高中数学思想方法专题

——函数与方程的思想方法

一、知识要点概述

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，高考数学题中函数与方程的思想占较大的比例，题型涉及填空题、解答题，难度有大有小，且试题中的大部分压轴题都与函数方程有关。

函数的思想就是分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决。

方程的思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型——方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使获得解决。

二、解题方法指导

运用函数观点解决问题主要从以下四个方面着手：一是根据方程与函数的密切关系，可将二元方程转化为函数来解决；二是根据不等式与函数的密切关系，常将不等式问题转化为函数问题，利用函数的图象和性质进行处理；三是在解决实际问题中，常涉及到最值问题，通常是通过建立目标函数，利用求函数最值的方法加以解决；四是中学数学中的某些数学模型（如数列的通项或前n项和、含有一个未知量的二项式定理等）可转化为函数问题，利用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决。

运用方程观点解决问题主要从以下四个方面着手：一是把问题中对立的已知与未知通过建立相等关系统一在方程中，通过解方程解决；二是从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变元（常称为主元）的方程，利用方程的特征解决；三是根据几个变量间的关系，判断符合哪些方程的性质和特征（如利用根与系数的关系构造方程等），通过研究方程所具有的性质和特征解决；四是在中学数学中常见数学模型（如函数、曲线等），经常转化为方程问题去解决。

三、范例剖析

1.已知f(t)=log2t,t[ 2 ，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，x2+mx+4>2m+4x恒成立，求x的范围。

变式1： 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范围是________。

变式2：设2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的范围。x∈（

227131,） 22312x4xa2. 设f(x)＝lg，当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的范围。a>－。

43

12

变式：若不等式x＋ax＋1≥0对于一切x∈(０，］成立，则a的最小值为_____________

2

1

3. 关于x的方程cos2x—sinx + a=0在（0, 30]上有解，求a的取值范围.

。

变式：关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。

4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1，S2，„Sn

中哪个值最大，并说明理由。

变式：等差数列{an}中，a4＝84，前n项和为Sn,已知S9>0，S10<0，则当n＝______时，Sn最大。

5.若关于x的方程|x－6x＋8|＝a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是____________。

变式1.方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。

变式2.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。

A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)

222,x26.已知函数f(x)x若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则k的范围是________．

(x1)3,x2

7. 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。

8.已知函数f(x)＝loga(x－4x＋8)， x∈[0,2]的最大值为－2，则a＝_____。

9.若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

10.设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０， 且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为___________

2

23高中数学思想方法专题（二）

——数形结合的思想方法

一、 知识要点概述

所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。

二、 解题方法指导 1．转换数与形的三条途径：

① 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

② 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。

③ 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：

①“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

三、 数形结合的思想方法的应用

(一) 解析几何中的数形结合

解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知： P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0与线段PQ相交，求实数m的取值范围. 2. 与距离有关的问题

【例2】求：y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2的最大（小）值.

【分析】可看成求两动点P（cosθ，sinθ）与Q（cosα-3，sinα+2）之间距离的最值问题.

3

3. 与截距有关的问题 【例3】若直线y=x+k与曲线x=

恰有一个公共点，求k的取值范围.

4. 与定义有关的问题

2

【例4】求抛物线y=4x上到焦点F的距离与到点A（3，2）的距离之和为最小的点P的坐标，并求这个最小值.

【分析】要求PA+PF的最小值，可利用抛物线的定义，把PF转化为点P到准线的距离，化曲为直从而借助数形结合解决相关问题.

(二) 数形结合在函数中的应用

1. 利用数形结合解决与方程的根有关的问题

【例5】已知方程|x2-4x+3|=m有4个根，则实数m的取值范围 .

2. 利用数形结合解决函数的单调性问题 【例6】确定函数y=

3. 利用数形结合解决抽象函数问题

【例7】 设f（x），g（x）分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，在区间［a，b］（a0，且f（x）·g（x）有最小值－５.则函数y=f（x）·g（x）在区间［－b，-a］上（ ）.

Ａ. 是增函数且有最小值－５ Ｂ. 是减函数且有最小值－５ Ｃ. 是增函数且有最大值５ Ｄ. 是减函数且有最大值５ （三）运用数形结合思想解不等式 1. 求参数的取值范围 【例8】若不等式 解：令f（x）＝

>ax的解集是｛x|0的图象是以（２，０）为圆心，以２为半

的单调区间.

径的圆的上半部分，包括点（４，０），不包括点（０，０）；g（x）＝ax的图象是通过原点、斜率为a的直线，由已知

>ax的解集是｛x|0【例9】 若x∈（１，２）时，不等式（x-1）24

2. 解不等式

【例10】已知f（x）是Ｒ上的偶函数，且在［０，＋∞）上是减函数，f（2）＝０（a>0），那么不等式xf（x）<0的解集是__________.

【例11】 设函数f（x）＝2

（四）运用数形结合思想解三角函数题

【例12】函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈［０，２π］的图象与直线y=k有且仅有２个不同的交点，则k的取值范围是_______-

，求使f（x）≥２

的取值范围.

【例13】当0的最小值为（ ）.

则y为点Ａ（０，５）与点Ｂ（－sin2x，3cos2x）两点连线的斜率，

又点Ｂ的轨迹方程（0<α<），即x2+＝１（x<0），如图，当过点Ａ的

直线l∶y=kx+5与椭圆x2+＝１（x<0）相切时，k有最小值４

（五）运用数形结合思想解复数题

四、运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意如下几点

在解题时，有时把数转化为形，以形直观地表达数来解决，往往使复杂问题简单化、抽象问题具体化.但是，依赖图象直观解题，也要注意如下几个问题:1、注意图象延伸趋势2、注意图象伸展“速度”3、注意数形等价转化4、注意仔细观察图象5. 数形结合也有简繁之分

五、范例剖析

1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m范围。（m＝1或－32. 方程sin（x-）=x的实数解的个数是________

2 3. 设函数f（x）＝.若f（x0）>1，则x0的取值范围___________.

5

4. 曲线y=1+（-2≤x≤2）与直线y=k（x-2）+4有两个交点时，实数k的取值范围为___.

5.设命题甲：06.如果|x|≤

π2,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。 4

7.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)

A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5

y8.如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。 (90年全国理)

x22133A. B. C. D. 3

232

9.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值_________.

10.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。

11.已知5x＋12y＝60，则x2y2的最小值是_____。

12.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。

13.若方程x－3ax＋2a＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。

14. 已知函数y＝(x1)21＋(x5)29，求函数的最小值及此时x的值。

15. 若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。

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高中数学思想方法专题（三）

——分类讨论的思想方法

一、知识要点概述

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

二、解题方法指导

1．分类讨论的思想方法的步骤：（1）确定标准；（2）合理分类；（3）逐类讨论；（4）归纳总结。 2．简化分类讨论的策略：（1）消去参数；（2）整体换元；（3）变更主元；（4）考虑反面；

（5）整体变形；（6）数形结合；（7）缩小范围等.

3．解题时把好“四关”：

（1）要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”； （2）要找准划分标准，把好“分类关”；

（3）要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；

（4）要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”。

二、范例剖析

1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____。

2.函数y＝x＋

1的值域是_________。 x

3.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为___________。

7

4.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

5.解不等式

(x4a)(x6a)1>0 (a为常数，a≠－)

2a12【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、

11a＝0、－22

6.若loga2<1，则a的取值范围是_____。

3

7. 函数f(x)＝ax－2ax＋2＋b (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a+b的值为_____。

8.解关于x的不等式： 2loga2(2x－1)>loga(x－a) (a>0且a≠1)

9. 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆O：x2+y2=1， 动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0). 求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.

22yMNO12Qx

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高中数学思想方法专题（四）

———转化与化归思想方法

一、知识要点概述

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决.

（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题， 通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.

（3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.

（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法

转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有：

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.

（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.

（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径. （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.

（5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.

3．化归与转化的方法 （1）直接转化法:直接把新的知识转化为前续知识.这个在讲解新课的时候,尽量让学生去体会,让他们能自己解决新的问题,获取新的知识,接着把新的知识吸收,继续解决新的问题.

（2） 构造法:这个是个重要的方法,有不少题目,不能直接解决和转化,缺少了媒介,让不少学生无从下手,这时就需要构造一个数学情境,建立一个数学模型,把问题溶入进去,使问题简单化,直观化,从而达到求解的过程.

（3） 数与形的转化:这个主要用于函数问题的解答和某些图型中的某些量的关系.数形结合是数学学习的一种重要的思想.

（4）换元法:这个重要是把一些繁杂的,但又有重复性的题目简单化,更直观.这个主要用于方程的解答. （5）相等与不相等之间的转化:这个主要用与不等式的证明和函数区间.

（6） 实际问题与数学理论的转化:理论联系实际的一种方法.也是学生情感方面的培养.

（7） 特殊与一般之间的转化:公式法解一元二次方程就是把特殊的一般化了.同时也可以说把具体的抽象化了. （8） 数学各分支之间的转化:数学本来就是一个连贯的整体,把各分支有机的联系起来,让人感到它的魄力.同时也能解决数学以外的我问题.

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二、范例剖析

1. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。

2. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______。

x2y22213. 设椭圆2＋2＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于c，

ba7则椭圆的离心率为_____。

4. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。

5. 已知长方体ABCD-A’B’C’D’中，AA’＝AD＝1，AB＝3，则顶点A到截面A’BD的距离是_______。

6. 当x∈[0, π]时，求使cosx－mcosx＋2m－2>0恒成立的实数m的取值范围。

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