2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级(上)期中数学试卷 解析版

2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级（上）期中

数学试卷

一．选择题（每题4分，共40分）

1．下列关于二次函数y＝2x2+3，下列说法正确的是（ ） A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是（2，3）

C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最小值是3

2．一个不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，这些球除颜色外其余都相同，则从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

3．函数y＝x2+2x﹣4的顶点所在象限为（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

4．在某校艺体节的乒乓球比赛中，李东同学顺利进入总决赛，且个人技艺高超，有同学预测“李东夺冠的可能性是80%”，对该同学的说法理解正确的是（ ） A．李东夺冠的可能性较小

B．李东和他的对手比赛10局时，他一定赢8局 C．李东夺冠的可能性较大 D．李东肯定会赢 5．下列抛物线中，与抛物线A．C．

的形状、大小、开口方向都相等的是（ ） B．

D．y＝﹣x2+3x﹣5

6．下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）

A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件 B．体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖

C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品

D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为

7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）

A．﹣1＜x＜5

B．x＞5

C．x＜﹣1且x＞5

D．x＜﹣1或x＞5

8．在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1，2，3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为P1，摸出的球上的数字小于4的概率记为P2，摸出的球上的数字为5的概率记为P3，则P1，P2，P3的大小关系是（ ） A．P1＜P2＜P3

B．P3＜P2＜P1

C．P2＜P1＜P3

D．P3＜P1＜P2

9．某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W＝﹣x2+16x﹣48，则该景点一年中处于关闭状态有（ ）个月． A．5

B．6

C．7

D．8

10．已知关于x的二次函数y＝3x2﹣6ax+4a2+2a+2，其中a为实数，当﹣2≤x≤1时，y的最小值为4，满足条件的a的值为（ ） A．﹣

﹣1或

﹣1 D．或

﹣1

B．﹣或

﹣1

C．﹣1或﹣

二．填空题（每题5分，共30分）

11．（5分）抛物线y＝x2﹣4x+4与坐标轴有 个交点．

12．（5分）若将抛物线y＝3x2+1向下平移1个单位后，则所得新抛物线的解析式是 ． 13．（5分）书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说的概率是 ． 14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的三个顶点A、B、D均在抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a＜0）上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则AC长为 ．

15．（5分）如图，直线AB交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，﹣4），点P在抛物线y＝（x﹣2）（x﹣4）上，则△ABP面积的最小值为 ．

16．（5分）如图，已知点A（3，3），点B（0，2），点A在二次函数y＝x2+bx﹣9的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交二次函数图象于点C，则点C的坐标为 ．

三．简答题（第17，18，19，20题各8分，第21题10分，第22，23题各12分，第24题14分，共80分）

17．在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：

①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）． ②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）． （1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是 ； （2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们

恰好都选择同一个岗位的概率． 18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标； （3）当x为何值时，y随x的增大而增大？

19．（8分）平面上有3个点的坐标：A（0，﹣3），B（3，0），C（﹣1，﹣4）． （1）在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线y1＝x﹣3上又在抛物线上y2＝x2﹣2x﹣3上的概率是多少？

（2）从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线y2＝x2﹣2x﹣3上的概率． 20．（8分）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．

（1）试判断二次函数y＝2x2﹣5x﹣7的图象是否为“定点抛物线”； （2）若“定点抛物线”y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，求k的值．

21．（10分）一名男生推铅球，铅球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系为

，铅球行进路线如图．

（1）求出手点离地面的高度． （2）求铅球推出的水平距离．

（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4m．

22．（12分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y＝﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元． （1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；

（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？

23．（12分）定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k的关联直线．

（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；

（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；

（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．

24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t＝2时，AD＝4． （1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

2020-2021学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级（上）期中

数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（每题4分，共40分）

1．下列关于二次函数y＝2x2+3，下列说法正确的是（ ） A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是（2，3）

C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最小值是3

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．

【解答】解：∵二次函数y＝2x2+3， ∴该函数的图象开口向上，故选项A错误； 它的顶点坐标为（0，3），故选项B错误； 当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项C错误； 当x＝0时，y取得最小值3，故选项D正确； 故选：D．

2．一个不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，这些球除颜色外其余都相同，则从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】先求出袋子中总的球数，再用黄球的个数除以总的球数即可． 【解答】解：∵不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，共有9个球， ∴从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为＝； 故选：B．

3．函数y＝x2+2x﹣4的顶点所在象限为（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【分析】把二次函数化为顶点式则可求得顶点的坐标，则可求得答案．

【解答】解：

∵y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5， ∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣5）， ∴顶点在第三象限， 故选：C．

4．在某校艺体节的乒乓球比赛中，李东同学顺利进入总决赛，且个人技艺高超，有同学预测“李东夺冠的可能性是80%”，对该同学的说法理解正确的是（ ） A．李东夺冠的可能性较小

B．李东和他的对手比赛10局时，他一定赢8局 C．李东夺冠的可能性较大 D．李东肯定会赢

【分析】根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析可得答案．

【解答】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是80%，结合概率的意义， A、李东夺冠的可能性较大，故本选项错误；

B、李东和他的对手比赛10局时，他可能赢8局，故本选项错误； C、李东夺冠的可能性较大，故本选项正确； D、李东可能会赢，故本选项错误． 故选：C．

5．下列抛物线中，与抛物线A．C．

的形状、大小、开口方向都相等的是（ ） B．

D．y＝﹣x2+3x﹣5

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以解答本题． 【解答】解：∵抛物线∴抛物线故选：B．

6．下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）

A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件

的形状是抛物线，开口向下，

的形状、大小、开口方向都相等的函数的二次项系数是

，

B．体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖

C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品

D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为

【分析】根据随机事件和必然事件对A进行判断；根据概率的意义对B进行判断；根据频率估计概率对C进行判断；根据概率公式对D进行判断．

【解答】解：A、事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是必然事件，此选项错误；

B、体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票大约有10张中奖，此选项错误； C、在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品，此选项正确；

D、掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为，此选项错误； 故选：C．

7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）

A．﹣1＜x＜5

B．x＞5

C．x＜﹣1且x＞5

D．x＜﹣1或x＞5

【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．

【解答】解：由图象得：对称轴是x＝2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）． 利用图象可知：

ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集， ∴x＜﹣1或x＞5． 故选：D．

8．在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1，2，3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为P1，摸出的球上的数字小于4的概率记为P2，摸出的球上的数字为5的概率记为P3，则P1，P2，P3的大小关系是（ ） A．P1＜P2＜P3

B．P3＜P2＜P1

C．P2＜P1＜P3

D．P3＜P1＜P2

【分析】由1、2、3这3个小球中，数字为2的只有1个、数字小于4的有3个、数字为5的个数为0，利用概率公式分别计算，再比较大小可得．

【解答】解：∵在1、2、3这3个小球中，数字为2的只有1个、数字小于4的有3个、数字为5的个数为0， ∴P1＝、P2＝1、P3＝0， 则P3＜P1＜P2， 故选：D．

9．某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W＝﹣x2+16x﹣48，则该景点一年中处于关闭状态有（ ）个月． A．5

B．6

C．7

D．8

【分析】令W＝0，解得x＝4或12，求出不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解即可解决问题． 【解答】解：由W＝﹣x2+16x﹣48，令W＝0，则x2﹣16x+48＝0，解得x＝12或4， ∴不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解为，4＜x＜12， ∴该景点一年中处于关闭状态有5个月． 故选：A．

10．已知关于x的二次函数y＝3x2﹣6ax+4a2+2a+2，其中a为实数，当﹣2≤x≤1时，y的最小值为4，满足条件的a的值为（ ） A．﹣

﹣1或

﹣1 D．或

﹣1

B．﹣或

﹣1

C．﹣1或﹣

【分析】分类讨论：a＜﹣2，﹣2≤a≤1，a＞1，根据函数的增减性，可得答案． 【解答】解：当a＜﹣2，x＝﹣2时，y＝12+12a+4a2+2a+2＝4a2+14a+14＝4， 解得：a＝﹣1（不合题意舍去），a2＝﹣，

当﹣2≤a≤1时，x＝a时，y最小＝3a2﹣6a2+4a2+2a+2＝4，

解得：a3＝﹣1﹣ （舍），a4＝﹣1+，

当a＞1，x＝1时，y最小＝3﹣6a+4a2+2a+2＝4， 解得：a5＝a6＝（不合题意舍去）， 综上所述：a的值为﹣或故选：B．

二．填空题（每题5分，共30分）

11．（5分）抛物线y＝x2﹣4x+4与坐标轴有 2 个交点．

【分析】当x＝0时，求出与y轴的纵坐标；当y＝0时，求出与x轴的交点横坐标，从而求出与坐标轴的交点． 【解答】解：当x＝0时，y＝4， 则与y轴的交点坐标为（0，4）， 当y＝0时，x2﹣4x+4＝0， 解得x1＝x2＝2．

则与x轴的交点坐标为（2，0），

∴抛物线y＝x2﹣4x+4与坐标轴有2个交点， 故答案为：2．

12．（5分）若将抛物线y＝3x2+1向下平移1个单位后，则所得新抛物线的解析式是 y＝3x2 ．

【分析】根据向下平移纵坐标减写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式即可．

【解答】解：∵抛物线y＝3x2+1向下平移1个单位后的顶点坐标为（0，0）， ∴所得新抛物线的解析式是y＝3x2． 故答案为：y＝3x2．

13．（5分）书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说的概率是

．

﹣1，

【分析】画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）

共有20种等可能的结果，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6， 所以从中随机抽取2本都是小说的概率＝故答案为

．

＝

．

14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的三个顶点A、B、D均在抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a＜0）上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则AC长为 4 ．

【分析】先求出对称轴，再根据B、D关于对称轴对称，求出点D坐标，根据正方形的性质AC＝BD即可解决问题． 【解答】解：抛物线的对称轴x＝﹣

＝2，点B坐标（0，3），

∵四边形ABCD是正方形，点A是抛物线顶点， ∴B、D关于对称轴对称，AC＝BD， ∴点D坐标（4，3） ∴AC＝BD＝4． 故答案为4．

15．（5分）如图，直线AB交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，﹣4），点P在抛物线y＝（x﹣2）（x﹣4）上，则△ABP面积的最小值为 7.5

．

【分析】根据三角形面积公式可知当点P到直线AB的距离最小时，△ABP面积的最小，求出与直线AB平行且与抛物线相切的直线解析式，即可求得P的坐标，根据待定系数法求得直线AP的解析式，得到与y轴的交点，利用面积公式即可求得结果． 【解答】解：∵直线AB交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，﹣4）， ∴直线AB为y＝﹣2x﹣4，

设与AB平行且与抛物线相切的直线解析式为y＝﹣2x+t， 与抛物线的解析式联立，消去y得，x2﹣2x+8﹣2t＝0， 则△＝（﹣2）2﹣4×1×（8﹣2t）＝0，即t＝， ∴x2﹣2x+1＝0， 解得x＝1，

代入y＝（x﹣2）（x﹣4）得，y＝， ∴P（1，），

设直线AP的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣2，0），P（1，）代入得

，

解得，

∴直线AP为y＝x+1，

∴直线AP与y轴的交点为（0，1）， ∴S△ABP＝×（1+4）×（1+2）＝7.5， 故答案为7.5．

16．（5分）如图，已知点A（3，3），点B（0，2），点A在二次函数y＝x2+bx﹣9的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交二次函数图象于点C，则点C的坐标为 （﹣2，﹣7） ．

【分析】根据待定系数法求得b，得到二次函数的解析式，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB，依据全等三角形的性质，即可得出F（2，1），进而得出直线AC的解析式，解方程组即可得到C点坐标．

【解答】解：∵点A（3，3）在二次函数y＝x2+bx﹣9的图象上， ∴9+3b﹣9＝3， 解得b＝1，

∴二次函数为y＝x2+x﹣9，

过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB（AAS），设BD＝a，则EF＝a， ∵点A（3，3）和点B（0，2），

∴DF＝3﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a， ∵AE+OD＝3， ∴3﹣a+2﹣a＝3， 解得a＝1，

∴F（2，1），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，则∴y＝2x﹣3， 解方程组

∴C（﹣2，﹣7）， 故答案为：（﹣2，﹣7）．

，可得

或

， ，解得

，

三．简答题（第17，18，19，20题各8分，第21题10分，第22，23题各12分，第24题14分，共80分）

17．在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：

①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）． ②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）． （1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是

；

（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）根据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果数，再找出张辉和夏明恰好都选择田赛的结果数，然后根据概率公式求解即可．

【解答】解：（1）张辉同学选择清理类岗位的概率为：＝； 故答案为：；

（2）根据题意画树状图如下：

共有16种等可能的结果数，张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果数为4， 所以他们恰好选择同一岗位的概率：18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标； （3）当x为何值时，y随x的增大而增大？

【分析】（1）把一般式化成顶点式即可确定二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（2）根据图象与y轴和x轴的相交的特点可求出坐标；

（3）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大． 【解答】解：（1）∵a＝1＞0， ∴图象开口向上，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴对称轴是x＝1，顶点坐标是（1，﹣4）；

（2）由图象与y轴相交则x＝0，代入得：y＝﹣3， ∴与y轴交点坐标是（0，﹣3）；

由图象与x轴相交则y＝0，代入得：x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1

∴与x轴的交点为（3，0）和（﹣1，0）；

（3）∵对称轴x＝1，图象开口向上， ∴当x＞1时，y随x增大而增大．

19．（8分）平面上有3个点的坐标：A（0，﹣3），B（3，0），C（﹣1，﹣4）． （1）在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线y1＝x﹣3上又在抛物线上y2＝x2﹣2x﹣3上的概率是多少？

＝．

（2）从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线y2＝x2﹣2x﹣3上的概率． 【分析】（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征可判断A、B、C都在直线上，A、B两点在抛物线上，C点不在抛物线上，然后根据概率公式求解；

（2）先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两点都落在抛物线y2＝x2﹣2x﹣3上的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）当x＝0时，y1＝x﹣3＝﹣3，y2＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则A点在直线和抛物线上；

当x＝3时，y1＝x﹣3＝0，y2＝x2﹣2x﹣3＝0，则B点在直线和抛物线上；

当x＝﹣1时，y1＝x﹣3＝﹣4，y2＝x2﹣2x﹣3＝0，则C点在直线上，不在抛物线上， 所以在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线y1＝x﹣3上又在抛物线上y2＝x2﹣2x﹣3上的概率＝； （2）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中两点都落在抛物线y2＝x2﹣2x﹣3上的结果数为2， 所以两点都落在抛物线y2＝x2﹣2x﹣3上的概率＝＝．

20．（8分）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．

（1）试判断二次函数y＝2x2﹣5x﹣7的图象是否为“定点抛物线”； （2）若“定点抛物线”y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，求k的值． 【分析】（1）把x＝﹣1代入抛物线解析式，判断y的值是否为0，即可解决问题． （2）因为y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，所以（﹣1，0）是抛物线顶点，所以抛物线解析式为y＝（x+1）2，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝2+5﹣7＝0， ∴抛物线y＝2x2﹣5x﹣7经过点（1，0）， ∴二次函数图象为“定点抛物线”．

（2）∵y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，

∴（﹣1，0）是抛物线顶点，

∴抛物线解析式为y＝（x+1）2＝x2+2x+1， ∴2﹣k＝1， ∴k＝1．

21．（10分）一名男生推铅球，铅球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系为

，铅球行进路线如图．

（1）求出手点离地面的高度． （2）求铅球推出的水平距离．

（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4m．

【分析】（1）令x＝0代入（2）令y＝0代入（3）令y＝4代入

【解答】解：（1）令x＝0代入∴y＝． （2）

，

即可求出答案．

即可求出答案． 即可求出答案．

，

解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去） ∴铅球推出的水平距离为10米． （3）把y＝4代入，得

化简得x2﹣8x+28＝0，方程无解， ∴铅球的行进高度不能达到4米．

22．（12分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y＝﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．

，

（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；

（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？ 【分析】（1）把y＝70代入y＝﹣5x+150，求出x即可；

（2）每月销售量y＝﹣5x+150，乘以每件利润（x﹣10）即可得到每月获得的利润w元的表达式；

（3）转化为二次函数求出最大值即可． 【解答】解：（1）当y＝70时，70＝﹣5x+150， 解得x＝16，

则（16﹣10）×70＝420元； （2）w＝（x﹣10）（﹣5x+150） ＝﹣5x2+200x﹣1500， ∵

，

∴自变量的取值范围为10≤x≤18； （3）w＝﹣5x2+200x﹣1500 ＝﹣5（x﹣20）2+500 ∵a＝﹣5＜0，

∴当10≤x≤18时，w随x的增大而增大， ∴当x＝18时，w有最大值，为480元．

答：当销售单价定为18元时，每月可获得最大利润，最大利润为480元．

23．（12分）定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k的关联直线．

（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；

（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；

（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．

【分析】（1）根据关联直线的定义可求；

（2）由题意可得a＝2，c＝3，设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，可得可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；

（3）由题意可得A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），可求AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值． 【解答】解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10 ∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7

（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点， ∴a＝2，c＝3，

可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k， 则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k， ∴

，

解得

∴抛物线y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1，

（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0）， ∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，

显然AB2＜BC2 且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边， 当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1， 当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得∵抛物线的顶点在第一象限

，

∴a＞0，即

24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t＝2时，AD＝4． （1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标（2，4）代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得BE＝OA＝t，据此知AB＝10﹣2t，再由x＝t时AD＝﹣t2+t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；

（3）由t＝2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标，由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P，根据AB∥CD知线段OD平移后得到的线段是GH，由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是△OBD中位线，据此可得． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10）， ∵当t＝2时，AD＝4， ∴点D的坐标为（2，4），

∴将点D坐标代入解析式得﹣16a＝4， 解得：a＝﹣，

抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x；

（2）由抛物线的对称性得BE＝OA＝t， ∴AB＝10﹣2t，

当x＝t时，AD＝﹣t2+t， ∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD） ＝2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）] ＝﹣t2+t+20 ＝﹣（t﹣1）2+∵﹣＜0，

∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为

（3）如图，

；

，

当t＝2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4）， ∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），

当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分； 当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分； ∴当G，H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形面积平分； 当点G，H分别落在线段AB，DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积． ∵AB∥CD，

∴线段OD平移后得到线段GH．

∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P． ∴DP＝PB， 由平移知，PQ∥OB ∴PQ是△ODB的中位线， ∴PQ＝OB＝4，

所以抛物线向右平移的距离是4个单位．