吉林大学 研究生 数值计算方法期末考试 样卷

ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差

2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值

3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1)

x f[x] f[x,x] f[x,x,x] iii1ii2i1i2.0 2.2 2.3 (2)

xi0.6931 0.7885 0.8329 0.477 0.444 f[xi1,xi]f[xi2,xi1,xi] -0.11 f[xi3,xi2,xi1,xi] f[xi]0 2 3 5 N3(x)1x1 3 2 5 1 -1 3/2 -2/3 5/6 3/10 23x(x2)x(x2)(x3)3104.给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton

插值多项式,并由此计算f(0.596)的值 x 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05 f(x)0.4100.5780.6960.8881.0261.253 75 15 75 11 52 82 解： x f[x] F2 F3 F4 F5 F6 0.4 0.410 75 0.50.5781.116 5 15 00 0.60.6961.1860.280 5 75 00 00 0.8 0.8881.2750.3580.197 11 73 93 33 0.9 1.0261.3840.4330.186-0.022 52 10 47 34 00 1.01.2531.5150.5240.2280.0880.1635 82 33 92 63 46 94

5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值 x 0.4 0.5 0.6 0.7 iiiii0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。 (a) x 1.0 1.1 1.3 1.5 1.9 2.1 y 1.84 1.96 2.21 2.45 2.94 3.18 (b)

f(xi)k kxk k4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1 10111314161922252932y2.53.10.12.07.55.14.86.79.56.7 6 8 1 5 3 4 7 3 0 2

7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形

1dx求积公式计算积分所需的步长h，x40使得精度达到1052。

8.求A、B使求积公式

111f(x)dxA[f(1)f(1)]B[f(2)f(2)]1的

代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求9.已知

1 3 4 5 f(x) 2 6 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。

xiI 211dxx(保留四位小数)。

i3

10.已知

-2 -1 0 1 2 f(x) 4 2 1 3 5 求f(x)的二次拟合曲线p(x)，并求f(0)的近似值。

11.已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表

0.4 0.5 0.6 xi 0.7 0.8 yi 0.38942 0.47943

xii20.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。 12. 利用矩阵的LU分解法解方程组

x12x23x3142x15x22x3183xx5x20123。

13.已知下列实验数据 xi 1.36 1.95 2.16 f(xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

14. 取节点x0,x0.5,x1,求函数f(x)e在区间[0,1]上的二次插值多项式P(x),并估计误差。 15. 数值积分公式形如

012x2 0试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量

4f(x)C[0,1]，推导余项公式高；（2）设

xf(x)dxS(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df(1)1R(x)xf(x)dxS(x)01，并估计误差。

16. 已知数值积分公式为： 0hhf(x)dx[f(0)f(h)]h2[f'(0)f'(h)]2，

试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 17. 以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton插值方法：差分表：

18用复化Simpson公式计算积分

sinxIdx0x的近似值，要求误差限为

10.510。

19. 取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式

205和复化辛普生公式计算积分

的近似值（保留4位小数）。 20.确定求积公式 111fxdx95f1dx212x0.68f05f0.6

的代数精度，它是Gauss公式吗？

21〃. 给出f(x)lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx-0.916-0.693-0.510-0.357-0.223 291 147 826 765 144 22.给出cosx,0x90的函数表，步长h1(1/60)，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

23. 求一个次数不高于4次的多项式P(x)，使它满足P(0)P(0)0，P(1)P(1)1，P(2)1。 24.. 给定数据表：i1,2,3,4,5，

x 1 2 4 6 7 if(xi) 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 25.如下表给定函数：i0,1,2,3,4，

x 0 1 2 3 4 i4 1 0 1 1 f(xi) 试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿

3 6 11 18 27 向前插值公式给出它的插值多项式。

26. 用最小二乘法求一个形如yabx的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 27.观测物体的曲线运动，得出以下数据： 时间t（秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米） 0 10 30 50 80 110

2ii28. 单原子波函数的形式为yae，试按照最小二乘法决定参数a和b，已知数据如下：

X 0 1 2 4 y 2.010 1.210 0.740 0.450 29. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： （1）4xx102bxdx；

30. 用矩阵的直接三角分解法求解方程组：

1010

020x15101x23243x317。 x71034