陕西省汉中市2019届高三下学期第二次教学质量检测理科数学试卷(含解析)

汉中市2019届高三年级教学质量第二次检测考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 先解不等式【详解】

，所以

，根据

，确定集合A，根据而

，所以

，就可以求出

B. 2

，

，若

C. 3

，则

（ ）

D. 5

，因此集合

，因此本题选C.

【点睛】本题考查了集合的表示方法之间的转化、集合之间关系。 2.设复数A.

（是虚数单位），则的虚部为（ ）

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 【分析】

先求出复数的共轭复数，计算，根据结果写出虚部。 【详解】复数的虚部为

，

，

，因此本题选C。

【点睛】本题考查了复数的共轭复数、复数的四种运算、虚部的概念。 3.已知向量、的夹角为A.

，B.

，

，则

（ ） C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】

求向量的模可以先求出模的平方，然后再开算术平方根。 【详解】

，

因此本题选A。

【点睛】本题考查了向量求模的方法。一般的方法有二种：一是平方进行转化；另一个是利用向量加减法的几何意义进行求解。本题也可以利用第二种方法来求解。设则4.已知A. 【答案】D 【解析】 【分析】 由

的值。

【详解】

可以求出

，进而可以求出

的值。运用两角差的正切公式可以求出

=

利用余弦定理可以求出它的模。 ，

，则B.

（ ）

C.

D.

所以， ，因此本题选D。

【点睛】本题考查了同角三角函数之间的关系、两角差的正切公式。 5.函数

的图像是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B 【解析】

首先由函数解析式可知函数在

上单调递增，，故选B

为奇函数，故排除A,C，又当

时，

，

6.双曲线A.

B.

的离心率恰为它一条渐近线斜率的2倍，则离心率为（ ）

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】

由题意根据离心率公式，列出等式，再由【详解】由题意可知得

，即

之间的关系，最后求出离心率。

，而

，因此本题选A.

【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法。 7.函数

的部分图像如图所示，则函数

的单调增区间为（ ）

A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图可知：图象过

，这样可以利用周期公式可以求出，把

代入解析式中，求出，

B. D.

最后求出函数的单调增区间。 【详解】由图可知：图象过

；

图象过因为

，

，所以

，

，

，

,

当时，函数单调递增，化简得 ，因此本题选D。

【点睛】本题考查了三角函数图象及性质。解决此类问题的关键是通过函数的图象找到“关键点”，如最高点、最低点、零点等。

8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。“更相减损术”便出自其中，原文记载如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。”其核心思想编译成如示框图，若输入的，分别为45，63，则输出的为（ ）

A. 2 【答案】D 【解析】 【分析】

B. 3 C. 5 D. 9

通过已知，可以判断这是在求两数的最大公约数。也可以按照循环结构的特点，先判断后执行，分别求出当前

的值，直到循环结束。

【详解】通过阅读可以知道，这是利用更相减损术求45，63的最大公约数，63，45的最大公约数是9。也可以按照循环结构来求解，如下表： 循环次数 初始 第一次 第二次 第三次 a 45 45 27 9 b 63 18 18 18

第四次 第五次

因此本题选D。

9 输出a=9 9 【点睛】本题考查了算法和程序框图、更相减损术。解决此类问题的关键就是按照程序框图的结构进行，得出结论，当然对于一些经典的算法应该熟知，这样可以直接求解。 9.如图，在直三棱柱与

所成的角为（ ）

中，

，

，点为

的中点，则异面直线

A. 【答案】B 【解析】 【分析】 取

的中点

，连结的中点 且，

B. C. D.

,这样求异面直线，连结，

且

与所成的角就转化成求

，点为就是异面直线

的大小。 的中点, 与

所成的角。，在,所以

【详解】取,在直三棱柱

，所以，在，显然

可以求出中，由勾股定理可求出是直角三角形，

中，由勾股定理可求出，因此本题选B。

【点睛】本题考查了异面直线所成角的问题，解决的关键转化成相交线所成的角，但要注意异面直线所成角的范围是

。

10.汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有（ ） A. 12种

B. 22种

C. 28种 D. 30种

【答案】C 【解析】 【分析】

由题要将所有人分到两个不同的接待处A,B,则①甲可能在A组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，②甲可能在B组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，分别求出每一种分配的方法数目，有分类计数原理计算可得答案。 【详解】由题可分两种情况讨论：

①甲可能在A组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有②甲可能在B组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有一共有故选C.

【点睛】本题考查分类计数原理，解题的关键是分类列出所有可能情况，属于一般题。 11.已知抛物线则

等于（ ）

B. 14

C. 16

D. 28

的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，交准线于点，若

，

种分法。

种分法； 种分法；

A. 12 【答案】C 【解析】 【分析】

分别过A,B作准线的垂线，利用抛物线的定义把A,B两点到F点的距离转化为A,B两点到准线的距离，结合已知可以求出【详解】抛物线

，和

的长，最后求出

。

，分别过A,B作准线的垂线，垂足为M,N，如下图：

由抛物线的定义可知：因为所以

，所以有

。

, ，解得轴，所以

轴= ,

, 。

,

所以 =16，因此本题选C.

【点睛】本题考查了抛物线的定义，弦长的求法。 12.已知函数①当③

时，的解集为

是定义在上的奇函数，当

时，

有3个零点 ，都有

，给出下列命题：

②函数

④

其中正确命题的个数是（ ） A. 4 【答案】A 【解析】 【分析】

对于①：根据奇函数的性质即可求解； 对于②：先求出当由于函数

时，函数的零点，利用奇函数的性质，就可以求出当

。

时,求出

的解集。

时，函数的零点，

B. 3

C. 2

D. 1

是定义在上的奇函数，所以有

时，求出

对于③:分类讨论，当的解集；当

对于④：利用导数，求出函数【详解】对于①：当

时，有

的值域，就可以判断是否正确。

,由奇函数定义可知：

，所以

本命题正确；

对于②：当

时，

，解得，因此函数，即

，即

，根据奇函数的性质可知

，

又因为定义域是，所以对于③：当当解得

时，

有3个零点，本命题正确； ,解得

，

，当

；

时，即

，

时，通过①的分析，可知，

，本命题正确； 时，

的极大值为时，

时，，所以当

时，

，

，函数单调递减，

，

时，是奇函数，即

，当

对于④：当当 当

时，，函数单调递增；

，根据③可知，当

，由于

，当时，

时，

，

，

所以当而

恒成立，本命题正确。

综上所述，有4个命题是正确的，因此本题选A。

【点睛】本题考查了奇函数的性质、利用导数研究函数单调性。本题重点考查了数形结合思想、分

类讨论思想。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.不等式组【答案】 【解析】 【分析】

在平面直角坐标系内画出不等式组所表示的平面区域，判断平面区域的形状，最后求出面积。 【详解】不等式组

所表示的平面区域如下所示： 所表示的平面区域的面积等于__________．

通过上图，可以发现平面区域是个三角形，解方程组

标为（1，0），点C坐标为（2，0）因此三角形ABC的面积为所以不等式组

所表示的平面区域的面积等于。

解得A点坐标为

，

，点B坐

【点睛】本题考查了不等组所表示的平面区域的面积。解决此类问题的关键是画出正确的平面区域。 14.已知【答案】15 【解析】 【分析】

先由题计算出值，再由二项式的通项求出常数项。 【详解】由题

可得

，

，则

的展开式中的常数项是__________．

则展开式的通项是，

由得 .

所以常数项是

【点睛】本题考查二项式定理和定积分，解题的关键是由定积分计算出值，再求常数项，属于一般题。 15.在

中，内角、、的对边分别为，，，若

，

，且

，则三角形

的面积为__________． 【答案】【解析】 【分析】 根据正弦定理，由，也就可以求出三角形

，可以得出，的关系，再由余弦定理可以求出

再由同角三角函数的关系可以求出

的大小，最后利用公式

求出

的面积。

，已知

，，

，

。

，

【详解】由正弦定理可知：由余弦定理可知：又因为

所以

【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式以及同角三角函数关系。 16.三棱锥

中，侧棱

与底面

垂直，

，

，

且

，则三棱锥

的外接球的表面积等于__________． 【答案】【解析】 【分析】 在长方体里，

为高，

，则

为底面的宽和长，求出长方体的体对角线长，利用长方

体的对角线的长等于长方体外接球的真径，求出半径，最后求出外接球的表面积。 【详解】把三棱锥

，放到长方体

里,如下图:

,因此长方体

所以半径

,则三棱锥

的外接球的真径为

.

,

的外接球的表面积为

【点睛】本题考查求三棱锥的外接球的表面积。重点考查了转化思想。

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.已知函数（1）求（2）已知【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）把

代入函数解析式中可以求出，再求出函数

的通项公式。

的通项公式，

的最小值，可求出，进

的通项公式. 是正项等比数列，

，（2）

，求

的通项公式，并求，

的前项和. .

，数列

为等差数列，其中

，为

的最小值.

而可求出公差，最后求出等差数列（2）利用已知可以求出

，

是正项等比数列，可以求出公比，进而可以求出

利用等差数列和等比数列前和公式，可最后求出。 【详解】（1）因为

的最小值为1，所以因为所以（2）因且公比

.

，

.

， .

，

.

，所以，

是等差数列，所以公差的通项公式

，，所以公比

的通项公式所以

【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，前项和公式。

18.社区服务是高中学生社会实践活动的一个重要内容，汉中某中学随机抽取了100名男生、100名女生，了解他们一年参加社区服务的时间，按

，

，

，

，

（单位：

小时）进行统计，得出男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图.

（1）完善男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图. 抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表 社区服务时间 合计

学生社区服务时间合格与性别的列联表 男 女

不合格的人数 合格的人数 人数 20 30 100 频率 0.05 0.35 1

（2）按高中综合素质评价的要求，高中学生每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格，根据上面的统计图表，完成抽取的这200名学生参加社区服务时间合格与性别的列联表，并判断是否有

以上的把握认为参加社区服务时间达到合格程度与性别有关，并说明理由.

（3）用以上这200名学生参加社区服务的时间估计全市9万名高中学生参加社区服务时间的情况，并以频率作为概率.

（i）求全市高中学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数. （ⅱ）对我市高中生参加社区服务的情况进行评价. 参考公式

0.150 （

，其

）

2.072 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.002 7.879 0.001 10.828 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】 【分析】

（1）根据公式：每小组的频率等于每小组的频数除以样本容量，进行求解。 根据在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，计算出女生在积，最后补完整频率分布直方图。

（2）按照每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格这一要求，在100名男生参加社区服务时间频率分布表中求出男生合格人数、不合格人数；在100名女生参加社区服务时间频率直方图中，求出女生合格人数，不合格人数，填写列联表。求出

,得出结论。

段小长方形的面

（3）（i）根据100名男生参加社区服务时间频率分布表和100名女生参加社区服务时间频率直方图，可以求出这200名学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数，然后求出全市高中生社区服务时间不少于30个小时的概率，最后求出求全市高中学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数.

（ⅱ）可以从以下这四个方面做出分析：

A全市高中生是不是都达到高中素质评价的要求方面； B全市所有学生参与社区服务的时间多少方面；

C全市高中学生中，女生参与社区服务的时间比男生长短方面； D全市高中学生，参与社区服务时间的长短集中哪个时间段方面。

【详解】（1）由每小组的频率等于每小组的频数除以样本容量，这个公式可以计算出每一时间段所需填写的内容。

段：人数=0.05段：人数=0.35

100=5；100=35；

段：频率=20

100=0.2；

100=0.3；

段：频率=30

段：人数=1005203530=10，频率=10.050.20.350.3=0.1。

补全抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表，如下表： 社区服务时间 合计

根据在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，所以有

，补完频率分布直方图如下图：

人数 5 20 35 30 10 100 频率 0.05 0.2 0.35 0.3 0.1 1

（2）通过抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表可知男生合格人数为75人，不合格人数为25人；通过抽取的100名女生参加社区服务时间频率直方图中可知合格人数为65人，不合格人数为35人， 列联表如下表。

学生社区服务时间合格人数与性别的列联表

男 女

不合格的人数 25 35 合格的人数 75 65 ，

∴没有

以上把握认为社区服务时间达到合格与性格有关.

，所以全

（3）（i）抽取的样本中社区服务时间不少于30个小时的人数为70人，频率为市高中生社区服务时间不少于30个小时的概率为时的人数为

万人.

，所以全市高中生社区服务时间不少于30个小

（ii）可从以下四个角度分析，也可以从其它角度分析，角度正确，分析合理即可。

A从抽样数据可以得到全市高中生还有一部分学生参与社区服务的时间太少，不能达到高中素质评价的要求。

B全市所有学生参与社区服务的时间都偏少。

C全市高中学生中，女生参与社区服务的时间比男生短。 D全市高中学生，参与社区服务时间的长短集中在

之间。

【点睛】本题考查了频率分布表和频率直方图、。本题重点考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力。 19.圆的方程为：

.

（1）求点的轨迹的方程； （2）过点大值，及直线【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）设点的坐标

，求出的坐标，设

，通过

，可以得到

的直线与曲线交于、两点，点的坐标为的方程.

（2）

，直线

的方程为

或

.

，

的面积为，求的最

，为圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，点在

上，且

与的关系，与的关系，把代入圆的方程中，最后得到点的轨迹的方程。

的方程为

，直线方程与点的轨迹的方

的面积的表达式，最后利用基本不等式

（2）由题意易知直线的斜率不为0，设直线

程联立，根据一元二次方程根与系数关系，可以得出可以求出的最大值，直线【详解】（1）设

，则

的方程.

，设

，

，

，因为，所以，

把代入圆的方程得，所以的轨迹的方程为

的方程为

，

，设

，

.

，

， ，

（2）由题意易知直线的斜率不为0，设直线联立

.

当且仅当所以所以

时取等号， 面积有最大值为的面积为最大时，直线

. 的方程为

或

.

【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系、基本不等式。 20.如图所示，四棱锥

中，、分别为

、

中点，

平面

.

（1）若四边形（2）若四边形体积.

为菱形，证明：平面为矩形，二面角

平面. ，

，

，求三棱锥

的

的正弦值为

【答案】（1）见解析（2）

【解析】 【分析】

（1）由题可先证得

平面

，再证平面

平面

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，由向量法求解 【详解】（1）由题∴由题

.

为菱形，即 ，

又∴又

平面平面

， .

，所以平面

平面

.

，设

，

.

平面

，

平面

，

（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

，

，

由题设平面

平面

，

，. ，即平面

的法向量为，

.

，

，

的法向量为

，即得.

∴由二面角解得又为∴

，即

.

的平面角为锐角，即

.

的距离为

.

.

，

的中点，即到平面

【点睛】本题考查立体几何的证明

1、面面垂直的证明是由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证面面垂直。 2、求锥体体积可以应用等体积转化的方法

3、二面角可以借助向量法求出两个平面的法向量，则二面角为两个向量的夹角或补交。 21.已知函数（1）求（2）若

的图像在

的解析式，并讨论其单调性.

，证明：

.

处与轴相切.

【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）先由题求出值，再对

求导，利用导函数讨论其单调性

（2）可构造新函数，对新函数求导，利用单调性证明。 【详解】（1）由题∴∴求导由题

时

，时

， ，，则

，则，即

，即为

为

上的减函数，

即

，

.

，即切点为

，

上的增函数.

，

（2）方法一：要证原不等式，即证构造函数

.

∵∴当∴

，

即即

为时，由题即

， ，

，则的增函数.

，

，

.

，

，即证

，

故原不等式得证.

方法二：要证原不等式，即证由（1）知由题

时，即

，

， ，

∴又

，即 .

………①

∴由①②得

……… ② ，即得证.

【点睛】本题考查利用导数解不等式，证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题，属于偏难题目。

22.已知直线的参数方程为

（为参数，

），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的

.

正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）若直线被圆截得的弦长为（2）直线的参数方程为【答案】（1）【解析】 【分析】

（2）

.

时，求的值.

（为参数），若

，垂足为，求点的极坐标.

（1）把直线的参数方程通过消参过程，化为直角坐标方程；利用公式把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用弦心距、弦长和圆关径的关系，建立等式，求出的值。 （2）把直线的参数方程通过消参过程，化为直角坐标方程，根据两直线方程联立，求出点的坐标，最后化成极坐标。 【详解】（1）由得∵

，

（，∴由得

，

， ，

，

，为参数）得

，

.

这一条件，可以确定，

，即圆心为

∴到直线距离为又弦长为解得

，故.

（2）由的方程可得又

得：

解.

，

， ，

，

，

【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法。考查了直线与圆相交时，弦长、半径、弦心距之间的关系。考查了两直线相交时，求交点的方法。 23.（1）求不等式

（2）已知两个正数、满足【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）方法一：首先判断的解集。

方法二：根据零点分区间进行分类讨论进行求解。 (2)根据要证明式子分母的特点，把式。

【详解】（1）方法一：根据几何意义“所以不等式的解集为

方法二：零点分区间讨论如下： ①当∴②当③当∴

.

.

时，.

时，

即

即，

，不符合题意；

时，

，即

， .

”表示数轴上到-2和1的距离之和，

，变形为

，利用基本不等式，证明不等

的几何意义，运用数形结合思想，在数轴上找到所求不等式的解集； ，证明：（2）见解析

.

综上所述，不等式的解集为（2）因为

，所以，

当且仅当即时取“”.

【点睛】本题考查了求绝对值不等式的解集，一般的方法就是根据绝对值的几何意义和零点分区分进行讨论的方法来求解。考查了用基本不等式证明不等式，运用基本不等式，要考虑是定和问题还是定积问题，更要注意的是运用基本不等式要同时满足一正二定三相等这三个条件。