5.1.1 任意角 教学设计(2)
【新教材】5.1.1任意角 教学设计（人教A版）
学生在初中学习了0o～360o，但是现实生活中随处可见超出0o～360o范围的角.例如体操中有“前空翻转体540o”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.
课程目标
1.了解任意角的概念.
2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义． 3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法． 数学学科素养
1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角； 2.逻辑推理：求区域角；
3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.
重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义； 难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。
一、 情景导入
初中对角的定义是：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0o～360o范围内的角.但是现实生活中随处可见超出0o～360o范围的角.例如体操中有“前空翻转体540o”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本168-170页，思考并完成以下问题
1．角的概念推广后，分类的标准是什么？ 2．如何判断角所在的象限？
3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究
1．任意角 (1)角的概念
角可以看成平面内一条 射线 绕着端点从一个位置 旋转 到另一个位置所成的 图形 ．
(2)角的表示
如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
(3)角的分类
按旋转方向，角可以分为三类： 名称 定义 按 逆时针 方向旋转形成的角 负角 按 顺时针 方向旋转形成的角 零角 2．象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与 原点 重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的 终边 在第几象限，就说这个角是第几 象限角 ；如果角的终边 在坐标轴 上，就认为这个角不属于任何一个象限．
一条射线没有作任何旋转形成的角
图示 正角
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角 的和．
四、典例分析、举一反三
题型一 任意角和象限角的概念 例1 (1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． ①420°，②855°，③－510°.
【答案】（1）① （2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．
【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；
③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误； ④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误． (2) 作出各角的终边，如图所示：
由图可知：
①420°是第一象限角． ②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角．
解题技巧：（任意角和象限角的表示） 1．判断角的概念问题的关键与技巧．
(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；
(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小． 2．象限角的判定方法．
(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限． 跟踪训练一
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( ) A．A＝B＝C C．A∩C＝B 【答案】D
【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．
2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D
【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，
360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的． 题型二 终边相同的角的表示及应用
例2 (1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________． (2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．
【答案】（1）(－3)×360°＋195°， （2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°. 【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.
(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}， ∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，
B．A⊆C D．B∪C⊆C
∴k取1，2，3.
当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°； 当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°； 当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°. 解题技巧：(终边相同的角的表示)
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．
2．运用终边相同的角的注意点
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 跟踪训练二
1.下面与－850°12′终边相同的角是( ) A．230°12′ B．229°48′ C．129°48′ D．130°12′ 【答案】B
【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当
k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.
2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________． 【答案】{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
【解析】落在第二象限时，表示为k·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
题型三 任意角终边位置的确定和表示 例3 (1)若α是第一象限角，则
α2
是( )
A．第一象限角 B．第一、三象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 (2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【答案】(1)B (2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}． ②故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}． 【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜
α＜k·180°＋45°，k∈Z，当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇22
α数时，为第三象限角．所以是第一、三象限角．
22
(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示 为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}． 解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示） 1．表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和
αα
β，写出最简区间{x|α 1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？ 【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β {β|n·180°＋60°≤β 七、作业 课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题. 5.1.1 任意角 1任意角 例1 例2 例3 2.象限角 3.终边相同的角 𝛼𝛼 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容