对初值问题：，当0h0.2时，欧拉法绝对稳定。

y(0)1１．设R(x)k(x)(xx0)(xx1),g(t)f(t)L1(t)k(x)(tx0)(tx1)，有

x0,x1,x为三个零点。应用罗尔定理，g(t)至少有一个零点，

g()f()2!k(x)0,k(x)f()。 2! ２．由欧拉法公式得：

n~ynyn1ohy0~y0。

当0h0.2时，则有

yn~yny0~y0。欧拉法绝对稳定。

练习题第2套参考答案 一、填空题

11．e2.71828具有3位有效数字的近似值是（ 102，）。

2 2．用辛卜生公式计算积分1dx， ）。 （ 01x1xx1(k1)k1)k1) 3．设A(k1)(aij，则a(pk（ x21， ）。 )第k列主元为a(pk511(m1)(m1)(m) , ）。 baxaxax 4．已知A，则（ A33113223441a42335．已知迭代法：xn1(xn),(n0,1,) 收敛，则(x)满足条件（ f(x0)0 ）。

二、单选题

1．近似数a0.47820102的误差限是（ C ）。

1111Ａ．105 Ｂ．104 Ｃ．103 Ｄ．102

2222 ２．矩阵Ａ满足（ ．D ）,则存在三角分解A=LR。

A．detA0 Ｂ． detAk0(1kn) Ｃ．detA0 Ｄ．detA0 ３．已知x(1,3,5)T，则x1（ B ）。

Ａ．９ Ｂ．５ Ｃ．－３ Ｄ．－５ ４．已知切线法收敛，则它法具有（ ．A ）敛速．

Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 ５．设{Pk(x)}为勒让德多项式，则(P3(x),P5(x))（ B）。

2222Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

57911三、计算题

１．已知f(x)数表： 求抛物插值多项式，并利用反插值法得 ２．已知数表： 求最小二乘一次式。 由方程组：

*a03,a16，所以g1(x)36x。

０ －２ １ ０ ２ ４ 求f(0.5)近似值。

０ 1 １ ２ 4a06a148，解得：6a14a10210111３．已知求积公式：f(x)dxA0f()A1f(0)A2f()。求A0,A1,A2，使其具有

122尽可能高代数精度，并指出代数精度。

I

dx118881[]0.4062， 02x829101131

|R(f)|M210.00132 。 1216768410的按模最大特征值与特征向量。 131４．用乘幂法求A014因为

22T,,0)22所以：23,X2(0,1,0)T14,X1(

32,X3(22T,,0)22y2xy５．用予估－校正法求初值问题：在x0(0.2)0.4处的解。

y(0)1应用欧拉法计算公式：yn10.2xn1.1yn ，n0,1，y01。 计算得y11.1,y21.23。 四、证明题

１．设(A)是实方阵Ａ的谱半径，证明：(A)A。 1．因为A=(A-B)+B,AABB， 所以ABAB，

又因为B=(B-A)+A, BBAA 所以BABAAB

２．证明：计算a(a0)的单点弦法迭代公式为：xn1因为计算5a等价求x5a0的实根，

将f(x)x5a,f'(x)5x4代入切线法迭代公式得：

5xna1axn1xn(4x),n0,1,...。 n445xn5xncxna，n0,1,。 cxn《计算方法》练习题二

练习题第3套参考答案 一、填空题

1．近似数a0.63500103的误差限是（102 ）。

2．设|x|>>1,则变形1xx（ (G)1， ）,计算更准确。

x12x233．用列主元消元法解：，经消元后的第二个方程是

2x2x412（ xn1xnxn1axnxn1(n1,2,)， ）。

(m1) ( ， )。 4．用高斯—赛德尔迭代法解4阶方程组，则x35．已知在有根区间[a,b]上,f'(x),f''(x)连续且大于零，则取x0满足

nn（ f(xn,ynk2) ），则切线法收敛。

22二、选择题

1．已知近似数a的r(a)10/0，则r(a3)（ c ）。

A. 10/0 B. 20/0 C. 30/0 D. 40/0

2．设{TK(X)}为切比雪夫多项式，则(T2(X).T2(X))（b ）。 B

. C. D.  42643．对A直接作三角分解，则r22（ d ）。 36A. 5 B. 4 D. 2

4．已知A=D-L-U，则雅可比迭代矩阵B=（ c ）。

A. D1(LU) B. D1(LU) C. (DL)1U D. (DU)1L 5．设双点弦法收敛，则它具有（ a）敛速。 A. 线性 B.超线性 C.平方 D. 三次 三、计算题 1．已知f(x)数表

用插

X y 0 -4 1 -2 2 2 值法求f(x)0在[0，2]的根。

sin52230.5828，1022R()0.582102。 524002．已知数表 求最

X y 0 1 2 3 0,0 xy小二乘一次式。

2．(x,y)(xy4)2(xy3)2(2xy6)2，由

6x2y19474得，解得：x,y。

1472x3y53．用n=4的复化辛卜生公式计算积分3．由

dx，并估计误差。 02x1112解得n3，取n=3， 10248n21dx11661复化梯形公式计算得：[]0.4067。

02x62783310的全部特征值与特征向量。 1304．用雅可比法求A00312011201120101100110 23124．012101210011回代得：X(1,1,1)T

y'2xy5．用欧拉法求初值问题在x=0处的解。

y(0)15．因为a33a112,a121,所以13,x1(22T,0,) 224

四、证明题

1．证明：ABAB。

1a2．证明：计算5a的切线法迭代公式为：xn1(4xn4),n0,1,...

5xn1．设x1n2xp，则有xixpni12xi2，

i1n所以有1x2xnx2

2．因为迭代函数是(x)xf(x),'(x)1f'(x)， 当02时则有11f'(x)1，即 m1|1f'(x)||'(x)|1，所以迭代法收敛。

练习题第4套参考答案 一、填空题

1．已知误差限(a),(b),则(ab)（ |b|(a)|a|(b)， ）。 2．用辛卜生公式计算积分Tdx73， ）。 （

02x18013．若AA。用改进平方根法解Axb，则ljk（

rkjrkk， ）。

4．当系数阵A是( 严格对角占优 )矩阵时，则雅可比法与高斯—赛德尔法都收敛。

x5．若12，且1i(i3)，则用乘幂法计算1（ .x(k2)i(k)i ）。 12二、单选题

1．21.41424,则近似值

10的精确数位是（a ）。 7A. 101 B. 102 C. 103 D. 104

4210r11r12,则有r22（ b ）。 2．若24l2110r22

A. 2 B. 3 D. 0

413．若A，则化A为对角阵的平面旋转角（ c ）。 14A.

 B. C. D. 23464．若切线法收敛，则它具有（ b ）敛速。 A. 三次 B. 平方 C. 超线性 D. 线性 5．改进欧拉法的绝对稳定实区间是（ d ）。 A.[-3，0] B. [，0] C. [，0] D. [-2，0] 三、计算题 1. 已知函数表:

X Y Y’ 求埃尔米特差值多项式H(x)及其余项。

H(x)(12(x1))(x2)2(1)(x2)(x1)22x22x。

1 -1 0 2 0 2 f(4)()R(x)(x1)2(x2)2,(12)

4!2．求f(x)x3在[-1，1]上的最佳平方逼近一次式。

1133143*2．设g(x)ap0(x)ap1(x)，则axdx0,a1xdx,

212153*所以g1(x)x。

5*1*0*1*03．求积公式:f(x)dxAf(0)Bf(x1),试求x1，A，B，使其具有尽可能高代数精度，

01并指出代数精度。

3．设求积公式对f(x)1,x,x2精确得：

AB11231Bx1，解得：x1,B,A。

2344Bx1213所以求积公式为：f(x)dx01132f(0)f()， 443再设f(x)x3，则左12=右。此公式具有3次代数精度。 494．用双点弦法求x35x20的最小正根（求出x2）。

4．因为f(0)20,f(0.5)0.3750, 故x*[0,0.5]，在[0，]上，

m1minf(x)4.25,M2maxf(x)3，KR公式：

M230.51，应用双点弦法迭代2m1193(xnxn1)(xn5xn2)xn1xn3,n1,2,...计算得：x20.421。 3(xn5xn2)(xn15xn12)y'xy5．用欧拉法求初值问题：在x=0处的解。

y(0)15．yn10.1xn0.9yn,n0,1，由y01，计算得：y10.9,y20.82。 四、证明题

1．设l0(x),...,ln(x)为插值基函数，证明：

l(x)1。

kk0nf(n1)()(x)0， ．设f(x)1，则有R(x)(n1)!所以有lk(x)f(x)1。

k0n2．若B1。证明迭代法：

x(m1)2(m)1(m)xBxb,m0,1,... 收敛。 33

因为迭代矩阵为G所以G21IB,B1， 332121IBIB1，所以迭代法收敛。 3333