高三数学高考基础知识复习基本函数

知识清单：

1.一元一次函数：yaxb(a0)，当a0时，是增函数；当a0时，是减函数； 2.一元二次函数：

2bb4acb一般式:yaxbxc(a0)；对称轴方程是x；顶点为(,)；

2a2a4a2两点式：ya(xx1)(xx2)；对称轴方程是 ；与x轴的交点为 ； 顶点式：ya(xk)2h；对称轴方程是 ；顶点为 ； ⑴一元二次函数的单调性：

当a0时： 为增函数； 为减函数； 当a0时： 为增函数； 为减函数；

⑵二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为ya(xk)2h的形式， (Ⅰ)、若顶点的横坐标在给定的区间上，则当a0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当a0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

(Ⅱ)若顶点的横坐标不在给定的区间上，则当a0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当a0时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； ⑶二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程f(x)ax2bxc0的两根为x1,x2；则： 根的情况 等价命题 x1≥x2k x1≤x2k x1kx2 在区间(k,)上有两根 Δ≥0b k2aaf(k)0。在区间(,k)上有两根 Δ≥0b k2aaf(k)0。在区间(k,)或(,k)上有一根 充要条件 a·f(k)<0 af(p)0另外:①二次方程f(x)=0的一根小于p，另一根大于q(paf(q)0。f(p)0②二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)<0，或（检验）

af(q)0f(q)0或（检验）。 af(p)0③若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)0有实数解的情况，可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况，得出结果，在令xn和xm检查端点的情况。

注:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。 特别指出,分段函数也是重要的函数模型。

3.指数函数：yax（a0,a1），定义域R，值域为（0,）.⑴①当a1，指数函数：yax在定义域上为增函数；②当0a1，指数函数：yax在定义域上为减函数.⑵当a1时，yax的a值越大，越靠近y轴；当0a1时，则相反.

4.对数函数：如果a（a0,a1）的b次幂等于N，就是abN，数b就叫做以a为

底的N的对数，记作logaNb（a0,a1，负数和零没有对数）；其中a叫底数，

N叫真数. ⑴对数运算：

①loga(MN)logaMlogaNMlogaMlogaNN③logaMnnlogaM②loga1④loganMlogaMn⑤alogaNNlogN⑥换底公式：logaNblogba⑦推论：logablogbclogca1loga1a2loga2a3...logan1anloga1an(以上M0,N0,a0,a1,b0,b1,c0,c1,a1,a2,...,an0且1)

例如：logax22logax(2logax中x＞0而logax2中x∈R）. ⑵yax（a0,a1）与ylogax互为反函数.

当a1时，ylogax的a值越大，越靠近x轴；当0a1时，则相反. 5．幂函数

（1）幂函数的定义： 。 （2）幂函数的性质：

①所有幂函数在 上都有意义，并且图像都过点 。

②如果a0，则幂函数图像过原点，并且在区间 上为增函数。 ③如果a0，则幂函数图像在0,上是 。在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近 。当x趋向于时，图像在y轴右方无限地逼近 。

④当a为奇数时，幂函数为 ，当a为偶数时，幂函数为 ， （3）幂函数yxa,x0,，当a1时，若0x1,其图像在直线yx的下方，若x1，其图像在直线yx的上方；当0a1时，若0x1,其图像在直线yx的上方，当a1时，若x1其图像在直线yx的下方。

课前预习

1. 当0≤x≤1时，函数y=ax+a－1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是（ ）

111(A)a< (B)a>1 (C)a<或a>1 (D)2222.已知函数f(x)ax2(a3a)x1在(,1]上递增，则a的取值范围是( ) （A）a≤3 （B）3≤a≤3 （C）0a≤3 （D）3≤a0

3. 已知二次函数f(x)ax2(a2b)xc的图像开口向上，且f(0)1，f(1)0，则实数b取值范围是( )

33(A) (,] (B) [,0) (C) [0,) (D) (,1)

44x01,x0，则方程x1(2x1)f(x)的解为 4.设函数f(x)0,1,x05.函数yax21(a0，且a1)的图象必经过点( ) (A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2)

6. 3log72log792log7(322)

7.设x,y,z(0,) 且3x4y6z, ⑴ 求证:

111;⑵比较3x,4y,6z的大小. x2yz8.已知f(x)1logx3 ，g(x)2logx2 , 试比较f(x)和g(x)的大小。

9.求函数ylog1(x23x18)的单调减区间，并用单调定义给予证明。

210. 求下列函数的定义域、值域： ①y2x211; ②ylog1(x24x5) 43211． 已知函数yxn2n3(nZ)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．

典型例题

1、解析式、待定系数法

EG1．若fxx2bxc，且f10，f30，求f1的值．

变式1：若二次函数fxax2bxc的图像的顶点坐标为2,1，与y轴的交点坐标为(0,11)，则

A．a1,b4,c11 B．a3,b12,c11 C．a3,b6,c11 D．a3,b12,c11

变式2：若fxx2b2x3,x[b,c]的图像x=1对称，则c=_______． 变式3：若二次函数fxax2bxc的图像与x轴有两个不同的交点Ax1,0、

Bx2,0，且x12x22平移几个单位得到？ 2、图像特征

262，试问该二次函数的图像由fx3x1的图像向上9EG2：将函数fx3x26x1配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调

区间及最大值或最小值，并画出它的图像．

变式1：已知二次函数fxax2bxc，如果fx1fx2(其中x1x2)，则

xxf12 24acb2bbA． B． C． c D．

4a2aa变式2：函数fxx2pxq对任意的x均有f1xf1x，那么f0、f1、f1的大小关系是 A．f1f1f0B．f0f1f1C．f1f0f1D．f1f0f1

O

x

y

变式3：已知函数fxax2bxc的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________．

3．单调性

EG3：已知函数fxx22x，gxx22xx[2,4]． (1)求fx，gx的单调区间；(2) 求fx，gx的最小值．

变式1：已知函数fxx24ax2在区间,6内单调递减，则a的取值范围是

A．a3 B．a3 C．a3 D．a3

1

变式2：已知函数fxx2a1x5在区间(2 ,1)上为增函数，那么f2的取值范围是_________．

变式3：已知函数fxx2kx在[2,4]上是单调函数，求实数k的取值范围． 4．最值

EG4已知函数fxx22x，gxx22xx[2,4]． (1)求fx，gx的单调区间；(2) 求fx，gx的最小值．

变式1：已知函数fxx22x3在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是

A．,2 1, B．0,2 C．1,2 D．

变式2：若函数y3x24的最大值为M，最小值为m，则M + m的值等于________．

变式3：已知函数fx4x24axa22a2在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值． 5．奇偶性

EG5：已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fxx1x．画出函数fx的图像，并求出函数的解析式．

变式1：若函数fxm1x2m21x1是偶函数，则在区间,0上fx是 A．增函数 B．减函数 C．常数 D．可能是增函数，也可能是常数

变式2：若函数fxax2bx3aba1x2a是偶函数，则点a,b的坐标是________．

变式3：设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR． (I)讨论f(x)的奇偶性； (II)求f(x)的最小值．

6．图像变换

x24x3,3x0EG6、已知f(x)3x3,0x1．

2x6x5,1x6(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值． 变式1：指出函数yx22x3的单调区间． 变式2：已知函数f(x)|x22axb|(xR)．

给下列命题：①f(x)必是偶函数；

② 当f(0)f(2)时，f(x)的图像必关于直线x=1对称； ③ 若a2b0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；

④f(x)有最大值|a2b|．

其中正确的序号是________．③

变式3：设函数f(x)x|x|bxc,给出下列4个命题：

①当c=0时，yf(x)是奇函数；

②当b=0，c>0时，方程f(x)0只有一个实根； ③yf(x)的图象关于点（0，c）对称；

④方程f(x)0至多有两个实根．

上述命题中正确的序号为 ． 7．值域

EG7：求二次函数f(x)2x26x在下列定义域上的值域： (1)定义域为xZ0x3；(2) 定义域为2,1． 变式1：函数f(x)2x26x2x2的值域是

93220, A．20, B． C． D． 20,422920,

2变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是__________．

变式3：已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x) = f (1－x)，且方程 f (x) = x 有等根． (1)求 f (x) 的解析式； (2)是否存在实数 m、n（m < n），使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n]，如果

存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理由．

8．恒成立问题

EG8：当a,b,c具有什么关系时，二次函数fxax2bxc的函数值恒大于零？恒小于零？

变式1：已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．

(I)若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (II)若函数 f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围．

变式2：已知函数f(x)x2ax3a，若x2,2时，有f(x)2恒成立，求a的取值范围．

变式3：若f (x) = x 2 + bx + c，不论 、 为何实数，恒有 f (sin  )≥0，f (2 + cos  )≤0．

(I) 求证：b + c = －1； (II) 求证： c≥3；

(III) 若函数 f (sin  ) 的最大值为 8，求 b、c 的值．

9．根与系数关系

右图是二次函数fxax2bxc的图像，它与x轴交于点x1,0和x2,0，试确定a,b,c以及x1x2，x1x2的符号．

变式1：二次函数yax2b与一次函数yaxb(ab)在同一个直角坐标系的图像为

y

y

y

O

y

x

O A．

x

O B．

x

C．

y

O

x

D．

与

抛

1x1xO1x2变式2：直线ymx3物线

C1:yx25mx4m,C2:yx2(2m1)xm23,

C3:yx23mx2m3中至少有一条相交，则m的取值范围是．

变式3：对于函数 f (x)，若存在 x0  R，使 f (x0) = x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点．如果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点 x1、x2．

1

(I)若 x1 < 1 < x2，且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > 2 ； (II)若 | x1 | < 2 且 | x1－x2 | = 2，求 b 的取值范围．

10．应用

EG：绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？

y变式1：在抛物线fxx2ax与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．

变式2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与

ADxOBC预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：

万元）

(1) 分别将A、B两种产品的利润表示为投资的

函数关系式；

(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入

A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？

变式3：设a为实数，记函数f(x)a1x21x1x的最大值为g(a) ．

（Ⅰ）求g(a)；（Ⅱ）试求满足g(a)g()的所有实数a．

11、指数函数

EG：已知下列等式，比较m，n的大小：（1）2m2n (2)0.2m0.2n 变式1：设

1a11b1()()a1，那么 （ ） 222A.aa＜ab＜ba B.aa＜ ba＜ab C.ab＜aa＜ba D.ab＜ba＜aa

变式2：函数yax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为（ ）

11 B.2 C.4 D. 24变式3：已知函数yf(x)的图象与函数yax（a0且a1）的图象关于直线

1yx对称，记g(x)f(x)[f(x)2f(2)1]．若yg(x)在区间[,2]上是增函数，

2则实数a的取值范围是（ ）

11 A．[2,) B．(0,1)(1,2) C．[,1) D．(0,]

2212、对数函数

A．

EG：已知函数f(x)loga(x1)，g(x)loga(1x)(a0，且a1) （1） 求函数f(x)g(x)定义域

（2） 判断函数f(x)g(x)的奇偶性，并说明理由.

变式1：已知f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为[a1,2a].则a ，b

变式2：若函数f(x)loga(xx22a2)是奇函数，则a

ex,x0.1变式3：设g(x)则g(g())__________

2lnx,x0.(3a1)x4a,x1变式4：已知f(x)是(,)上的减函数，那么a的取值范围

logx,x1a是 A.(0,1) EG2：若loga111B.(0,) C.[,)

373

1D.[,1)

731(a0，且a1)，求实数a的取值范围. 4

1D．(0,)

21a20，则a的取值范围是 （ ） 变式1：若log2a1a1A．(,)

2

B．(1,)

1C．(,1)

2变式2：设0a1，函数f(x)loga(a2x2ax2)，则使f(x)0的x的取值范围是

（A）(,0)

（B）(0,)

（C）(,loga3) （D）(loga3,)

变式3：已知log1blog1alog1c，则 （ ）

222A．2b2a2c D.2c2a2b 13、幂函数

B.2a2b2c B.2c2b2a

2)在幂函数f(x)的图象上，点2，，在幂函数g(x)的图象上． EG．已知点(2，14 问当x为何值时有：（１）f(x)g(x)；（２）f(x)g(x)；（３）f(x)g(x)． 分析：由幂函数的定义，先求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可． 变式：函数y(mx4xm2)(m2mx1)的定义域是全体实数，则实数m的取

214值范围是（ ）．

，∞)Ｃ．(2，15) 2) Ｂ．(51 Ａ．(51，2)Ｄ．(15， 实战训练 一、选择

1．设a1，函数f(x)logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为

1，则a 2A．2 B．2 C．22 D．4 2．函数ylog2

x42(x0)的反函数是

 ( )

A.y4x2x1(x2) C.y4x2x2(x2)

baB.y4x2x1(x1) D.y4x2x2(x1)

c113．设a,b,c均为正数，且2log1a,logb,1log2c,则 ( ) 2222 A.abc B.cba C.cab D.bac

14．设a1,1,,3，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为

2（A）1,3 （B） 1,1 （C）1,3 （D） 1,1,3 5．以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)2

(B) ln(ln2)

(C) ln2

(D) ln2

6．函数f(x)3x(0x≤2)的反函数的定义域为（ ） Ａ．(0，)

Ｂ．(1，9]

Ｃ．(0，1)

Ｄ．[9，)

7．设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x1对称，且当x1时，

f(x)3x1，则有（ ）

132231A．f()f()f() B．f()f()f()

323323213321C．f()f()f() D．f()f()f()

33223328．设f(x)lg(a)是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是（A）

1xA．(1,0) B．(0,1) C．(,0) D．(,0)(1,)

9．函数f(x)1log2x与g(x)2x1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）

二、填空

1．函数ylg(x22x)的定义域是____________________．

2．若函数f(x)x2lga2x2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是 ．

3．已知函数f(x)loga(x1)的定义域和值域都是0,1，则实数a的值是 ． 4．定义：区间[x1,x2](x1x2)的长度为x2x1.已知函数y|log0.5x|定义域为[a,b]，值域为[0,2]，则区间[a,b]的长度的最大值为 .； 5．lg22lg2lg5lg5 6．函数ylg(x24x21)的定义域是 . 7．若方程1nx2x100的解为x0，则不小于x0的最小整数是 ． O 2 4 y=f(x) x y 4.5 l 8．如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线是l，则f(2)f(2)= ． 9．函数yf(x)的图象与函数ylog3x(x0)的图象关于直线yx对称，则

f(x)____________。

(第8题图)

10．函数fxlg4xx3的定义域为_____

11．方程9x63x70的解是_____

12．设函数y4log2(x1)(x≥3)，则其反函数的定义域为 ．

13．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比； 药物释放完毕后，

1，如图所示． y与t的函数关系式为y（a为常数） 116据图中提供的信息，回答下列问题：

tay（毫克） O 0.1 t（小时）

（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；

（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教

室，那么， 药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室． 14．若函数f(x)e(x)（e是自然对数的底数）的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m________． 三、解答

1．已知a是实数，函数fx2ax22x3a，如果函数yfx在区间1,1上有零点，求a的取值范围.

2．已知函数f(x)ax4lnxbx4c(x>0)在x = 1处取得极值3c，其中a,b,c为常数。

（1）试确定a,b的值；

（2）讨论函数f(x)的单调区间；

（3）若对任意x>0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围。 3．已知函数f(x)exkx，xR

（Ⅰ）若ke，试确定函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若k0，且对于任意xR，f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围； 4．已知函数f(x)lnx,g(x)2x2(x1).

（Ⅰ）试判断F(x)(x21)f(x)g(x)在定义域上的单调性； （Ⅱ）当0ab时，求证f(b)f(a)5．已知函数yf(x)22a(ba). 22ablnx. x1（Ⅰ）求函数yf(x)的图象在x处的切线方程；

e（Ⅱ）求yf(x)的最大值； 6．设函数f(x)(x1)22klnx．

（1）当k=2时，求函数f(x)的增区间；

（2）当k＜0时，求函数g(x)=f(x)在区间（0，2]上的最小值．